رأس (هندسة)

في الهندسة، الرأس vertex (بصيغة الجمع:vertices أو vertexes) الروؤس، يُشار إليها غالباً بأحرف مثل $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ ،^[1] هي نقطة حيث يلتقي اثنان أو أكثر من المنحنيات، الخطوط، أو الحواف. كنتيجة لهذا التعريف، فإن النقطة التي يلتقي فيها خطان لتشكيل زاوية وزوايا مضلع و متعدد السطوح هي رؤوس.^[2]^[3]^[4]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

تعاريف

الخاص بالزاوية

رأس الزاوية هو نقطة النهاية حيث يلتقي خطان أو شعاعان معاً.

رأس الزاوية هي النقطة التي يبدأ عندها شعاعين أو يلتقيان، حيث ينضم أو يلتقي خطان، حيث يتقاطع خطان (متقاطعان) أو أي مجموعة مناسبة من الأشعة والمقاطع والخطوط التي تؤدي إلى التقاء "جانبين" مستقيمين في مكان واحد.^[5]^[4]

الخاص بكثير الجوانب

الرأس هو نقطة زاوية المضلع، متعدد السطوح، أو غيره من الأبعاد الأعلى لكثيرات الجوانب، يتكون من تقاطع من الحواف، الأوجه أو أسطح الشيء.^[5]

في المضلع، يسمى الرأس " محدباً" إذا كانت الزاوية الداخلية للمضلع (على سبيل المثال، الزاوية المكونة من حافتي الرأس مع المضلع بداخله الزاوية) أقل من π راديان (180 درجة، [[[زاوية قائمة|زاويتان قائمتان) ؛ خلاف ذلك ، يطلق عليه "مقعر" أو "منعكس".^[6] بشكل أكثر عمومية، يكون رأس متعدد السطوح أو كثير الجوانب محدباً، إذا كان تقاطع متعدد السطوح أو كثير الجوانب مع كرة صغير بشكل كافٍ متمركز في الرأس محدباً، ويكون مقعراً بخلاف ذلك.

ترتبط رؤوس كثير الجوانب بـ رؤوس الرسوم، في أن مخطط هيكلي-1 من كثير الجوانب هو رسم، تتوافق رؤوسه مع رؤوس كثير الجوانب،^[7]وفي هذا الرسم يمكن اعتباره معقداً بسيطاً أحادي البعد، تكون رؤوسه رؤوس الرسم.

ومع ذلك، في نظرية المخططات، قد يكون للرؤوس أقل من حافتين ساقطتين، وهو أمر غير مسموح به عادة للرؤوس الهندسية. هناك أيضاً علاقة بين الرؤوس الهندسية و رؤوس منحنى، ونقاط انحناءها القصوى: بمعنى ما، تكون رؤوس المضلع نقاطاً لانحناء لانهائي، وإذا تم تقريب المضلع بواسطة منحنى أملس، ستكون هناك نقطة انحناء شديد بالقرب من كل رأس مضلع.^[8]ومع ذلك، فإن تقريب المنحنى الأملس لمضلع سيكون له أيضاً رؤوس إضافية، عند النقاط التي يكون فيها انحناءها ضئيلاً.

بخصوص التسطيح المستوي

رأس التسطيح المستوي أو الفسيفساء هو نقطة التقاء ثلاثة أسطح أو أكثر؛^[9] بشكل عام، ولكن ليس دائماً، فإن بلاطات أو أسطح التغطية بالفسيفساء هي مضلعات ورؤوس فسيفسائية هي أيضاً رؤوس بلاطاتها. بشكل عام، يمكن النظر إلى التغطية بالفسيفساء على أنها نوع من مركب الخلايا الطوبولوجي، مثلها مثل وجوه متعدد الوجوه أو كثبر الأوجه؛ تكون رؤوس أنواع أخرى من المركبات مثل مركب بسيط هي وجوهها ذات الأبعاد الصفرية.

الرأس الرئيسي

الرأس B عبارة عن أذن، لأن مقطع الخط المفتوح بين C و D موجود بالكامل داخل المضلع. الرأس C عبارة عن فوهة، لأن مقطع الخط المفتوح بين A و B يقع بالكامل خارج المضلع.

رأس المضلع $x i$ لمضلع بسيط $P$ هو رأس مضلع رئيسي إذا كان القطر $[x (i - 1), x (i + 1)]$ يتقاطع مع حدود $P$ فقط عند $x (i - 1)$ و $x (i + 1)$ . يوجد نوعان من الرؤوس الرئيسية: الآذان و الأفواه.^[10]

آذان

يسمى الرأس الرئيسي $x i$ لمضلع بسيط $P$ بالأذن إذا كان القطر $[x (i - 1), x (i + 1)]$ التي تربط $x i$ الذي يقع بالكامل في $P$ . (انظر أيضاً المضلع المحدب) وفقاً لـ مبرهنة الأذنين، كل مضلع بسيط له أذنين على الأقل.^[11]

Mouths

يُطلق على الرأس الرئيسي $x i$ لمضلع بسيط $P$ بالفوهة إذا كان القطر $[x (i - 1), x (i + 1)]$ تقع خارج حدود $P$ .

عدد رؤوس متعدد السطوح

يحتوي أي سطح متعدد السطوح محدب على خاصية أولر

V-E+F=2,

حيث يكون $V$ هو عدد الرؤوس، $E$ هو عدد الحواف، و $F$ هو عدد الأوجه. تُعرف هذه المعادلة بـ صيغة متعدد السطوح أولر. وبالتالي فإن عدد الرؤوس هو 2 أكثر من عدد الأضلاع الزائدة على عدد الأوجه. على سبيل المثال، بما أن المكعب له 12 حافة و 6 أوجه، فإن الصيغة تشير إلى أنه يحتوي على 8 رؤوس.

الرؤوس في رسوميات الحاسب

في رسوميات الحاسب، غالباً ما يتم تمثيل الأشياء كمثلث متعدد السطوح حيث تكون رؤوس الشيء لا ترتبط فقط بثلاثة إحداثيات مكانية ولكن أيضاً بمعلومات رسومية أخرى ضروري لتقديم الشيء بشكل صحيح، مثل الألوان و الانعكاس والخصائص والقوام و السطح العادي;^[12]تُستخدم هذه الخصائص في التقديم بواسطة التظليل الرأسي، جزء من خط النقل الرأسي.

انظر أيضاً

المراجع

^ "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault (in الإنجليزية الأمريكية). 2020-03-01. Retrieved 2020-08-16.
^ Eric W. Weisstein, Vertex at MathWorld.
^ "Vertices, Edges and Faces". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-16.
^ ^أ ^ب "What Are Vertices in Math?". Sciencing (in الإنجليزية). Retrieved 2020-08-16.
^ ^أ ^ب Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: Dover Publications.
(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).
^ Jing, Lanru; Stephansson, Ove (2007). Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications. Elsevier Science.
^ Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 29)
^ Bobenko, Alexander I.; Schröder, Peter; Sullivan, John M.; Ziegler, Günter M. (2008). Discrete differential geometry. Birkhäuser Verlag AG. ISBN 978-3-7643-8620-7.
^ M.V. Jaric, ed, Introduction to the Mathematics of Quasicrystals (Aperiodicity and Order, Vol 2) ISBN 0-12-040602-0, Academic Press, 1989.
^ Devadoss, Satyan; O'Rourke, Joseph (2011). Discrete and Computational Geometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14553-2.
^ Meisters, G. H. (1975), "Polygons have ears", The American Mathematical Monthly 82: 648–651, doi:10.2307/2319703 .
^ Christen, Martin. "Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes". Khronos Group. Retrieved 26 January 2009.

وصلات خارجية

Eric W. Weisstein, Polygon Vertex at MathWorld.
Eric W. Weisstein, Polyhedron Vertex at MathWorld.
Eric W. Weisstein, Principal Vertex at MathWorld.

الكلمات الدالة:

[1] "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault (in الإنجليزية الأمريكية). 2020-03-01. Retrieved 2020-08-16.

[2] Eric W. Weisstein, Vertex at MathWorld.

[3] "Vertices, Edges and Faces". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-16.

[:0-4] أ ^ب "What Are Vertices in Math?". Sciencing (in الإنجليزية). Retrieved 2020-08-16.

[Euclid-5] أ ^ب Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: Dover Publications.
(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).

[6] Jing, Lanru; Stephansson, Ove (2007). Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications. Elsevier Science.

[7] Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 29)

[8] Bobenko, Alexander I.; Schröder, Peter; Sullivan, John M.; Ziegler, Günter M. (2008). Discrete differential geometry. Birkhäuser Verlag AG. ISBN 978-3-7643-8620-7.

[9] M.V. Jaric, ed, Introduction to the Mathematics of Quasicrystals (Aperiodicity and Order, Vol 2) ISBN 0-12-040602-0, Academic Press, 1989.

[10] Devadoss, Satyan; O'Rourke, Joseph (2011). Discrete and Computational Geometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14553-2.

[11] Meisters, G. H. (1975), "Polygons have ears", The American Mathematical Monthly 82: 648–651, doi:10.2307/2319703 .

[opengl-12] Christen, Martin. "Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes". Khronos Group. Retrieved 26 January 2009.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]