إنشاءات الفرجار والمسطرة

"constructive geometry" redirects here. It is not to be confused with constructive solid geometry.

إنشاء سداسي منتظم مع الفرجار والمسطرة

إنشاءات الفرجار والمسطرة (الأداة ذات الحواف المستقيمة) Straightedge and compass construction، والمعروف أيضاً باسم إنشاء المسطرة والفرجار أو الإنشاء الكلاسيكي، هو إنشاء الأطوال، الزوايا، و أشكال هندسية أخرى تستخدم فقط مسطرة مثالية وزوج من الفراجير.

يُفترض أن المسطرة المثالية، المعروفة باسم أداة ذات حواف مستقيمة، لانهائية في الطول، ولها حافة واحدة فقط، ولا توجد عليها علامات. يُفترض أن الفرجار ليس لها حد أقصى أو أدنى للقطر، ويُفترض أنها تنهار عند رفعها من الصفحة، لذلك قد لا يتم استخدامها مباشرة لنقل المسافات. (هذا شرط غير مهم لأنه، باستخدام إجراء متعدد الخطوات، يمكن نقل مسافة حتى مع انهيار الفرجار؛ انظر مبرهنة معادلة الفرجار. لاحظ مع ذلك أنه في حين أن الفرجار غير القابل للانهيار المثبت على المسطرة قد يبدو وكأنه مكافئ لوضع علامة عليها، لا يزال إنشاء نيوسس غير مسموح به وهذا ما تعنيه حقاً عدم وجود علامة: انظر المساطر القابلة للتمييز أدناه.) بشكل اصطلاحي أكثر، الإنشاءات الوحيدة المسموح بها هي تلك الممنوحة من قبل إقليدس لافتراضاته الثلاثة الأولى.

اتضح أن كل نقطة قابلة للإنشاء باستخدام المسطرة والفرجار يمكن أيضاً إنشاؤها باستخدام الفرجار وحده، أو بواسطة المسطرة ذات الحواف وحدها إذا أعطيت دائرة واحدة ومركزها.

وضع علماء الرياضيات اليونانيون القدماء أولًا تصوّر لإنشاءات الفرجار والمسطرة، و قد فرض عدد من المشاكل القديمة في هندسة المستويات هذا التقييد. طور الإغريق القدماء العديد من الإنشاءات، لكن في بعض الحالات لم يتمكنوا من القيام بذلك. أظهر گاوس أن بعض المضلعات قابلة للإنشاء ولكن معظمها غير قابل للإنشاء. وقد أثبت پيير ڤانتزل أن بعض أشهر مشاكل المسطرة والفرجار مستحيلة في عام 1837، باستخدام نظرية المجالات الرياضياتية.

على الرغم من براهين الاستحالة، يستمر البعض في محاولة حل هذه المسائل.يمكن حل العديد من هذه المسائل بسهولة بشرط السماح بإجراء تحويلات هندسية أخرى: على سبيل المثال، مضاعفة المكعب ممكن باستخدام الإنشاءات الهندسية، ولكن لا يمكن حلها باستخدام المسطرة والفرجار وحدهما.

من ناحية الجبر، الطول قابل للإنشاء إذا وفقط إذا مثّل عدداً قابلاً للإنشاء، وتكون الزاوية قابلة للإنشاء إذا وفقط إذا كان جيب التمام رقماً قابلاً للإنشاء. يكون الرقم قابلاً للإنشاء إذا وفقط إذا كان يمكن كتابته باستخدام العمليات الحسابية الأساسية الأربع واستخراج الجذور التربيعية ولكن بدون جذور مرتبة عليا.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 أدوات الفرجار والمسطرة

مسطر وفرجار

فرجار

إن "المسطرة" و "الفرجار" لإنشاءات المسطرة والفرجار هي تصورات مثالية للمساطر والفراجير في العالم الحقيقي:

• المسطرة\أداة ذات حواف مستقيمة طويلة بشكل غير محدود، لكنها لا تحمل علامات عليها ولها حافة مستقيمة واحدة فقط، على عكس المساطر العادية. يمكن استخدامها فقط لرسم مقطع خطي بين نقطتين أو لتوسيع مقطع موجود.
• يمكن فتح الفرجار بشكل عشوائي، ولكن (على عكس بعض الفراجير الحقيقية لا توجد علامات عليها. لا يمكن رسم الدوائر إلا بدءاً من نقطتين محددتين: المركز ونقطة على الدائرة. قد ينهار الفرجار وقد لا ينهار عندما لا ترسم دائرة.

لا تنهار الفراجير الفعلية وغالباً ما تستخدم الإنشاءات الهندسية الحديثة هذه الميزة. قد يبدو "الفرجار المنهارة" أداة أقل قوة. ومع ذلك، من خلال مبرهنة معادلة الفرجار في الاقتراح 2 من الكتاب 1 من العناصر لإقليدس، لا يتم فقدان أي قدرة باستخدام فرجار منهار. على الرغم من صحة الاقتراح، إلا أن براهينه لها تاريخ طويل ومتقلب. يجب أن يكون كل إنشاء دقيقاً. "بالنظر عن كثب" (النظر بشكل أساسي إلى الإنشاء والتخمين في دقته، أو استخدام شكل من أشكال القياس، مثل وحدات القياس على المسطرة) والاقتراب لا يعتبر حلاً.

يجب إنهاء كل إنشاء. وهذا يعني أنه يجب أن يحتوي على عدد محدود من الخطوات، وألا يكون حد التقريب أكثر من أي وقت مضى.

وبهذه الطريقة ، يبدو أن إنشاءات المسطرة والفرجار هي parlour game، وليست مشكلة عملية خطيرة؛ لكن الغرض من التقييد\الشروط هو التأكد من أن الإنشاءات يمكن إثبات أنها صحيحة تماماً.

 تاريخ

جرب علماء الرياضيات اليونانيون القدماء أولاً إنشاءات الفرجار والمسطرة، واكتشفوا كيفية إنشاء المجاميع والفرق والجداءات والنسب والجذور التربيعية لأطوال معينة.^{:p. 1} لقد تمكنوا أيضاً من إنشاء نصف زاوية معينة، مربع مساحته ضعف مساحة مربع آخر، ومربع له نفس مساحة مضلع معين، ومضلع منتظم به 3 أو 4 أو 5 جوانب^{:p. xi} (أو واحد به ضعف عدد أضلاع مضلع معين^{:pp. 49–50}). لكنهم لم يتمكنوا من إنشاء ثلث زاوية معينة إلا في حالات معينة، أو مربع بنفس مساحة دائرة معينة، أو مضلع منتظم بأعداد أخرى من الأضلاع.^{:p. xi} ولم يتمكنوا من إنشاء جانب من مكعب حجمه ضعف حجم مكعب مع ضلع معين.^{:p. 29}

أظهر كل من هيپوقراطس و مينايخموس أنه يمكن مضاعفة حجم المكعب من خلال إيجاد تقاطعات القطوع الزائدة و القطوع المكافئة، ولكن لا يمكن إنشاؤها بواسطة الفرجار والمسطرة.^{:p. 30} في القرن الخامس قبل الميلاد، استخدم هيپياس منحنى أسماه منحنى تربيعي لتقسيم الزاوية العامة وتربيع الدائرة، وأظهر نيكوميدس في القرن الثاني قبل الميلاد كيفية استخدام المنحنى القوقعي لتثليث زاوية عشوائية;^{:p. 37}ولكن لا يمكن أيضاً اتباع هذه الأساليب بالفرجار والمسطرة فقط.

لم يتم إحراز أي تقدم بشأن المسائل التي لم يتم حلها لمدة ألفي عام، حتى عام 1796 أظهر گاوس أنه يمكن إنشاء مضلع منتظم مع 17 جانباً؛ وبعد خمس سنوات، أظهر المعيار الكافي ليكون مضلعاً منتظماً من الجوانب 'n' أنه قابلاً للإنشاء.^{:pp. 51 ff.}

في عام 1837 نشر پيير ڤانتزل دليلاً على استحالة تثليث زاوية عشوائية أو مضاعفة حجم المكعب، بناءً على استحالة إنشاء جذور مكعب ذات أطوال. كما أوضح أن شرط الإنشاء الكافي لـ گاوس للمضلعات المنتظمة ضروري أيضاً.

ثم في عام 1882 أظهر لندمان أن $\pi$ هو عدد متسام، وبالتالي فإنه من المستحيل باستخدام الفرجار والمسطرة إنشاء مربع بنفس مساحة دائرة معينة.^{:p. 47}

 الانشاءات الاساسية

الانشاءات الاساسية

تتكون جميع تركيبات الفرجار والمسطرة من التطبيق المتكرر لخمسة إنشاءات أساسية باستخدام النقاط والخطوط والدوائر التي تم إنشاؤها بالفعل. وهي:

• إنشاء الخط من خلال نقطتين موجودتين
• إنشاء الدائرة من خلال نقطة مع مركز نقطة أخرى
• إنشاء النقطة التي هي تقاطع خطين موجودين غير متوازيين
• إنشاء نقطة أو نقطتين في تقاطع خط ودائرة (إذا تقاطعا)
• إنشاء نقطة أو نقطتين في تقاطع دائرتين (إذا تقاطعتا).

على سبيل المثال، بدءاً من نقطتين مميزتين فقط، يمكننا إنشاء خط أو أي من دائرتين (في المقابل، باستخدام كل نقطة كمركز ومرور عبر النقطة الأخرى). إذا رسمنا كلا الدائرتين، يتم إنشاء نقطتين جديدتين عند تقاطعاتهما. رسم خطوط بين النقطتين الأصليتين وإحدى هذه النقاط الجديدة يكمل بناء مثلث متساوي الأضلاع.

لذلك، في أي مسألة هندسية، لدينا مجموعة أولية من الرموز (النقاط والخطوط)، وخوارزمية، وبعض النتائج. من هذا المنظور، تُعادل الهندسة بديهياً الجبر، مع استبدال عناصرها بالرموز. من المحتمل أن گاوس أدرك ذلك لأول مرة، واستخدمه لإثبات استحالة بعض الإنشاءات؛ لم يجد هلبرت مجموعة كاملة من بديهيات الهندسة إلا بعد ذلك بكثير.

 إنشاءات الفرجار والمسطرة الأكثر استخداماً

تشمل إنشاءات الفرجار والمسطرة الأكثر استخداماً ما يلي:

• إنشاء منصف عمودي من قطعة
• إيجاد نقطة المنتصف لقطعة.
• رسم خط عمودي من نقطة إلى خط.
• تنصيف الزاوية
• انعكاس نقطة في خط
• إنشاء خط عبر نقطة مماس لدائرة
• بناء دائرة من خلال 3 نقاط غير متسامتة
• رسم خط خلال نقطة معينة موازية لخط معين.

 نقاط وأطوال قابلة للإنشاء

Straightedge and compass constructions corresponding to algebraic operations
x=a·b   (مبرهنة طاليس)	x=a/b   (مبرهنة طاليس)	x=√a   (مبرهنة فيثاغورس)

يتم تغطية الكثير مما يمكن بناؤه في مبرهنة طاليس من قبل طاليس.

يمكننا ربط الجبر بهندستنا باستخدام نظام إحداثي كارتيزي المكون من سطرين، وتمثيل نقاط مستوينا بواسطة متجهات. أخيراً يمكننا كتابة هذه المتجهات كأعداد مركبة.

باستخدام معادلات الخطوط والدوائر، يمكن للمرء أن يوضح أن النقاط التي تتقاطع عندها تقع في الامتداد التربيعي لأصغر مجال F يحتوي على نقطتين على الخط، مركز الدائرة ونصف قطر الدائرة. أي أنها على شكل x +y√k, حيث x, y, و k في F.

نظراً لأن مجال النقاط القابلة للبناء مغلق تحت جذور تربيعية، فإنه يحتوي على جميع النقاط التي يمكن الحصول عليها من خلال تسلسل محدود من الامتدادات التربيعية لمجال الأعداد المركبة ذات المعاملات المنطقية. من خلال الفقرة أعلاه، يمكن للمرء أن يظهر أنه يمكن الحصول على أي نقطة قابلة للإنشاء من خلال سلسلة من الامتدادات. كنتيجة طبيعية لهذا، يجد المرء أن درجة الحد الأدنى من كثير الحدود لنقطة قابلة للبناء (وبالتالي لأي طول قابل للبناء) هي قوة 2. على وجه الخصوص، أي نقطة (أو طول) قابلة للإنشاء هي عدد جبري، على الرغم من أنه ليس كل عدد جبري قابل للبناء؛ على سبيل المثال، ³√2 جبري لكن غير قابل للإنشاء.

 زوايا قابلة للإنشاء

هناك انحياز بين الزوايا التي يمكن إنشاؤها والنقاط التي يمكن إنشاؤها على أي دائرة قابلة للإنشاء. تشكل الزوايا التي يمكن إنشاؤها زمرة أبيلية تحت معامل الإضافة 2π (الذي يتوافق مع مضاعفة النقاط على دائرة الوحدة التي يتم عرضها كأرقام مركبة). الزوايا القابلة للإنشاء هي بالضبط تلك التي يكون الظل فيها (أو مكافئ، جيب الزاوية أو جيب التمام) قابلاً للإنشاء كرقم. على سبيل المثال، يكون الشكل العادي سبعة عشري الأضلاع (مضلع منتظم ذو سبعة عشر جانباً) قابلاً للإنشاء لأن

$\cos {\left({\frac {2\pi }{17}}\right)}=-{\frac {1}{16}}\;+\;{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}\;+\;{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\;+\;{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}$

كما اكتشفه گاوس.

يتم إغلاق مجموعة الزوايا القابلة للإنشاء في إطار العملية التي تقسم الزوايا إلى النصف (والتي تتوافق مع أخذ الجذور التربيعية في الأعداد المركبة). أما الزوايا الوحيدة للنظام المحدود التي يمكن إنشاؤها بدءاً من نقطتين فهي تلك التي يكون ترتيبها إما قوة اثنين، أو جداء لقوتين ومجموعة الأعداد المميزة من أعداد فيرما الأولية. بالإضافة إلى ذلك، هناك مجموعة كثيفة من الزوايا القابلة للإنشاء بترتيب لانهائي.

 إنشاءات الفرجار والمسطرة كعملية حسابية عقدية

بالنظر إلى مجموعة من النقاط في المستوى الإقليدي، واختيار أي منهما يسمى 0 وآخر يسمى 1، إلى جانب اختيار عشوائي لـ التوجيه الذي يسمح لنا بالنظر في النقاط كمجموعة من عدد مركب.

بالنظر إلى أي تفسير لمجموعة من النقاط كأرقام عقدية\مركبة، فإن النقاط القابلة للإنشاء باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة وحدها هي بالضبط عناصر أصغر مجال يحتوي على المجموعة الأصلية والمغلقة من النقاط تحت عمليات المرافق العقدي و الجذر التربيعي (لتجنب حالة الغموض\الالتباس، يمكننا تحديد الجذر التربيعي باستخدام عمدة عدد مركب أقل\أصغر من π). عناصر هذا المجال هي بالضبط العناصر التي يمكن التعبير عنها كصيغة في النقاط الأصلية باستخدام عمليات الإضافة، الطرح، الضرب، القسمة، مرافق عدد مركب، و الجذر التربيعي، والتي يمكن رؤيتها بسهولة على أنها مجموعة فرعية كثيفة قابلة للعد من المستوى. تتوافق كل عملية من هذه العمليات الست مع إنشاءات الفرجار والمسطرة. من هذه الصيغة، من السهل إنشاء النقطة المقابلة من خلال الجمع بين الإنشاءات لكل من العمليات الحسابية. تتوافق الإنشاءات الأكثر كفاءة لمجموعة معينة من النقاط مع الاختصارات\الطرق المختصرة في مثل هذه الحسابات.

بالتساوي (وبدون الحاجة إلى اختيار نقطتين بشكل عشوائي) يمكننا القول أنه في ضوء الاختيار العشوائي للتوجيه، تحدد مجموعة من النقاط مجموعة من النسب العقدية\المركبة التي تقدمها نسب الفروقات بين أي زوج من النقاط. مجموعة النسب القابلة للإنشاء باستخدام الفرجار والمسطرة من هذه المجموعة من النسب هي على وجه التحديد أصغر مجال يحتوي على النسب الأصلية ومغلق في ظل أخذ مرافقات مركبة وجذور تربيعية.

على سبيل المثال، الجزء الحقيقي والجزء التخيلي والمعامل لنقطة أو نسبة z (مع أخذ إحدى وجهتي النظر أعلاه) يمكن إنشاؤها حيث يمكن التعبير عنها على أنها

$\mathrm {Re} (z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}\;$

$\mathrm {Im} (z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}\;$

$\left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}.\;$

تتطلب مضاعفة المكعب والتقسيم الثلاثي\تثليث لزاوية (باستثناء الزوايا الخاصة مثل أي φ بحيث يكون φ/2π عدد كسري مع مقام غير قابل للقسمة على 3) نسباً تمثل الحل لـ معادلة تكعيبية، بينما يتطلب تربيع الدائرة نسبة متسامية. لا يوجد أي من هذه في المجالات الموصوفة، وبالتالي لا يوجد إنشاءات الفرجار والمسطرة لهذه المجالات.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 الانشاءات المستحيلة

اعتقد الإغريق القدماء أن مشاكل الإنشاء التي لا يستطيعون حلها كانت ببساطة متعنتة\صعبة وليست غير قابلة الحلable. ومع ذلك، مع الأساليب الحديثة، ثبت أن نشاءات الفرجار والمسطرة هذه مستحيلة من الناحية المنطقية. (ومع ذلك، فإن المسائل نفسها قابلة للحل، وقد عرف الإغريق كيفية حلها دون قيود العمل فقط مع الفرجار والمسطرة).

 تربيع الدائرة

أشهر هذه المسائل، تربيع الدائرة، والمعروف أيضًا باسم إيجاد مربع يحوي مساحة الدائرة، يتضمن إنشاء مربع بنفس مساحة دائرة معينة باستخدام الفرجار والمسطرة فقط.

لقد ثبت أن تربيع الدائرة مستحيل، لأنه ينطوي على إنشاء عدد متسام، أي √π. يمكن فقط إنشاء الأعداد الجبرية باستخدام الفرجار والمسطرة وحدهما، أي تلك التي يتم إنشاؤها من الأعداد الصحيحة ذات التسلسل المحدود لعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة وأخذ الجذور التربيعية. غالباً ما تُستخدم عبارة "تربيع الدائرة" لتعني "فعل المستحيل" لهذا السبب.

بدون قيود\شروط يتطلب الحل بواسطة الفرجار والمسطرة فقط، يمكن حل المسألة بسهولة من خلال مجموعة متنوعة من الوسائل الهندسية والجبرية، وقد تم حلها عدة مرات في العصور القديمة.

يمكن تحقيق طريقة قريبة جداً من تقريب "تربيع الدائرة" باستخدام مثلث كپلر.

 مضاعفة المكعب

مضاعفة المكعب هو الإنشاء، باستخدام الفرجار والمسطرة فقط، لحافة المكعب الذي يحتوي على ضعف حجم المكعب بحافة معينة. هذا مستحيل لأن الجذر التكعيبي لـ 2، على الرغم من أنه جبري، لا يمكن حسابه من الأعداد الصحيحة عن طريق الجمع والطرح والضرب والقسمة وأخذ الجذور التربيعية. ويتبع ذلك لأن الحد الأدنى من كثير الحدود على الأسس المنطقية له درجة 3. هذا الإنشاء ممكن باستخدام مسطرة عليها علامتان وفرجار.

 تثليث الزاوية

تثليث الزاوية هو الإنشاء، باستخدام الفرجار والمسطرة، لزاوية تساوي ثلث زاوية عشوائية معينة. هذا مستحيل في الحالة العامة. على سبيل المثال، يمكن تثليث الزاوية 2π/5 راديان (72° = 360°/5)، لكن زاوية π/3 راديان (60°) لا يمكن تثليثها. يمكن أيضاً حل مسألة التثليث العامة بسهولة عندما يُسمح برسم بمسطرة بعلامتين (إنشاء نوسس).

 البعد بالنسبة لقطع ناقص

يمكن بناء قطعة مستقيمة من أي نقطة في المستوى إلى أقرب نقطة على دائرة، ولكن لا يمكن إنشاء المقطع بشكل عام من أي نقطة في المستوى إلى أقرب نقطة على القطع الناقص ذي الانحراف الموجب.

 مسألة ابن الهيثم

في عام 1997، أثبت عالم الرياضيات في أوكسفورد پيتر إم. نيومان نظرية أنه لا يوجد إنشاءات الفرجار والمسطرة للحل العام لـ مسألة ابن الهيثم (مسألة البليارد أو انعكاس من مرآة كروية).

 إنشاء المضلعات المنتظمة

إنشاء خماسي الأضلاع منتظم

بعض المضلعات المنتظمة (مثل خماسي الأضلاع) يسهل إنشاءها باستخدام الفرجار والمسطرة؛ البعض الآخر ليس كذلك. أدى ذلك إلى السؤال: هل من الممكن إنشاء جميع المضلعات المنتظمة باستخدام الفرجار والمسطرة؟

أظهر كارل فريدريش گاوس في عام 1796 أنه يمكن إنشاء مضلع منتظم من 17 جانب، وبعد خمس سنوات أظهر أنه يمكن إنشاء مضلع منتظم من n-جانب باستخدام الفرجار والمسطرة إذا كانj المعاملات الأولية الفردية لـn هي أعداد فيرما الأولية المميزة. توقع گاوس أن هذا الشرط كان أيضاً لازماً، لكنه لم يقدم أي برهان على هذه الحقيقة، والذي قدمه پيير ڤانتزل في عام 1837.

تحتوي المضلعات المنتظمة القليلة الأولى القابلة للإنشاء على الأعداد التالية من الأضلاع:

3، 4، 5، 6، 8، 10، 12، 15، 16، 17، 20، 24، 30، 32، 34، 40، 48، 51، 60، 64، 68، 80، 85، 96، 102، 120، 128، 136، 160، 170، 192، 204، 240، 255، 256، 257، 272... (المتتالية A003401 في OEIS)

من المعروف أن هناك عدداً لا نهائياً من المضلعات المنتظمة القابلة للإنشاء مع عدد زوجي من الجوانب (لأنه إذا كان مضلع-2n قابلاً للإنشاء، فإن ذلك يكون مضلع-4n منتظم وبالتالي مضلع-8 n، n-gons إلخ). ومع ذلك، لا يوجد سوى 31 حرفًا منتظماً قابلاً للإنشاء مع عدد فردي من الجوانب.

 Constructing a triangle from three given characteristic points or lengths

Sixteen key points of a triangle are its vertices, the midpoints of its sides, the feet of its altitudes, the feet of its internal angle bisectors, and its circumcenter, centroid, orthocenter, and incenter. These can be taken three at a time to yield 139 distinct nontrivial problems of constructing a triangle from three points. Of these problems, three involve a point that can be uniquely constructed from the other two points; 23 can be non-uniquely constructed (in fact for infinitely many solutions) but only if the locations of the points obey certain constraints; in 74 the problem is constructible in the general case; and in 39 the required triangle exists but is not constructible.

Twelve key lengths of a triangle are the three side lengths, the three altitudes, the three medians, and the three angle bisectors. Together with the three angles, these give 95 distinct combinations, 63 of which give rise to a constructible triangle, 30 of which do not, and two of which are underdefined.^{:pp. 201–203}

 Restricted Constructions

Various attempts have been made to restrict the allowable tools for constructions under various rules, in order to determine what is still constructable and how it may be constructed, as well as determining the minimum criteria necessary to still be able to construct everything that compass and straightedge can.

 Constructing with only ruler or only compass

It is possible (according to the Mohr–Mascheroni theorem) to construct anything with just a compass if it can be constructed with a ruler and compass, provided that the given data and the data to be found consist of discrete points (not lines or circles). The truth of this theorem depends on the truth of Archimedes' axiom, which is not first-order in nature.

It is impossible to take a square root with just a ruler, so some things that cannot be constructed with a ruler can be constructed with a compass; but (by the Poncelet–Steiner theorem) given a single circle and its center, they can be constructed.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Extended constructions

The ancient Greeks classified constructions into three major categories, depending on the complexity of the tools required for their solution. If a construction used only a straightedge and compass, it was called planar; if it also required one or more conic sections (other than the circle), then it was called solid; the third category included all constructions that did not fall into either of the other two categories. This categorization meshes nicely with the modern algebraic point of view. A complex number that can be expressed using only the field operations and square roots (as described above) has a planar construction. A complex number that includes also the extraction of cube roots has a solid construction.

In the language of fields, a complex number that is planar has degree a power of two, and lies in a field extension that can be broken down into a tower of fields where each extension has degree two. A complex number that has a solid construction has degree with prime factors of only two and three, and lies in a field extension that is at the top of a tower of fields where each extension has degree 2 or 3.

 Solid constructions

A point has a solid construction if it can be constructed using a straightedge, compass, and a (possibly hypothetical) conic drawing tool that can draw any conic with already constructed focus, directrix, and eccentricity. The same set of points can often be constructed using a smaller set of tools. For example, using a compass, straightedge, and a piece of paper on which we have the parabola y=x² together with the points (0,0) and (1,0), one can construct any complex number that has a solid construction. Likewise, a tool that can draw any ellipse with already constructed foci and major axis (think two pins and a piece of string) is just as powerful.

The ancient Greeks knew that doubling the cube and trisecting an arbitrary angle both had solid constructions. Archimedes gave a solid construction of the regular 7-gon. The quadrature of the circle does not have a solid construction.

A regular n-gon has a solid construction if and only if n=2^j3^km where m is a product of distinct Pierpont primes (primes of the form 2^r3^s+1). The set of such n is the sequence

7, 9, 13, 14, 18, 19, 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97... (المتتالية A051913 في OEIS)

The set of n for which a regular n-gon has no solid construction is the sequence

11, 22, 23, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100... (المتتالية A048136 في OEIS)

Like the question with Fermat primes, it is an open question as to whether there are an infinite number of Pierpont primes.

 Angle trisection

What if, together with the straightedge and compass, we had a tool that could (only) trisect an arbitrary angle? Such constructions are solid constructions, but there exist numbers with solid constructions that cannot be constructed using such a tool. For example, we cannot double the cube with such a tool. On the other hand, every regular n-gon that has a solid construction can be constructed using such a tool.

 Origami

The mathematical theory of origami is more powerful than straightedge and compass construction. Folds satisfying the Huzita–Hatori axioms can construct exactly the same set of points as the extended constructions using a compass and conic drawing tool. Therefore, origami can also be used to solve cubic equations (and hence quartic equations), and thus solve two of the classical problems.

 Markable rulers

Archimedes, Nicomedes and Apollonius gave constructions involving the use of a markable ruler. This would permit them, for example, to take a line segment, two lines (or circles), and a point; and then draw a line which passes through the given point and intersects the two given lines, such that the distance between the points of intersection equals the given segment. This the Greeks called neusis ("inclination", "tendency" or "verging"), because the new line tends to the point. In this expanded scheme, we can trisect an arbitrary angle (see Archimedes' trisection) or extract an arbitrary cube root (due to Nicomedes). Hence, any distance whose ratio to an existing distance is the solution of a cubic or a quartic equation is constructible. Using a markable ruler, regular polygons with solid constructions, like the heptagon, are constructible; and John H. Conway and Richard K. Guy give constructions for several of them.

The neusis construction is more powerful than a conic drawing tool, as one can construct complex numbers that do not have solid constructions. In fact, using this tool one can solve some quintics that are not solvable using radicals. It is known that one cannot solve an irreducible polynomial of prime degree greater or equal to 7 using the neusis construction, so it is not possible to construct a regular 23-gon or 29-gon using this tool. Benjamin and Snyder proved that it is possible to construct the regular 11-gon, but did not give a construction. It is still open as to whether a regular 25-gon or 31-gon is constructible using this tool.

 Computation of binary digits

In 1998 Simon Plouffe gave a ruler and compass algorithm that can be used to compute binary digits of certain numbers. The algorithm involves the repeated doubling of an angle and becomes physically impractical after about 20 binary digits.

 See also

• Carlyle circle
• Geometric cryptography
• Geometrography
• List of interactive geometry software, most of them show straightedge and compass constructions
• Mathematics of paper folding
• Underwood Dudley, a mathematician who has made a sideline of collecting false straightedge and compass proofs.

 وصلات خارجية

• Regular polygon constructions by Dr. Math at The Math Forum @ Drexel
• Construction with the Compass Only at cut-the-knot
• Angle Trisection by Hippocrates at cut-the-knot
• Eric W. Weisstein, Angle Trisection at MathWorld.