عنصر معاكس

في الجبر التجريدي، العنصر المعاكس بالإنجليزية: Inverse element هو تعميم لفكرة نظير الجمع في الجمع، ولفكرة مقلوب عدد في الضرب. بمعنى آخر أن العنصر النظير هو العنصر الذي يقوم بإجراء تراجع للعملية الرياضية. يكون العنصر النظير للعنصر س بالنسبة لعملية معينة هو العنصر سَ والذي يعطي بتركيبه مع س - أي إجراء العملية بين العنصر ومعاكسه - العنصر المحايد لهذه العملية.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 عملية الضرب

العنصر النظير لعملية الضرب هو مقلوب العدد، بحيث يكون ناتج عملية ضرب العنصر في العنصر المعاكس هو العدد 1.

 عملية الجمع والطرح

العنصر النظير لعملية الجمع هو مضروب العدد في -1، بحيث يكون ناتج عملية جمع الطرفين هو العنصر المحايد لعملية الجمع وهو العدد صفر.

يقال عن عنصر ما أنه قابل للعكس إذا وفقط إذا كان له نظير ضمن مجموعة تعريف العملية.

 المصفوفات

$A:2\times 3={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}$

So, as m < n, we have a right inverse, $A_{\text{right}}^{-1}=A^{T}(AA^{T})^{-1}.$ By components it is computed as

${\begin{aligned}AA^{T}&={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}\\(AA^{T})^{-1}&={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}\\A^{T}(AA^{T})^{-1}&={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}=A_{\text{right}}^{-1}\end{aligned}}$

The left inverse doesn't exist, because

$A^{T}A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{bmatrix}}$

 انظر أيضاً

• وحدة (نظرية الحلقات)
• حلقة القسمة (رياضيات)

 المصادر

• M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7, p. 15 (def in unital magma) and p. 33 (def in semigroup)
• Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Clarendon Press. ISBN 0-19-851194-9. contains all of the semigroup material herein except *-regular semigroups.
• Drazin, M.P., Regular semigroups with involution, Proc. Symp. on Regular Semigroups (DeKalb, 1979), 29–46
• Miyuki Yamada, P-systems in regular semigroups, Semigroup Forum, 24(1), December 1982, pp. 173–187
• Nordahl, T.E., and H.E. Scheiblich, Regular * Semigroups, Semigroup Forum, 16(1978), 369–377.