رياضيات الاستمثال

"Mathematical programming" redirects here. For the peer-reviewed journal, see Mathematical Programming.

"Optimization" and "Optimum" redirect here. For other uses, see Optimization (توضيح).

رسم للدالة z = f(x, y) = −(x² + y²) + 4. The global maximum at (x, y, z) = (0, 0, 4) is indicated by a blue dot.

Nelder-Mead minimum search of Simionescu's function. Simplex vertices are ordered by their values, with 1 having the lowest (fx best) value.

في الرياضيات ، مصطلح الاستمثال أو مفاضلية أو تحسين Optimization يشير إلى دراسة مسائل من الشكل التالي:

إذا كان لدينا : دالة رياضية f : A $\to$ R من مجموعة A إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. فإنه لدينا : عنصر x₀ في A بحيث أن f(x₀) ≤ f(x) من أجل جميع قيم x في المجموعة A ("تصغير" minimization ) أو بحيث أن f(x₀) ≥ f(x) من أجل جميع قيم x في المجموعة A ("تكبير" maximization ).

مثل هذه الصياغة ندعوها أحيانا : برنامج رياضي mathematical program ، و هو مصطلح لا يرتبط ببرمجة الحاسب ، لكنه يبقى مستخدما في مجالات مثل البرمجة الخطية linear programming ، فائدة هذا الحقل الدراسي تكمن في قدرته على نمذجة العديد من المسائل النظرية و الواقعية أيضا .

A تؤلف مجموعة جزئية ما من الفضاء الإقليدي Rⁿ, غالبا ما حدد عن طريق مجموعة من المحددات محددات constraints, أو المعادلات أو المتراجحات التي يجب أن تحققها عناصر A .

ficken alter عناصر A تدعى حلولا ممكنة (محتملة) feasible solutions . و الدالة f تدعى دالة موضوعية objective function أو دالة الكلفة cost function . الحل الممكن الذي يقوم بتصغير أو تكبير الدالة الموضوعية (حسب الغالية التي نريدها) ندعوه الحل الأمثل (الأفضل أو الأحسن) optimal solution .

نطاق الدالة f : وهو A يدعى فضاء البحث search space ، في حين تدعى عناصر A الحلول المرشحة candidate solution أو الحلول الممكنة feasible solutions .

بشكل عام ، يكون هناك عدة نهايات صغرى محلية local minima و نهايات عظمى maxima محلية ، حيث تعرف النهاية الصغرى المحلية x^* على انها نقطة تحقق : من أجل بعض القيم δ > 0 و جميع قيم x التي تحقق :

$\|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{*}\|\leq \delta$;

تكون الصيغة التالية محققة :

$f(\mathbf {x} ^{*})\leq f(\mathbf {x} )$

هذا يعني أنه على أي نطاق كروي محيط ب x^* تكون جميع قيم الدالة أكبر أو تساوي قيمة الدالة في هذه النقطة (هذا مفهوم النهاية الصغرى) . بشكل مشابه يمكننا تعريف النهاية العظمى و الكبيرة .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 التعلم الآلي

المقالة الرئيسية: Machine learning § Optimization

 برمجيات الحل

المقالة الرئيسية: List of optimization software

 انظر أيضاً

• Brachistochrone
• Curve fitting
• Deterministic global optimization
• Goal programming
• Important publications in optimization
• Least squares
• Mathematical Optimization Society (formerly Mathematical Programming Society)
• Mathematical optimization algorithms
• Mathematical optimization software
• Process optimization
• Simulation-based optimization
• Test functions for optimization
• Variational calculus
• Vehicle routing problem

 للاستزادة

• Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83378-7.
• Gill, P. E.; Murray, W.; Wright, M. H. (1982). Practical Optimization. London: Academic Press. ISBN 0-12-283952-8.
• Lee, Jon (2004). A First Course in Combinatorial Optimization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-01012-8.
• Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006). Numerical Optimization (2nd ed.). Berlin: Springer. ISBN 0-387-30303-0.
• Snyman, J. A.; Wilke, D. N. (2018). Practical Mathematical Optimization : Basic Optimization Theory and Gradient-Based Algorithms (2nd ed.). Berlin: Springer. ISBN 978-3-319-77585-2.

 وصلات خارجية

• "Decision Tree for Optimization Software". Links to optimization source codes
• "Global optimization".
• "EE364a: Convex Optimization I". Course from Stanford University.
• Varoquaux, Gaël. "Mathematical Optimization: Finding Minima of Functions".