إنحراف معياري

A plot of a normal distribution (or bell curve). Each colored band has a width of one standard deviation.

A data set with a mean of 50 (shown in blue) and a standard deviation (σ) of 20.

بيان الانحراف المعياري

في الإحصاء ونظرية الإحتمالات يعتبر الانحراف المعياري Standard deviation القيمة الأكثر استخداما من بين مقاييس التشتت الإحصائي لقياس مدى التبعثر الإحصائي، أي أنه يدل على مدى امتداد مجالات القيم ضمن مجموعة البياننات الإحصائية .

و"التباين " Variance وهو معدل مربعات انحرافات العلامات في التوزيع عن الوسط الحسابي. ويكون الانحراف المعياري Standard deviation عندها الجذر التربيعي للتباين بالنسبة لمجموعة البيانات الإحصائية .

يتأثر التباين أو الانحراف المعياري بالقيم المتباعدة أو المتطرفة ولكنه لا يتأثر كثيرا بالتغيرات التي تطرأ على العينة, كما أنهما يرتبطان بالوسط الحسابي للتوزيع، بمعنى ان التشتت الذي نعبر عنه بالتباين أو الانحراف المعياري ينسب إلى الوسط الحسابي وليس لاي نقطة أخرى في التوزيع.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

مثال على حساب الانحراف المعياري

سنأخذ هذا المثال البسيط على حساب الانحراف المعياري لكل من الرقمين 8 و4.

الخطوة 1: إحسب الـمتوسط حسابي للرقمين.

$(4+8)/2=6$

الخطوة 2: احسب انحراف كل من الرقمين السابقين عن الـمتوسط حسابي.

$4-6=-2$

$8-6=2$

الخطوة 3: قم بتربيع الانحرافين:

$(-2)^{2}=4$

$(2)^{2}=4$

الخطوة 4: إجمع التربيعين الناتجين:

$4+4=8$

الخطوة 5: قم بتقسيم الناتج على عدد القيم (وهو في مثالنا 2):

$8/2=4$

الخطوة 6: قم بإيجاد الجذر التربيعي الموجب:

${\sqrt {4}}=2.$

إذاً الانحراف المعياري هو 2.

حساب الانحراف المعياري لمتغير

نفرض أن لدينا المتحولات (أو المتغيرات) $\scriptstyle x_{1},\dots ,x_{N}$ ، يعطى الانحراف المعياري لهذه القيم بالعلاقة:

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}.$

حيث أن N هو عدد المتحولات (المتغيرات). ويمكن تبسيط العبارة السابقة إلى التالي:

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}-N{\overline {x}}^{2}\right)}}.$

يمكن البرهنة على ذلك بواسطة العملية الجبرية التالية:

{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}&={}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{2}-2x_{i}{\overline {x}}+{\overline {x}}^{2})\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left(2{\overline {x}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2{\overline {x}}(N{\overline {x}})+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2N{\overline {x}}^{2}+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-N{\overline {x}}^{2}.\end{aligned}}

بما أن علم الإحصاء يحلل و يعرص البيانات المتفرقة بحيث تكون ذات معنى معين أو تعطي انطباعا معيناً فان تباين هذه البيانات يمثل مشكله كبيرة في فهم سلوك البيانات.

التشتت

لشرح معنى التشتت يمكن أن نقدم المثال البسيط التالي: بالنظر للمفردات: ٩, ١٠, ١١ فأن وسطها الحسابي هو ١٠ و هو أفضل قيمة تصلح لتمثيل هذه المجموعة, لكن بالنظر إلى: ٨, ١٠, ١٢ فان وسطهم الحسابي هو أيضا ١٠ و كذلك ٦, ١٠, ١٤ أي أن الوسط الحسابي فقط لا يكفي لتعريف مجموعة البيانات بشكل دقيق بل نحتاج لمعيار اضافي يوضح مدى تشتت هذه البيانات حول الوسط الاحصائي و لذلك اقترح الاحصائيون ادخال مفهوم الانحراف المعياري و غيره من القيم التي تعبر عن مدى تشتت البيانات.

قواعد للبيانات الموزرعة اعتيادياً

Dark blue is less than one standard deviation from the mean. For the normal distribution, this accounts for 68.27 % of the set; while two standard deviations from the mean (medium and dark blue) account for 95.45%; three standard deviations (light, medium, and dark blue) account for 99.73%; and four standard deviations account for 99.994%. The two points of the curve which are one standard deviation from the mean are also the inflection points.

The central limit theorem says that the distribution of a sum of many independent, identically distributed random variables tends towards the normal distribution.

If a data distribution is approximately normal then about 68% of the values are within 1 standard deviation of the mean (mathematically, μ ± σ, where μ is the arithmetic mean), about 95% of the values are within two standard deviations (μ ± 2σ), and about 99.7% lie within 3 standard deviations (μ ± 3σ). This is known as the 68-95-99.7 rule, or the empirical rule.

For various values of z, the percentage of values expected to lie in the symmetric confidence interval (−zσ,zσ) are as follows:

zσ	النسبة المئوية
1σ	68.2689492%
1.645σ	90%
1.960σ	95%
2σ	95.4499736%
2.576σ	99%
3σ	99.7300204%
3.2906σ	99.9%
4σ	99.993666%
5σ	99.9999426697%
6σ	99.9999998027%
7σ	99.9999999997440%

العلاقة بين الانحراف المعياري والمتوسط

انظر أيضاً

المصادر

وصلات خارجية

قالب:بذرة احصاء واحتمالات