جسيم في حلقة

جسيم في حلقة في ميكانيكا الكم (بالإنجليزية: particle in a ring ) هو أحد النماذج المسخدمة في ميكانيكا الكم تؤدي إلى كمومية الطاقة (أي أن تتخذ الطاقة كمات محددة منفصلة) . ويعتبر هذا المثال مشابها لحالة الجسيم في صندوق والمحلولة هناك بإسهاب . ولذلك يسمى هذا النموذج أحيانا " جسيم في صندوق جهدي حلقي " .

تنشأ على محيط الدائرة عددا صحيحا فقط من أنصاف طول الموجة وتكوّن موجة ساكنة ، كما يمكن تكوّن ترددات خاصة معينة تفي بهذا الشرط ، وبالتالي عدة مستويات طاقة منفصلة.

والاختلاف عن حالة الجسيم في صندوق هو أن الجسيم هنا يتحرك دائريا وليس في خط مستقيم في حلقة جهد حول نقطة معينة .

وتصاغ معادلة شرودنگر لهذه الحالة كالآتي :

${\displaystyle{\displaystyle-{\frac{\hbar^{2}}{2mr^{2}}}\cdot{\frac{\partial^{2}}{\partial\phi^{2}}}\psi(\mathbf{\phi})\;=\;E\psi(\mathbf{\phi})}}$

حيث :

E طاقة الجسيم

m كتلة الجسيم

r نصف قطر الحلقة الجهدية

${\displaystyle{\displaystyle\psi(\mathbf{\phi})}}$ الدالة الموجية للجسيم .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 الصياغة الرياضية

لكي نحصل عل الدوال الموجية و ومستويات الطاقة لجسيم في الحلقة نستخدم معادلة شرودنغر في الحالة المستقرة (التي لا تعتمد على الزمن) في الجهد الموجود . ويمثل الجهد بالعلاقة:

${\displaystyle{\displaystyle V(\phi)={\begin{cases}V_{0},&{\text{when }}r=\rho\\ \infty,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}}$

ويمكن كتابة معامل هاميلتون في نظام الإحداثيات الكروية في مسألتنا كالآتي:

${\displaystyle{\displaystyle{\hat{H}}=-{\frac{\hbar^{2}}{2m\rho^{2}}}{\frac{d^{2}}{d\phi^{2}}}+V_{0}}}$

فتنتج معادلة شرودنجر التي نريد حلها :

${\displaystyle{\displaystyle\psi^{\prime\prime}(\phi)=-{\frac{2m\rho^{2}}{\hbar^{2}}}(E-V_{0})\psi(\phi).}}$

وهي معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية ، وفيها طاقة E الجسيم ، وحل المعادلة يعطينا الدالة الموجية للجسيم :

${\displaystyle{\displaystyle\psi_{M}(\phi)=\alpha e^{iM\phi}.\!\,}}$

وبالتعويض عنها في معادلة شرودنجر نحصل على :

${\displaystyle{\displaystyle M={\frac{\sqrt{2m(E-V_{0})}}{\hbar}}\rho.\!\,}}$

ولكي نصل إلى حل واضح المعنى لا بد من اختيار شرط هام ، وهو أنه بعد إتمام دورة كاملة في الحلقة لابد وأن تتخذ الدالة الموجية قيمتها الابتدائية ثانيا:

${\displaystyle{\displaystyle\psi(\phi)=\psi(\phi+2\pi),\!\,}}$

وهذا يؤدي إلى الشرط التالي:

${\displaystyle{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\alpha e^{iM\phi}&\displaystyle=\alpha e^{iM(\phi+2\pi)}\\ \displaystyle e^{iM\phi}&\displaystyle=e^{iM\phi}e^{2\pi iM}\\ \displaystyle e^{2\pi iM}&\displaystyle=1.\end{aligned}}\!\,}}$

وهذا الشرط يتحقق عندما تكون ${\displaystyle{\displaystyle M}}$ عددا صحيحا . ونحصل على الطاقات التي يمكن للجسيم امتلاكها في الحلقة عن طريق اعادة تشكيل المعادلة:

${\displaystyle{\displaystyle E={\frac{M^{2}\hbar^{2}}{2m\rho^{2}}}+V_{0},\quad M\in\mathbb{Z}.\!\,}}$

والآن نقوم بتوحيد الدالة الموجية ، عن طريق إجراء تكامل على مربع مقدار الدالة الموجية بين ${\displaystyle{\displaystyle 0}}$ و ${\displaystyle{\displaystyle 2\pi}}$ (التوحيد معناه أن الدالة الموجية موجودة في الحلقة بنسبة 100%) .

ويمكن كتابة الدالة الموجية ب صيغة أويلر التي تحول الدالة الأسية المركبة إلى دالة مثلثية بالطريقة التالية:

${\displaystyle{\displaystyle\alpha e^{iM\phi}=\alpha(i\sin{(M\phi)}+\cos{(M\phi)})\!\,}}$

وبما أن مقدار العدد المركب ${\displaystyle{\displaystyle z}}$ معرف بالعلاقة ${\displaystyle{\displaystyle|z|={\sqrt{{\text{Im}}(z)^{2}+{\text{Re}}(z)^{2}}}}}$

فنحصل على:

${\displaystyle{\displaystyle\alpha^{2}\int_{0}^{2\pi}\underbrace{\sin^{2}{(M\phi)}+\cos^{2}{(M\phi)}}_{=1}\mathrm{d}\phi=1,}}$

بذلك نحصل على قيمة ${\displaystyle{\displaystyle\alpha={\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}}}$ .

بذلك نكون قد توصلنا إلى الدالة الموجية لجسيم في الحلقة :

${\displaystyle{\displaystyle\psi_{M}(\phi)={\begin{cases}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}e^{iM\phi}\quad M\in\mathbb{Z},&{\text{when }}r=\rho\\ 0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}}$

حيث ${\displaystyle{\displaystyle\rho\!\,}}$ هو نصف قطر الحلقة الذي يستقر فيه الجسيم .

كما حصلنا أعلاه على الطاقات E التي يمكن للجسيم امتلاكها وهي تعتمد على ${\displaystyle{\displaystyle M^{2}}}$ حيث M لا تأخذ سوى أعدادا صحيحة ، وهذ هو معنى كمومية الطاقة ، فالطاقة التي يمكن للجسيم امتلاكها تكون منفصلة descret.

 الانفطار

بين حل مسألة حركة جسيم في حلقة جهدية أن طاقة الجسيم تتخذ مقادير كمومية منفصلة ، وبجانب تلك النتيجة الهامة يشير المثال إلى تواجد صفة افطار أو انشقاق مستويات الطاقة . فحل مسألة الجسيم في حلقة أتي بقيم ل ${\displaystyle{\displaystyle M}}$ ذات إشارة موجبة وذات إشارة سالبة ، أي تمثل حالتين مختلفتين حيث ${\displaystyle{\displaystyle M^{2}}}$ تمثل نفس الطاقة . هذا معناه أنه توجد لكل مستوي طاقة حالتين ، ويسمى ذلك أن النظام منفطر انفطارا ثنائيا .

ونشاهد ظاهرة انفطار مستويات طاقة الإلكترون في الذرات عند تعرض الذرة إلى مجال مغناطيسي خارجي شديد كما في تأثير زيمان ، أو تعرض الذرة إلى مجال كهربائي خارجي شديد مثلما في تأثير شتارك. وتظهر عمليا في هيئة انشقاق خطوط الطيف لها .

 توحيد الدالة الموجية للزخم الزاوي

للحصول على القيم ${\displaystyle{\displaystyle A}}$ للزخم الزاوي نستخدم عملية التوحيد وهي أحد شروط حل الدالة الموجية لجسيم . والتوحيد معناه أن الجسيم موجود فعلا في الحلقة .

للحصول على قيمة الدالة الموجية نضرب الدالة الموجية في مرافقها ${\displaystyle{\displaystyle\psi^{*}}}$ ، ونأخذ الجذر التربيعي منها.

نحصل على ثابت التوحيد ${\displaystyle{\displaystyle A}}$ بإجراء تكامل المعادلة:

بذلك نحصل على الدالة الموجية الموحدة :

وتتحقق المعادلة عندما يكون ثابت التوحيد عددا حقيقيا (أي عندما يكون طور الموجة مساويا للصفر ، ${\displaystyle{\displaystyle\beta=0}}$).

وبالتعويض عنها في معادلة مربع الدالة الموجية أعلاه , نحصل على الكثافة الاحتمالية :

وهي نتيجة تتفق مع الميكانيكا الكلاسيكية .

 انظر أيضاً

• معادلة شرودنگر
• جهد يوكاوا
• ميكانيكا الكم
• هزاز توافقي
• هزاز توافقي (ميكانيكا الكم)
• جسيم في صندوق