صيغة هيرون

هذا المقال هو عن calculating the area of a triangle. إذا كنت تريد calculating a square root، انظر Heron's method.

مثلث ذو أضلاع a، b وc

في الهندسة تستخدم صيغة هيرون إنگليزية: Heron's formula، المسماة على اسم هيرون السكندري، تعطي مساحة المثلث عندما تكون أطوال الأضلاع الثلاثة معروفة. بخلاف معادلات مساحة المثلث الأخرى، ولا حاجة لحساب الزوايا أو الأبعاد الأخرى في المثلث أولاً.

 الصياغة

تنص صيغة هيرون على أن مساحة مثلث أضلاعه لها أطوال a، b، وc تساوي

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},$

حيث s هي نصف محيط المثلث؛ إنه،

$s={\frac {a+b+c}{2}}.$

يمكن أيضاً كتابة صيغة هيرون بصيغة

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}$

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.$

 مثال

لنفترض أن △ABC هو المثلث ذو الأضلاع a = 4، b = 13 وc = 15. مقياس نصف قطر هذا المثلث هو

$s={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {4+13+15}{2}}=16$

وتكون المساحة

${\begin{aligned}A&={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24.\end{aligned}}$

في هذا المثال، أطوال الأضلاع والمساحة هي أعداد صحيحة، مما يجعلها مثلث هيرونيان. ومع ذلك، فإن صيغة هيرون تعمل بشكل جيد في الحالات التي يكون فيها واحد أو أكثر من أطوال الأضلاع غير صحيحة.

 التاريخ

تُنسب الصيغة إلى هيرون السكندري أو هيرو، ويمكن العثور على دليل في كتابه ميتركا، الذي كتبه حوالي 60 ميلادياً. لقد قيل أن أرخميدس عرف الصيغة قبل قرنين من الزمان،وبما أن ميتركا عبارة عن مجموعة من المعارف الرياضية المتوفرة في العالم القديم، فمن الممكن أن تسبق الصيغة المرجع الوارد في هذا العمل.

صيغة تعادل هيرون، وهي،

$A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}$

اكتشفها الصينيون. تم نشرها في رسالة رياضية في تسعة أقسام (چين جيوشاو، 1247).

 براهين

توجد طرق عديدة لإثبات صيغة هيرون، على سبيل المثال باستخدام علم المثلثات على النحو التالي، أو الدائرة الداخلية والخارجية للمثلث، أو كحالة خاصة من مبرهنة دي گوا (لحالة معينة من المثلثات الحادة).

 البرهان المثلثي باستخدام قانون جيب التمام

يلي ذلك برهان حديث يستخدم الجبر ويختلف تماماً عن الذي قدمه هيرون. لنفترض أن a, b, c هي أضلاع المثلث α, β, γ الزوايا المقابلة لتلك الأضلاع. بتطبيق قانون جيب التمام نحصل على

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

من هذا البرهان، نحصل على التعبير الجبري

$\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.$

طول ارتفاع المثلث على القاعدة a b sin γ، ويتبع

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}$

استُخدم عامل فرق مربعين في خطوتين مختلفتين.

 برهان جبري باستخدام مبرهنة فيثاغورس

مثلث بارتفاع h يقسم القاعدة c إلى d + (c − d)

البرهان التالي مشابه جداً للإثبات الذي قدمه ريفيزن. وفقاً لمبرهنة فيثاغورس لدينا b² = h² + d² وa² = h² + (c − d)² حسب الشكل على اليمين. طرح هذه النواتج a² − b² = c² − 2cd. تسمح لنا هذه المعادلة بالتعبير عن d بدلالة أضلاع المثلث:

$d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.$

لدينا هذا بالنسبة لارتفاع المثلث h² = b² − d². باستبدال d مع الصيغة المذكورة أعلاه وتطبيق مطابقة فرق المربعات التي نحصل عليها

${\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}.\end{aligned}}$

نطبق هذه النتيجة الآن على الصيغة التي تحسب مساحة المثلث من ارتفاعه:

${\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}$

 البرهان المثلثي باستخدام قانون ظل التمام

الأهمية الهندسية لـ s − a، s − b وs − c. راجع قانون ظل التمام لمعرفة السبب وراء ذلك.

من الجزء الأول من إثبات قانون ظل التمام، لدينا أن مساحة المثلث كلاهما

${\begin{aligned}A&=r{\big (}(s-a)+(s-b)+(s-c){\big )}=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}$

و A = rs, ولكن، لأن مجموع أنصاف الزوايا هو π/2, تنطبق مطابقة ظل التمام الثلاثي، لذا فإن أولهما هو

${\begin{aligned}A&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}.\end{aligned}}$

بالجمع بين الاثنين، نحصل على

$A^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c),$

من التي تليها النتيجة

 الاستقرار العددي

صيغة هيرون كما هي مذكورة أعلاه هي غير مستقر عددياً للمثلثات ذات الزاوية الصغيرة جداً عند استخدام الفاصلة العائمة الحسابية. يتضمن البديل المستقر ترتيب أطوال الأضلاع بحيث a ≥ b ≥ c وحساب

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {{\big (}a+(b+c){\big )}{\big (}c-(a-b){\big )}{\big (}c+(a-b){\big )}{\big (}a+(b-c){\big )}}}.$

الأقواس في الصيغة أعلاه مطلوبة من أجل منع عدم الاستقرار العددي في التقييم.

 صيغ مساحة أخرى تشبه صيغة هيرون

هناك ثلاث صيغ مساحة أخرى لها نفس بنية صيغة هيرون ولكن يتم التعبير عنها من حيث المتغيرات المختلفة. أولاً، الإشارة إلى المتوسطات من الضلعين a، b وc على التوالي كـ m_a, m_b, وm_c وشبه محصلتها 1/2(m_a + m_b + m_c) كـ σ,

$A={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.$

بعد ذلك، الإشارة إلى الارتفاعات من الأضلاع a, b, وc على التوالي h_a, h_b وh_c, والدلالة على نصف مجموع من ارتفاعات مثل H = 1/2(h−1a + h−1b + h−1c) نحصل على

$A^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.$

أخيراً، الإشارة إلى نصف مجموع جيوب الزوايا كـ S = 1/2(sin α + sin β + sin γ), نحصل على

$A=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}$

حيث D هو قطر الدائرة: D = a/sin α = b/sin β = c/sin γ.

 تعميمات

رباعي دائري

صيغة هيرون هي حالة خاصة من صيغة براهماگوپتا لمساحة رباعي دائري. صيغة هيرون وصيغة براهماگوپتا كلاهما حالتان خاصتان من صيغة بريتشنايدر لمساحة رباعي الأضلاع. يمكن الحصول على صيغة هيرون من صيغة براهماگوپتا أو صيغة بريتشنايدر عن طريق ضبط أحد أضلاع الشكل الرباعي على الصفر. تعطي صيغة براهماگوپتا المساحة K من الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعه a, b, c, d كـ

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

حيث s، يتم تعريف نصف المحيط على أنه

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}.$

صيغة هيرون هي أيضاً حالة خاصة من صيغة مساحة شبه منحرف أو شبه منحرف تعتمد فقط على أضلاعها. يتم الحصول على صيغة هيرون بجعل الضلع الموازي الأصغر يساوي صفراً.

التعبير عن صيغة هيرون بمحدد كايلي-مينجر بدلالة مربعات المسافة بين الرؤوس الثلاثة المعطاة،

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}$

يوضح تشابهها مع صيغة تارتاگليا من أجل حجم من ثلاثي بسيط.

اكتُشف تعميم آخر لصيغة هيرون على الأشكال الخماسية والسداسية المحاطة في دائرة بواسطة ديڤد روبنز.

 صيغة هيرون لحجم رباعي الأسطح

إذا كانت U, V, W, u, v, w هي أطوال أضلاع رباعي السطوح (الثلاثة الأولى تشكل مثلثاً؛ u المقابل لـ U وهكذا)، إذن

${\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}$

where

${\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}$

هناك وسط يسمى بالوسط الهيروني وهو يساوي 1/3 ( أ + (الجذر التربيعي لـ أ*ب ) + ب)

 انظر أيضاً

• صيغة رباط الحذاء
• المثلث الهيروني Heronian triangle

 وصلات خارجية

• A Proof of the Pythagorean Theorem From Heron's Formula at cut-the-knot
• Interactive applet and area calculator using Heron's Formula
• J. H. Conway discussion on Heron's Formula
• قالب:MathPages
• A Geometric Proof of Heron's Formula
• An alternative proof of Heron's Formula without words
• Factoring Heron