توزيع احتمالات

التوزيع الاحتمالي (إنگليزية: probability distribution)، هو تصنيف للصفات أو القيم التي يأخذها متغير إحصائي (أو أكثر). وغالباً ما يقدم ذلك في جدول مؤلف من عمودين (أو سطرين) أو أكثر. يظهر العمود الأول الصفات أو القيم المختلفة التي تحددها طبيعة الظاهرة المدروسة، ويظهر العمود الثاني تكرار تلك الصفة أو القيمة، وهو عدد عناصر العينة المدروسة المقابلة لتلك الصفة أو القيمة. ويمكن أن يرافق هذا الجدول أشكال بيانية تمثله وتزيده وضوحاً، ففي أي دراسة إحصائية نتعرض لمواجهة بيانات عددية تمثل قيماً لمتغيرات طبية، اجتماعية، اقتصادية، حيوية أو ما شابه ذلك. وتختلف طريقة تناول هذه البيانات إحصائياً باختلاف تلك المتغيرات، ويمكن تقسيم هذه المتغيرات إلى متغيرات وصفية أو نوعية، ومتغيرات رتبية ومتغيرات كمية عددية.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 مقدمة

Discrete probability distribution for the sum of two dice.

Normal distribution, also called Gaussian or "bell curve", the most important continuous random distribution.

يحددالتوزيع الاحتمالي كل قيمة ممكنة لمتغير عشوائي (عندما يكون المتغير متقطعاً) أو احتمال القيمة الواقعة ضمن مجال معين (عندما يكون المتغير مستمراً). وبعبارة أخرى، فإن التوزيع الاحتمالي هو قياس احتمالي مجاله تطبيق جبر بورل على مجموعة الأعداد الحقيقية.

التوزيع الإحتمالي يعتبر حالة خاصة من مصطلح أكثر عمومية هو القياس الاحتمالي، الذي يعتبر دالة تربط قيم احتمالات بمجموعات مقيسة من الفضاء المقاس بحيث تحقق فرضيات كولوموگروف .

كل متغير عشوائي ينشأ عنه توزيع احتمالي يحتوي معظم المعلومات المهمة عن هذا المتغير . فإذا كان المتغير X متغيرا عشوائيا فإن التوزيع الاحتمالي الموافق له ينسب للمجال [a, b] احتمالا : بمعنى أن احتمال أن يأخذ المتغير X قيمة ضمن المجال هي : Pr[a ≤ X ≤ b] .

يمكن وصف التوزيع الاحتمالي للمتغير عن طريق تابع التوزيع التراكمي التي تعرف كما يلي :

$F(x)=\Pr \left[X\leq x\right]$

نقول عن توزيع احتمالي أنه متقطع إذا كان تابع التوزيع التراكمي له مؤلفاً من تسلسل قفزات متناهية، مما يعني أنه يعود لمتغير عشوائي متقطع، و هو بالتعريف متغير يمكنه أن يأخذ فقط قيما من مجموعة محددة منتهية وقابلة للعد.

ونقول عن التوزيع الاحتمالي أنه مستمر إذا كان تابع التوزيع التراكمي له مستمراً أي أنه يعود لمتغير عشوائي احتمال أخذه لقيمة محددة معينة معدوما أي : Pr[ X = x ] = 0 أيا كانت x من مجموعة الأعداد الحقيقية، في مثل هذه الحالة لا وجود لاحتمال غير معدوم إلا من أجل مجال ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية اما ان يأخذ المتغير قيمة محددة فهو أمر عديم الاحتمال .

هذه التوزيعات المستمرة المطلقة يمكن التعبير عنها بوساطة: تابع الكثاقة الاحتمالية : و هو عبارة عن دالة قابلة للتكامل بطريقة ليبزگو، موجبة حتما ومعرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية :

$\Pr \left[a\leq X\leq b\right]=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

 المصطلح

 المصطلحات الرئيسية

رجاءً وسّع هذا القسم. المزيد من المعلومات قد تكون موجودة في صفحة النقاش أو في طلبات التوسيع. رجاءً أزل هذه الرسالة عندما يتم توسيع القسم.

 التوزيع الاحتمالي المنفصل

انظر أيضاً: Probability mass function and Categorical distribution

The probability mass function of a discrete probability distribution. The probabilities of the singletons {1}, {3}, and {7} are respectively 0.2, 0.5, 0.3. A set not containing any of these points has probability zero.

The cdf of a discrete probability distribution, ...

... of a continuous probability distribution, ...

... of a distribution which has both a continuous part and a discrete part.

$\sum _{u}\Pr(X=u)=1$

 الكثافة التراكمية

رجاءً وسّع هذا القسم. المزيد من المعلومات قد تكون موجودة في صفحة النقاش أو في طلبات التوسيع. رجاءً أزل هذه الرسالة عندما يتم توسيع القسم.

 اعادة تمثيل وظيفة دلتا

رجاءً وسّع هذا القسم. المزيد من المعلومات قد تكون موجودة في صفحة النقاش أو في طلبات التوسيع. رجاءً أزل هذه الرسالة عندما يتم توسيع القسم.

 اعادة تمثيل وظيفة المؤئر

For a discrete random variable X, let u₀, u₁, ... be the values it can take with non-zero probability. Denote

$\Omega _{i}=\{\omega :X(\omega )=u_{i}\},\,i=0,1,2,\dots$

These are disjoint sets, and by formula (1)

$\Pr \left(\bigcup _{i}\Omega _{i}\right)=\sum _{i}\Pr(\Omega _{i})=\sum _{i}\Pr(X=u_{i})=1.$

$X=\sum _{i}u_{i}1_{\Omega _{i}}$

 المتغيرات الوصفية

المتغيرات الوصفية هي متغيرات لا يمكن قياس مفرداتها عددياً كالمتغيرات الدالة على لون العيون أو مهنة المريض أو جنسية الطالب، ولكن يمكننا ترميز هذه الصفات بأعداد أو أحرف تدل عليها.

"جدول-1: توزيع عينة من السائحين وفق جنسياتهم"

الجنسية	الرمز المقابل لكل صفة	عدد السائحين (التكرار)
لبنانية	lb	474
إمارتية	ae	277
أردنية	jo	405
فرنسية	fr	58
بريطانية	uk	57
أمريكية	us	196
المجموع		1467

 المتغيرات الرتبية

المتغيرات الرتبية ranked variables، فهي متغيرات وصفية أيضاً، ولكن تأخذ صفات قابلة للترتيب مثل المتغير الإحصائي الدال على التقديرات النهائية لمجموعة من خريجي كلية ما (مقبول، جيد، جيد جداً).

"جدول-2: التقديرات النهائية لعينة من خريجي كلية ما"

التقدير	التكرار	التكرار النسبي*	التكرار التراكمي**	التكرار التراكمي النسبي ***
مقبول	871	0.59	871	0.59
جيد	339	0.23	1210	0.82
جيد جداً	257	0.18	1467	1.00
المجموع	1467	1.00	1467	1.00

- هوامش:

• التكرار النسبي لتقدير يساوي تكراره مقسوماً على مجموع التكرارات.
  • التكرار التراكمي لتقدير يساوي عدد عناصر العينة الذين لهم ذلك التقدير على الأكثر.
    • التكرار التراكمي النسبي لتقدير يساوي تكراره التراكمي مقسوماً على مجموع التكرارات.

وإما عن طريق استعمال أدوات القياس، كوزن عينة من أطفال حديثي الولادة في أحد المشافي.

"جدول-3: أوزان عينة من 57 طفلاً حديثي الولادة"

5.20	4.80	4.50	4.14	3.90	3.69	3.50	3.19	2.85
5.30	4.80	4.56	4.16	3.96	3.70	3.54	3.20	2.85
5.43	4.90	4.68	4.20	4.05	3.70	3.54	3.30	2.98
	5.00	4.70	4.20	4.08	3.75	3.57	3.39	3.04
	5.10	4.71	4.30	4.10	3.78	3.60	3.42	3.10
	5.10	4.78	4.30	4.14	3.83	3.60	3.48	3.10

ويبين الجدول السابق أن أصغر قراءة للأوزان فيه 2.85 وأكبر قراءة فيه للأوزان 5.43 والفرق بينهما هو 2.58. ويسمى هذا الفرق مدى التوزيع. ولما كانت معظم القيم غير مكررة وعددها كبير نسبياً، فيمكن وصف هذا البيان الإحصائي بشكل أبسط من خلال تقسيم المجال الذي يحوي أصغر قراءة وأكبر قراءة للأوزان، على سبيل المثال المجال [2.6] بمجالات جزئية منفصلة ومتعاقبة، كما في الجدول التالي، وحيث رُمز لكل مجال ببدايته.

"جدول-4: التوزع التكراري لأوزان 57 طفلاً"

بداية فئات الأوزان	التكرار	التكرار النسبي (بالمئة)
2.0	0	0.0
2.5	3	5.3
3.0	9	15.8
3.5	14	24.6
4.0	15	26.3
4.5	10	17.5
5.0	6	10.5
5.5	0	0.0
المجموع	57	100.0

• ملاحظة: التكرار النسبي بالمئة أو التكرار النسبي المئوي لقيمة أو لفئة يساوي تكرارها النسبي مضروباً بـ 100.

يسمى كل مجال جزئي ورد ذكره فئة بدايتها بداية المجال الجزئي الموافق لها ونهايتها نهايته وطولها يساوي الفرق بين طرفي المجال الموافق وهو هنا ثابت يساوي 0.5، ويسمى منتصف المجال الجزئي مركزاً للفئة الموافقة له، فمركز الفئة الثانية . وقد يشار إلى الفئة بذكر بدايتها أو نهايتها أو بذكرهما معاً أو بتحديد مركزها.

ويسمى مجموع التكرارات للفئات السابقة لفئة، مضافاً إليها تكرار تلك الفئة بالتكرار المتجمع الصاعد لهذه الفئة، أو التكرار التراكمي (المباشر) لها.

ويسمى مجموع التكرارات للفئات اللاحقة لفئة، مضافاً إليها تكرار تلك الفئة بالتكرار المتجمع الهابط لهذه الفئة، أو التكرار التراكمي العكسي لها.

يسمى التكرار التراكمي لفئة مقسوماً على مجموع التكرارات، بالتكرار التراكمي النسبي لهذه الفئة.

ويسمى التكرار التراكمي العكسي لفئة مقسوماً على مجموع التكرارات بالتكرار التراكمي العكسي النسبي لهذه الفئة.

"جدول-5: توزع درجات 83600 من الطلاب مع التكرار النسبي المئوي والتراكمي المئوياً"

الدرجة	× < 160	160 ≤× < 170	170 ≤× < 180	180 ≤× < 190	190≤× < 200	200 ≤ ×
التكرار	41800	20900	10450	8360	1672	418
التكرار التراكمي المباشر	41800	62700	73150	81510	83182	83600
التكرار التراكمي النسبي المئوي	50%	57%	87.5%	97.5%	99.5%	100%
التكرار التراكمي العكسي	83600	41800	20900	10450	2090	418

• ملاحظة: يشار إلى أنه ليس من الضروري أن تكون أطوال الفئات في جدول توزيع إحصائي متساوية، ولعل الجدول التالي يوضح ذلك.

"جدول-6: توزع أعمار عينة من الأشخاص كانوا ضحايا حوادث منزلية"

بداية فئة العمر	التكرار
1	253
5	189
15	303
45	136
65	117
المجموع	1000

• ملاحظة: هنا طول الفئة الأولى 5-1=4 أما طول الفئة الأخيرة فهو غير محدد (65 فما فوق).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 التوزيع الاحتمالي المستمر

انظر أيضاً: Probability density function

$\Pr[a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

$F(x)=\mu (-\infty ,x]=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.$

 التوزيع الاحتمالي للمتغيرات العددية العشوائية

إن تفحص عدد كبير من أشكال التوزيعات الإحصائية أو مدرجاتها التكرارية، يظهر أن معظمها يميل إلى التجمع في منطقة ما، ويقال في مثل هذه الحالة إن قيم المتغير المشاهدة تظهر نوعاً من النزوع أو الميل لكونها أكثر عدداً في منطقة خاصة، غالباً ما تكون مركز التوزيع. وتتوزع القيم المشاهدة المتبقية حول هذه المنطقة (المركز) ممتدة يمنة ويسرة على جانبيها. إن هذين الأمرين يمكن أن يميزا التوزيع عددياً، ويعطيان خلاصة سهلة من جهة وتفيدان من جهة أخرى في مقارنة هذا التوزيع مع توزيع آخر من الطبيعة نفسها. وثمة عدة معايير أو مقاييس عددية مميزة للتوزيعات الإحصائية أهمها مقاييس النزعة المركزية وأشهرها المتوسط الحسابي ومقاييس التفاوت وأشهرها المدى والتشتت والانحراف المعياري، إذ يعرّف المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم بأنه حاصل قسمة مجموع تلك القيم على عددها. أما التشتت فيساوي حاصل قسمة مجموع مربعات انحرافات القيم عن متوسطها الحسابي على عددها، أما الانحراف المعياري فهو الجذر التربيعي للتشتت. فإذا أُخذت مجموعة الأوزان الموجودة في العمود الأيسر من الجدول (4) والتي عددها 6 فسيكون متوسطها الحسابي يساوي تقريباً 2.99 وسيكون مداها وهو الفرق بين أكبر قراءة للوزن وأصغر قراءة هو 2.85-3.10 = 0.25 أما انحرافها المعياري فإنه يساوي تقريباً 0.11. ويستحسن أن يكون أي مقياس من المقاييس السابقة معرفاً بصورة موضوعية ومستقلة عن المشاهد، ولا يتأثر كثيراً بالقيم المتطرفة أو الشاذة، وكذلك لا يتأثر كثيراً باختلاف العينات ذات الحجم الواحد.

 التوزيعات الإحصائية لأكثر من متغير

إذا درست معاً صفتان متغيرتان (أو أكثر) لعينة من أفراد المجتمع، فيُمثل التوزيع الإحصائي المشترك لهما بجدول ذي مدخلين، كما في الجدول التالي.

"جدول-7: التوزيع المشترك لعينة من 27 طالباً وفقاً للون العينين والتدخين"

لون العينين/التدخين	مدخن	غير مدخن	المجموع
أخضر	3	5	8
بني	2	9	11
أزرق	5	3	8
المجموع	10	17	27

يمكن أن نلاحظ من الجدول 7 وجود توزيعين «هامشيين»، الأول يتعلق بمتغير التدخين والذي يمثله العمودان الثاني والثالث في الجدول السابق، والثاني يتعلق بلون العينين والذي تمثله السطور الثلاثة الثاني والثالث والرابع في الجدول السابق. في مثل هذه الحالات يهتم الإحصائي بالبحث عن وجود ارتباط أو علاقة أو عامل كموني بين الصفتين المدروستين، كالعلاقة بين التدخين ووجود مرض السرطان، وكذلك العلاقة بين شرب الكحول ووجود مرض السرطان.

 بعض الخصائص

رجاءً وسّع هذا القسم. المزيد من المعلومات قد تكون موجودة في صفحة النقاش أو في طلبات التوسيع. رجاءً أزل هذه الرسالة عندما يتم توسيع القسم.

 تعريف كولموگروڤ

المقالة الرئيسية: فضاء الاحتمال and معيار الاحتمال

رجاءً وسّع هذا القسم. المزيد من المعلومات قد تكون موجودة في صفحة النقاش أو في طلبات التوسيع. رجاءً أزل هذه الرسالة عندما يتم توسيع القسم.

 جيل العدد العشوائي

المقالة الرئيسية: Pseudo-random number sampling

رجاءً وسّع هذا القسم. المزيد من المعلومات قد تكون موجودة في صفحة النقاش أو في طلبات التوسيع. رجاءً أزل هذه الرسالة عندما يتم توسيع القسم.

 التطبيقات

رجاءً وسّع هذا القسم. المزيد من المعلومات قد تكون موجودة في صفحة النقاش أو في طلبات التوسيع. رجاءً أزل هذه الرسالة عندما يتم توسيع القسم.

 توزيعات احتمالية شائعة

المقالة الرئيسية: قائمة التوزيعات الاحتمالية

 توزيعات احتمالية متقطعة

• توزيع برنولي
• التوزيع الثنائي
• توزيع بواسون
• توزيع هندسي
• توزيع فوق هندسي
• توزيع ثنائي سالب

 توزيعات احتمالية مستمرة

• التوزيع الطبيعي
• توزيع ستيودنت
• توزيع مكسويل-بولتزمان
• توزيع بولتزمان
• توزيع بوز-اينشتاين
• توزيع كاي
• توزيع كاي مربع
• توزيع كاي مربع المعكوس

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 انظر أيضاً

• Moment-generating function
• Copula (statistics)
• Histogram
• Likelihood function
• قائمة موضوعات الاحصاء
• Riemann–Stieltjes integral application to probability theory

 مصادر

• B. S. Everitt: The Cambridge Dictionary of Statistics, Cambridge University Press, Cambridge (3rd edition, 2006). ISBN 0-521-69027-7
• Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning, Springer, ISBN 0-387-31073-8