أسس الرياضيات
أسس الرياضيات Foundations of Mathematics هي مصطلح يستعمل في بعض الأحيان في بعض حقول الرياضيات مثل المنطق الرياضي ونظرية النموذج ونظرية البرهان ونظرية المجموعات البديهية ونظرية النمط ونظرية العودية. البحث عن أسس الرياضيات هو أيضاً سؤال مركزي في فلسفة الرياضيات: على أي أساس مطلق يمكن القول بأن العبارات الرياضية صحيحة؟
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
الأسس الفلسفية للرياضيات
مقالة مفصلة: فلسفة الرياضيات
الأفلاطونية
- "الأفلاطونيون، مثل كورت گودل (1906-1978)، يرون أن الأرقام هي أشياء مجردة وبالضرورة موجودة، ومستقلة عن عقل الإنسان."[1]
إن الفلسفة الأساسية للواقعية الرياضية الأفلاطونية، كما يعطي أمثلة لها عالم الرياضيات كورت گودل، تقترح بوجود عالم للأشياء الرياضياتية مستقل عن الإنسان؛ وإن الإنسان يكتشف الحقائق عن هذه الأشياء. وبحسب هذه النظرة، فقوانين الطبيعة وقوانين الرياضيات لهما منزلتان متشابهتان، وفعاليتها لا تصبح غير معقولة. فليست بديهياتنا، ولكن العالم الواقعي جداً للأشياء الرياضية هو ما يشكل الأساس. ولذلك، يصبح السؤال الجلي هو: كيف نصل لهذا العالم؟ [2]
الشكلية
- "الشكليون، مثل ديفيد هيلبرت (1862-1943)، يرون أن الرياضيات ليست أكثر ولا أقل من لغة رياضية. فهي ببساطة سلسة من الألعاب ..." [1]
إن الفلسفة الأساسية للشكلية، كما شرحها ديفيد هيلبرت، مبنية على نظرية المجموعات وعلى حسب البديهية والمنطق الشكلي. ففعلياً جميع المبرهنات الرياضية اليوم يمكن أن تصاغ كمبرهنات من نظرية المجموعات. وحسب هذه النظرة، فحقيقة العبارات الرياضية ما هي إلا أن هذه العبارات يمكن إشتقاقها من بديهيات نظرية المجموعات مع استعمال قواعد المنطق الشكلي. [2]
الحدسية
- “الحدسيون، مثل ل. إ. ج. براور (1882-1966)، يرى أن الرياضيات هي من خلق العقل البشري. فالأرقام، مثل شخصيات الحواديت، هي مجرد كيانات ذهنية، لن تتواجد إذا لم يكن هناك عقول بشرية لتفكر فيها.”[1]
المنطقية
المنطقية هو أحد مدارس الفكر في فلسفة الرياضيات، ويطرح نظرية أن الرياضيات هي امتداد للمنطق ولذلك فبعض أو كل الرياضيات يمكن اختزاله إلى المنطق. برتراند رسل وألفرد نورث هوايتهيد تزعما هذه النظرية التي صاغها گوتلوب فرگه.
أزمة الأساس
أزمة الأساس للرياضيات (بالألمانية: Grundlagenkrise der Mathematik) كانت مصطلح مطلع القرن العشرين المعبر عن البحث عن أسس مناسبة للرياضيات.