مبرهنة الكاشي

شكل. 1 - المفاهيم المستعملة في مثلث ما.

مبرهنة الكاشي أو قانون جيب التمام هي مبرهنة خاصة بهندسة المثلثات و هي تعميم لمبرهنة فيتاغورس في المثلثات التي ليست لها زاوية قائمة: و هي تربط الضلع الثالث لمثلث بالضلعين الآخرين و جيب تمام الزاوية المكونة لهما. وقد سميت بهذا الاسم نسبة إلى العالم غياث الدين الكاشي.

نعتبر مثلث ABC, حيث نستعمل المفاهيم الموجودة في الشكل1: من جهة α, β و γ بالنسبة للزوايا, و من جهة أخرى a, b و c بالنسبة للأضلاع. مبرهنة الكاشي هي:

${\displaystyle{\displaystyle\,c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma}}$.

وبشكل مساو من الممكن كتابة العلاقة السابقة بالأشكال التالية:

${\displaystyle{\displaystyle b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos(\beta),\,}}$

${\displaystyle{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha),\,}}$

${\displaystyle{\displaystyle\cos(\gamma)={\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\ .\,}}$

 تاريخ

شكل. 2 - مثلث ABC مع ارتفاع BH

في كتاب العناصر لإقليدس، نجد مقاربة هندسية لتعميم مبرهنة فيثاغورس: نجد في الكتاب2 العبارتين 12 و 13, حيث يتم التطرق لحالة مثلث عادي بزاوية منفرجة و في مثلث عادي بزوايا حادة. لكن عدم وجود الدوال المثلثية (آنذاك) و كذلك الجبر أدى إلى استعمال المساحات.

فالعبارة 12 : مربع الضلع الذي يحمل الزاوية المنفرجة أكبر من مربعي الضلعين الآخرين: و باستعمال المثلث ABC بزاوية منفرجة في A و ارتفاع H (شكل2) الصيغة تصبح: AB² = CA² + CB² + 2 CA CH.

و كان يجب انتظار العرب المسلمين لتظهر الدوال المثلثية لرؤية المبرهنة في تطورها: فالفلكي و الرياضي البتاني عمم نتيجة إقليدس في الهندسة الفضائية و التي مكنت من القيام بحساب المسافات بين النجوم. و في نفس الوقت تم إنشاء جداول للدوال المثلثية و التي أتاحت للعالم غياث الدين الكاشي صياغة المبرهنة في شكلها النهائي.

 تطبيقات

مبرهنة الكاشي في تعميم لمبرهنة فيتاغورس, عندما تكون الزاوية :${\displaystyle{\displaystyle\gamma}}$ قائمة, أو عندما يكون: ${\displaystyle{\displaystyle\cos\gamma=0}}$, المبرهنة تصبح:${\displaystyle{\displaystyle\,c^{2}=a^{2}+b^{2}}}$, و عكسيا.

شكل. 3 - تطبيق المبرهنة :الكاشي زاوية أو ضلع مجهول.

النظرية تستعمل في المثلثات(انظر شكل. 3)حل مثلث، أي تحديد:

• الضلع الثالث لمثلث نعرف فيه زاوية و الضلعين المكونين لها:

${\displaystyle{\displaystyle\,c={\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma}}}}$ ;

• زوايا مثلث نعرف فيه الأضلاع:

${\displaystyle{\displaystyle\,\gamma=\arccos{\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}}$.

 البرهان

 بتقسيم المساحات

من بين طرق البرهنة حساب المساحات، حيث يتم ملاحظة ما يلي:

• ${\displaystyle{\displaystyle a^{2}}}$, ${\displaystyle{\displaystyle b^{2}}}$ و ${\displaystyle{\displaystyle c^{2}}}$ هي مساحات لمربع أضلاعه على التوالي ${\displaystyle{\displaystyle a}}$, ${\displaystyle{\displaystyle b}}$ و ${\displaystyle{\displaystyle c}}$
• ${\displaystyle{\displaystyle ab|\cos\gamma|}}$ و هو ل متوازي أضلاع من جهة${\displaystyle{\displaystyle a}}$ و ${\displaystyle{\displaystyle b}}$ يكونان زاوية ${\displaystyle{\displaystyle\pi/2-\gamma}}$, تغيير إشارة: ${\displaystyle{\displaystyle\cos\gamma}}$ تصبح الزاوية ${\displaystyle{\displaystyle\gamma}}$ منفرجة تجعل دراسة الحالات ضرورية.

شكل. 4أ - البرهنة بالنسبة للزوايا الحادة : « طريقة التقسيم ».

الشكل 4أ (جانبه) يقسم سباعي بكيفيتين مختلفتين حيث تتم البرهنة في حالة زاوية حادة. يدخل هنا :

• بالوردي, lالمساحات ${\displaystyle{\displaystyle a^{2}}}$, ${\displaystyle{\displaystyle b^{2}}}$ في اليسار, و المساحات ${\displaystyle{\displaystyle 2ab\cos\gamma}}$ و ${\displaystyle{\displaystyle c^{2}}}$ في اليمين ;
• بالأزرق, المثلث ABC, في اليمين كما في اليسار ;
• بالرمادي, بعض المثلثات الإضافية, متطابقة مع المثلث ABC و بنفس العدد في التقسيمين.

تساوي المساحات في اليمين و اليسار يعطي

${\displaystyle{\displaystyle\,a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\cos\gamma}}$.

شكل. 4ب - البرهنة بالنسبة للزوايا المنفرجة : « طريقة التقسيم ».

الشكل 4ب (جانبه) يقسم سداسي بكيفيتين مختلفتين بكيفية برهن في حالة زاوية منفرجة. الشكل يبين

• بالوردي، المساحات ${\displaystyle{\displaystyle a^{2}}}$, ${\displaystyle{\displaystyle b^{2}}}$ و ${\displaystyle{\displaystyle-2ab\cos\gamma}}$ في اليسار, و المساحات ${\displaystyle{\displaystyle c^{2}}}$ في اليمين ;
• بالأزرق, مرتين المثلث ABC, في اليمين كما في اليسار.

تساوي المساحتين يمينا و يسارا يعطي

${\displaystyle{\displaystyle\,a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma=c^{2}}}$.

 باستعمال نظرية فيتاغورس

شكل. 5 - البرهنة باستعمال العلاقات المثلثية

الشكل 5 (جانبه) يبين طريقة البرهنة باستعمال مبرهنة فيتاغورس في مثلث قائم الزاوية ناتج عن طريق الارتفاع : ${\displaystyle{\displaystyle\,c^{2}=(a\sin\gamma)^{2}+(b-a\cos\gamma)^{2}}}$

بنفس الطريقة نبرهن في حالة مثلث بزاوية منفرجة

 انظر أيضاً

• تثليث (هندسة رياضية)
• قانون الجيب