بردية أحمس الرياضية

بردية أحمس (رايند) الرياضية
Rhind Mathematical Papyrus
بردية أحمس (رايند) الرياضية; Rhind Mathematical Papyrus
المتحف البريطاني، لندن.
	جزء من بردية أحمس الرياضية.
التاريخ	الفترة الانتقالية المصرية الثانية
المنشأ	طيبة
اللغة	المصرية (الهيراطية)
الناسخ	أحمس
المؤلف	أحمس
القياسات	الطول: 536 سم; العرض: 32 سم
أخرى	BM/Big no. AE 10058, Reg no. 1865,0218.3

بردية أحمس (أو رايند) الرياضية Rhind Mathematical Papyrus (بردية المتحف البريطاني رقم 10057، وpBM 10058)، هي أفضل مثال على الرياضيات المصرية، سميت على اسم ألكسندر هنري رايند، الأثري الإسكتلندي، الذي اشترى البردية عام 1858 في الأقصر، مصر؛ والتي يُرجح أنه تم العثور عليها أثناء أعمال تنقيب غير قانونية في، أو بالقرب من، الرمسيوم. ترجع إلى حوالي عام 1650 ق.م.. المتحف البريطاني، حيث تـُحفظ حالياً معظم تلك البردية، استحوذ عليها عام 1865 مع اللفافة الجلدية الرياضية المصرية، التي كان يملكها هنري رايند؛^[1] وثمة قطع صغيرة قليلة محفوظة في متحف بروكلن في مدينة نيويورك^[2]^[3] ومفقود منها القسم الأوسط بعرض 18 سم. وهي واحدة من برديتين رياضيتين شهيرتين، الثانية هي بردية موسكو الرياضية. بردية أحمس أكبر من بردية موسكو الرياضية، بينما الأخيرة هي الأقدم.^[2]

تعود بردية أحمس إلى الفترة الانتقالية الثانية في مصر( 2000-1700 ق.م.)؛ ولكن هذه البردية نفسها تشير إلى كتابات رياضية أقدم منها بخمسمائة عام. وهي تحسب سعة مخزن للغلال أو مساحة حقل وتضرب لهذا الحساب أمثلة، ثم تنتقل من هذا إلى معادلات جبرية من الدرجة الأولى.^[4] قام بنسخها الكاتب أحمس (أي أحموسى؛ أو "أحمِس" هي النسخ الأقدم الذي يفضله مؤرخو الرياضيات)، من نص مفقود الآن من عهد الملك أمنمحات الثالث (1860-1814 ق.م.، الأسرة الثانية عشر). كُتبت هذا المخطوطة بالخط الهيراطي بطول 33 سم وتتكون من عدة أجزاء تجعلها إجمالاً أكثر من 5 أمتار. بدأت ترجمة البردية لفظياً ورياضياً إلى لغة أخرى في أواخر القرن التاسع عشر. يبقى جانب الترجمة الرياضية غير مكتمل من عدة نواحٍ. الوثيقة مؤرخة بالسنة 33 لملك الهكسوس أبوفيس وتحتوي أيضاً على ملاحظة تاريخية منفصلة لاحقة على الظهر من المحتمل أن تعود إلى الفترة ("العام 11") من خليفته خامودي.^[5]

في الفقرات الافتتاحية من البردية، يقدم أحمس البردية على أنها تعطي "حساباً دقيقاً للاستعلام عن الأشياء، ومعرفة كل الأشياء، والأسرار ... كل الأسرار". وياصل قائلاً:

نُسِخ هذا الكتاب في السنة الملكية 33، الشهر 4 من آخت، في عهد جلالة ملك مصر العليا والدنيا، آوسر رع، معطى الحياة، من نسخة قديمة كـُتِبت في زمن ملك مصر العليا والدنيا ني ماعت رع. بكتابة أحمس هذه النسخة.^[1]

نُشر العديد من الكتب والمقالات حول بردية أحمس Rhind الرياضية، ومن بينها ثلة من الكتب البارزة.^[2] نشر پيت بردية رايند الرياضية في عام 1923 ويحتوي على مناقشة للنص الذي أعقب ملخص گريفث للكتب الأول والثاني والثالث.^[6]وقد نشر تشيس خلاصة وافية في 1927-1929 تضمنت صوراً للنص.^[7] كما نُشر استعراضاً عاماً أكثر حداثة لبردية أحمس في عام 1987 من قبل روبنز وشوت.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

أهميتها

حفظت لنا الدهور وثائق تكفي لتجميع صورة واضحة عن طرق وأساليب علوم الرياضيات لدى المصريين القدماء^[8]، وتعدّ بردية أحمس/رايند من أوسع هذه الوثائق شمولاً. ولا تتناول البردية أطروحة نظرية، بل تستعرض قائمة من المسائل العملية التي تواجه الناس في مختلف مجالات الإدارة والبناء، حيث يغطي النص 84 مسألة تتعلق بالمعادلات الرقمية، وحل المشكلات العملية، وحساب الأشكال الهندسية. وكانت غالبية المصريين الملمّين بالقراءة والكتابة يزاولون مهنة الكاتب، حيث اشتملت واجباتهم الوظيفية على أداء عدد من المهام المختلفة التي تستدعي منهم بعض المهارات الرياضية إلى جانب مهارات الكتابة.

ولبردية أحمس الرياضية أهمية إضافية كوثيقة تاريخية، حيث سطر الكاتب فيها أنه يحررها في العام 33 من حكم أبوفيس، الملك قبل الأخير من الأسرة الخامسة عشر، أي إبان عهد الهكسوس (نحو 1650-1550 ق.م.)، كما أضاف أنه ينسخها من بردية أصلية تعود إلى عهد أمنمحات الثالث (الأسرة الثانية عشرة). وعلى الوجه الآخر من البردية، يذكر الكاتب "السنة 11"، إلى جانب إشارة إلى الاستيلاء على بعض المدن المصرية. والأرجح أن هذا يشير إلى القتال بين المصريين والهكسوس قبيل بداية عصر الدولة الحديثة (1550-1070 ق.م.). ومع ذلك، لا نستطيع الجزم بهوية هذا الملك الذي مضى على عهده 11 سنة حين تم تدوين هذه البردية.

كان المحامي الاسكتلندي ألكسندر هنري رايند قد اقتنى هذه البردية إبان إقامته في الأقصر في 1858.

الكتاب الأول

مقال رئيسيs: جدول 2/ن في بردية أحمس الرياضية and كسر مصري

يتكون الجزء الأول من بردية أحمس من جداول مرجعية ومجموعة من 20 مسألة حسابية و20 مسألة جبرية. تبدأ المسائل بتعبيرات كسرية بسيطة، متبوعة بمسائل إكمال (سخم) ومعادلات خطية أكثر تعقيداً (مسائل آحا).^[2]

الجزء الأول من البردية يشغـَله جدول 2/ن. يتم التعبير عن الكسور 2/ن لـ ن الفردية التي تتراوح من 3 إلى 101 كمجموع من كسور الوحدة. علي سبيل المثال $2/15=1/10+1/30$ . ويتم تحليل 2/n إلى كسور وحدة لا تزيد أبداً عن 4 حدود طويلة كما في المثال $2/101=1/101+1/202+1/303+1/606$ .

يلي هذا الجدول جدول آخر أصغر كثيراً من التعبيرات الكسرية للأرقام من 1 إلى 9 مقسومة على 10. فعلى سبيل المثال، فإن قسمة 7 على 10 تـُسجـَّل كالتالي:

7 مقسومة على 10 تنتج 2/3 + 1/30

بعد هذين الجدولين، تسجل البردية 91 مسألة إجمالاً، صنفها علماء الرياضيات المحدَثون على أنها مسائل (أو أرقام) 1-87، بما في ذلك أربعة عناصرأخرى تم تصنيفها على أنها المسائل 7ب و 59ب و 61ب و 82ب. المسائل 1-7، 7ب و 8-40 تتعلق بالحساب والجبر الابتدائي.

تحسب المسائل من 1 إلى 6 تقسيمات عدد معين من أرغفة الخبز بواسطة 10 رجال وتسجيل النتيجة في كسور الوحدة. وتوضح المسائل من 7 إلى 20 كيفية ضرب التعابير 1 + 1/2 + 1/4 و1 + 2/3 + 1/3 في كسور مختلفة. المسائل من 21 إلى 23 هي مسائل في الإكمال، وهي في التدوين الحديث مجرد مسألة طرح. يتم حل المسألة بواسطة الناسخ ليضرب المسألة بأكملها في المضاعف المشترك الأصغر من المقامات، وحل المسألة ثم إعادة القيم إلى كسور. المسائل من 24 إلى 34 هي مسائل ’’aha’’. وهي المعادلات الخطية. المسألة 32 على سبيل المثال تقابل (في التدوين الحديث) حل x + 1/3 x + 1/4 x = 2 لـ x. مسائل 35-38 تنطوي على تقسيم حقعت. تحسب المسألتان 39 و40 قسمة الأرغفة واستخدامها المتتاليات الحسابية.^[1]

الكتاب الثاني - هندسة

جزء من بردية أحمس الرياضية.

يتكون الجزء الثاني من بردية أحمس، وهي المسائل 41-59 و59ب و60، من مسائل هندسية. أشار پيت إلى هذه المشاكل على أنها "مسائل القياس"..^[2]

الأحجام

توضح المسائل 41-46 كيفية العثور على حجم كل من مخازن الحبوب الأسطوانية والمستطيلة. في المسألة 41، يحسب أحمس حجم مخزن الحبوب الأسطواني. بالنظر إلى القطر d والارتفاع h ، ويُعطى الحجم V بالصيغة التالية:

V=[(1-1/9)d]^{2}h

في التدوين الرياضي الحديث (وباستخدام d = 2r) فذلك يعطي $V=(8/9)^{2}d^{2}h=(256/81)r^{2}h$ . الحد الكسري 256/81 يقرّب قيمة π على أنها 3.1605، وهو خطأ أقل من واحد بالمائة.

المسألة 47 هي عبارة عن معادلات كسرية تمثل الحالات العشر حيث يتم قسمة كمية الحجم المادي "100 حقعت رباعي" على كل من مضاعفات العشرة، من عشرة إلى مائة. يتم التعبير عن خوارج القسمة كحدود من كسور عين حورس، وأحياناً أيضاً تـُستخدَم وحدة حجم أصغر كثيراً، تـُعرف بإسم "رو رباعية". الحقعت الرباعية والرو الرباعية هي وحدات حجم مشتقة من الحقعت والرو البسيطتين، بحث أن كلك الوحدات الأربع للحجم تلبي العلاقات التالية: 1 حقعت رباعي = 4 حقعت = 1280 رو = 320 رو رباعي. وبذلك،

1/10 يعطي 10 حقعت رباعي

1/20 يعطي 5 حقعت رباعي

1/30 يعطي 3 1/4 1/16 1/64 حقعت (رباعي) و1 2/3 رو

1/40 يعطي 2 1/2 حقعت رباعي

1/50 يعطي 2 حقعت رباعي

1/60 يعطي 1 1/2 1/8 1/32 حقعت (رباعي) 3 1/3 رو

1/70 يعطي 1 1/4 1/8 1/32 1/64 حقعت (رباعي) 2 1/14 1/21 رو

1/80 يعطي 1 1/4 حقعت (رباعي)

1/90 يعطي 1 1/16 1/32 1/64 حقعت (رباعي) 1/2 1/18 رو

1/100 يعطي 1 حقعت (رباعي) ^[1]

100/10 حقعت رباعي = 10 حقعت رباعي

100/20 حقعت رباعي = 5 حقعت رباعي

100/30 حقعت رباعي = (3 + 1/4 + 1/16 + 1/64) رباعي حقعت + (1 + 2/3) رباعي رو

100/40 حقعت رباعي = (2 + 1/2) أربع حقعت

100/50 حقعت رباعي = 2 حقعت رباعي

100/60 حقعت رباعي = (1 + 1/2 + 1/8 + 1/32) ربع حقعت + (3 + 1/3) رباعي رو

100/70 حقعت رباعي = (1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 + 1/64) رباعي حقعت + (2 + 1/14 + 1/21 + 1/42) رباعي رو

100/80 حقعت رباعي = (1 + 1/4) حقعت رباعي

100/90 حقعت رباعي = (1 + 1/16 + 1/32 + 1/64) حقعت رباعي + (1/2 + 1/18) رباعي رو

100/100 حقعت رباعي = 1 حقعت رباعي ^[1]

المساحات

تبيـِّن المسائل 48-55 كيفية حساب مجموعة متنوعة من المساحات. وتتميز المسألة 48 بأنها تحسب بإيجاز مساحة الدائرة بتقريب قيمة π. وتحديداً تعزز المسألة 48 بشكل صريح الاصطلاح (المستخدم في أرجاء قسم الهندسة) أن "نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع الذي يحيط بها هي النسبة 64/81." وبالمثل، فإن البردية تقرّب π إلى 256/81، كما لوحظ أعلاه في شرح المسألة 41.

يقارن الناسخ مساحة الدائرة (تقريباً بواسطة مثمن) ومربعها المحيط. يتم تقسيم كل جانب إلى ثلاثة أجزاء ثم يتم إزالة مثلثات الزوايا. الشكل الثماني الناتج يقترب من الدائرة. مساحة الشكل الثماني هي: $9^{2}-4\times [{\frac {1}{2}}(3)(3)]=63$ ; بعد ذلك، نحسب 63 تقريباً ليكون 64 ونلاحظ ذلك $64=8^{2}$ . ونحصل على التقريب $\pi ({\frac {9}{2}})^{2}\approx 8^{2}$ . بإيجاد قيمة π نحصل على التقريب $\pi \approx {\frac {256}{81}}\approx 3.1605$ (خطأ التقريب .0189).

إن كون هذا الشكل الثماني، الذي يمكن حساب مساحته بسهولة، يقارب بدقة مساحة الدائرة هو مجرد حظ سعيد. الحصول على تقريب أفضل للمساحة باستخدام تقسيمات أدق للمربع وبرهان مماثل ليس بالأمر السهل.^[1]^[9]

توضح المسائل الأخرى كيفية إيجاد مساحة المستطيلات والمثلثات وأشباه المنحرف.

الأهرامات

تتعلق المسائل الست الأخيرة بميول الأهرامات. تـَرِد مسألة سقد كالتالي:^[10]

إذا كان ارتفاع الهرم 250 ذراعاً وطول ضلع قاعدته 360 ذراعاً فما هو حجمه (سقد)؟?"

يُعطى حل المسألة كنسبة نصف جانب قاعدة الهرم إلى ارتفاعه، أو نسبة الارتفاع لوجهه. وبعبارة أخرى، فإن الكمية التي وجدها من أجل سقد هي ظل التمام لزاوية قاعدة الهرم ووجهه.^[10]

الكتاب الثالث - منوعات

يتكون الجزء الثالث من بردية أحمس/رايند من باقي المسائل البالغ عددها 91 مسألة، وهي 61، و61ب، و62-82، و82ب، و83-84، و"أرقام" 85-87، وهي عناصر ليست ذات طبيعة رياضية. يحتوي هذا القسم الأخير على جداول بيانات أكثر تعقيداً (والتي غالباً ما تتضمن كسور عين حورس)، والعديد من مسائل "pefsu" التي تعتبر مسائل جبرية أولية تتعلق بإعداد الطعام، بل وحتى مسألة مسلية (79) توحي بمتوالية هندسية، ومتسلسلة هندسية، وبعض المسائل والأحاجي اللاحقة في التاريخ. تنص المسألة 79 صراحةً: "سبعة منازل، 49 قطة، 343 فأراً، 2401 سنبلة من الحنطة، 16807 حقعت". وتتعلق المسألة 79 بشكل خاص بحالة 7 منازل يضم كل منهم سبع قطط، يأكل كل منها سبعة فئران، كل منها قد أكل سبع سنابل من الحبوب، كل منها كان سينتج سبعة مقاييس من الحبوب. لذلك فالجزء الثالث من بردية أحمس هو ضرب من المنوعات، يبني على ما تم تقديمه بالفعل. تتعلق المسألة 61 بضرب الكسور. في غضون ذلك، تعطي المسألة 61ب تعبيراً عاماً لحساب 2/3 لـ 1/n، حيث n فردية. في التدوين الحديث، الصيغة المعطاة هي:

{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}

ترتبط التقنية الواردة في 61ب ارتباطاً وثيقاً باشتقاق جدول 2/n.

المسائل 62-68 هي مشاكل عامة ذات طبيعة جبرية. المسائل 69-78 كلها مسائل پفسو pefsu بشكل أو بآخر. أنها تنطوي على حسابات تتعلق بقوة الخبز والبيرة، فيما يتعلق ببعض المواد الخام المستخدمة في إنتاجها.^[1]

المسألة 79 تجمع خمسة حدود في المتتاليات الهندسية. تشير لغتها بقوة إلى الأحجية الحديثة وترنيمة الأطفال "بينما كنت ذاهباً إلى سانت إيڤز".^[2] المسألتان 80 و81 تحسبان كسور عين حورس لـ هينو (أو حقعت). المسائل الحسابية الأربعة الأخيرة، المسائل 82 و82ب و83-84، تحسب كمية العلف اللازمة لمختلف الحيوانات، مثل الطيور والثيران.^[1] ومع ذلك، فإن هذه المسائل، وخاصة 84، تعاني من الغموض والارتباك وببساطة عدم الدقة.

صُنفت العناصر الثلاثة الأخيرة في بردية أحمس الرياضية بأنها "الأرقام" 85-87، على عكس "المسائل"، وهي مبعثرة على نطاق واسع عبر الجانب الخلفي من ورق البردي، أو الجانب العكسي. فهي، على التوالي، عبارة قصيرة تختتم الوثيقة (ولديها عدة ترجمات محتملة، كما هو موضح أدناه)، قطعة من مسودة ورقية لا علاقة لها بمتن الوثيقة، وتستخدم لتجميعها (أو ربطها) معاً (لكنها تحتوي على كلمات وكسور مصرية. التي أصبحت الآن مألوفة لقارئ الوثيقة)، وملاحظة تاريخية صغيرة يُعتقد أنها كتبت بعد مرور بعض الوقت على الانتهاء من كتابات البردية. يُعتقد أن هذه المذكرة تصف الأحداث التي وقعت خلال هيمنة "الهكسوس"، وهي فترة الانقطاع الخارجي في المجتمع المصري القديم والتي ترتبط ارتباطاً وثيقاً بالفترة الوسيطة الثانية. مع هذه الأخطاء غير الرياضية والمثيرة للاهتمام تاريخياً لغوياً، تنتهي كتابة البردية.

توافق الوحدات

يتعلق جزء كبير من مواد بردية أحمس/رايند بوحدات القياس المصرية القديمة وخاصة تحليل الأبعاد المستخدم للتحويل فيما بينها. ونشاهد في الصورة التالية تطابق وحدات القياس المستخدمة في البردية.

وحدات القياس المستخدمة في بردية أحمس/رايند.

المحتوى

يلخص هذا الجدول محتوى بردية أحمس/رايند عن طريق إعادة صياغة حديثة موجزة. وهي تستند إلى العرض المكون من مجلدين من البردية الذي نشره أرنولد بفم تشيس في عام 1927، وفي عام 1929.^[7] بشكل عام، تتكون البردية من أربعة أقسام: صفحة عنوان، وجدول 2/n، وجدول صغير "1–9/10، و91 مسألة، أو "أرقام". تم ترقيم الأخيرة من 1 إلى 87 وتتضمن أربعة عناصر رياضية تم تحديدها من قبل الحديثين كمشاكل 7B و59B و61B و82B. الأرقام 85-87، في الوقت نفسه، ليست عناصر رياضية تشكل جزءاً من نص المستند، ولكنها بدلاً من ذلك هي على التوالي: عبارة صغيرة تنهي المستند، وقطعة من "قصاصات الورق" تُستخدم لتثبيت المستند معاً (بعد احتوائه بالفعل كتابة غير ذات صلة)، ومذكرة تاريخية يعتقد أنها تصف فترة زمنية بعد وقت قصير من الانتهاء من جسم البردية. تمت كتابة هذه العناصر الثلاثة الأخيرة على مناطق متباينة من الورقة اليسرى من البردية(الجانب الخلفي)، بعيداً عن المحتوى الرياضي. لذلك يميزها تشيس عن طريق تصنيفها على أنها "أرقام" بدلاً من "مسائل"، مثل العناصر المرقمة الأخرى البالغ عددها 88 عنصراً.

أرقام القسم أو المسألة	بيان المسألة أو الوصف	الحل أو الوصف	ملاحظات
عنوان الصفحة	يعرّف أحمس نفسه وظروفه التاريخية.	"الحساب الدقيق. المدخل إلى معرفة كل الأشياء الموجودة وكل الأسرار الغامضة. تم نسخ هذا الكتاب في العام 33، في الشهر الرابع من موسم الفيضان، في ظل جلالة ملك مصر العليا والدنيا. أ-أسر-رع، الذي وهب الحياة، على غرار الكتابات القديمة التي صدرت في عهد ملك مصر العليا والدنيا، ني ما رع. والكاتب أحمس هو الذي نسخ هذه الكتابة".	يتضح من صفحة العنوان أن أحمس يحدد كلاً من فترته الخاصة، بالإضافة إلى فترة نص قديم أو نصوص من المفترض أنه نسخ منها، وبالتالي أنشأ بردية ريند. تحتوي البردية على مادة مكتوبة على كلا الجانبين - أي الصفحة اليمنى والصفحة اليسرى. انظر الى الصورة لمزيد من التفاصيل.
جدول 2/n	عبر عن كل من حاصل القسمة من 2/3 إلى 2/101 (حيث يكون المقام فردي دائم) في صورة كسر مصري.	راجع مقالة جدول 2/ن في بردية أحمس الرياضية للحصول على ملخص وحلول لهذا القسم.	في جميع أنحاء البردية، يتم تقديم معظم الحلول على أنها تمثيلات كسرية مصرية معينة لرقم حقيقي معين. ومع ذلك، نظراً لأن كل رقم منطقي موجب يحتوي على عدد لا نهائي من التمثيلات ككسر مصري، فإن هذه الحلول ليست فريدة من نوعها. ضع في اعتبارك أيضاً أن الكسر 2/3 هو الاستثناء الوحيد المستخدم بالإضافة إلى الأعداد الصحيحة التي يستخدمها أحمس جنباً إلى جنب مع جميع الكسور المنطقية (الموجبة) للتعبير عن الكسور المصرية. يمكن القول أن الجدول 2/n يتبع خوارزمية جزئياً (انظر المسألة 61 ب) للتعبير عن 2/n ككسر مصري من مصطلحين، عندما يكون n مركباً. ومع ذلك، يتم تجاهل هذه الخوارزمية الوليدة في العديد من المواقف عندما يكون n عدداً أولياً. لذلك، فإن طريقة حلول جدول 2/n تقترح أيضاً بدايات نظرية الأعداد، وليس مجرد حساب.
جدول 1–9/10	كتابة حاصل القسمة من 1/10 إلى 9/10 ككسور مصرية.	${\frac {1}{10}}={\frac {1}{10}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {2}{10}}={\frac {1}{5}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {3}{10}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}$ ${\frac {4}{10}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {5}{10}}={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {6}{10}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}$ ${\frac {7}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{30}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {8}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {9}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{30}}$
مسائل 1–6	1، 2، 6، 7، 8 و9 أرغفة من الخبز (على التوالي، في كل مسألة) مقسمة على 10 رجال. في كل حالة، تمثيل نصيب كل رجل من الخبز كجزء مصري.	${\frac {1}{10}}={\frac {1}{10}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {2}{10}}={\frac {1}{5}}$ ${\frac {6}{10}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {7}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{30}}$ ${\frac {8}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}\;\;\;;\;\;\;{\frac {9}{10}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{30}}$	إن المسائل الست الأولى من البردية هي تكرارات بسيطة للمعلومات المكتوبة بالفعل في جدول 1-9/10، والآن في سياق مسائل القصة.
7, 7B, 8–20	لندع $S=1+1/2+1/4={\frac {7}{4}}$ and $T=1+2/3+1/3=2$ . ثم بالنسبة للمضاعفات التالية، نكتب حاصل الضرب في صورة كسر مصري.	$7:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}{\bigg )}S={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;7B:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}{\bigg )}S={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;8:{\frac {1}{4}}T={\frac {1}{2}}$ $9:{\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{14}}{\bigg )}S=1\;\;\;;\;\;\;10:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}{\bigg )}S={\frac {1}{2}}\;\;\;;\;\;\;11:{\frac {1}{7}}S={\frac {1}{4}}$ $12:{\frac {1}{14}}S={\frac {1}{8}}\;\;\;;\;\;\;13:{\bigg (}{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{112}}{\bigg )}S={\frac {1}{8}}\;\;\;;\;\;\;14:{\frac {1}{28}}S={\frac {1}{16}}$ $15:{\bigg (}{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{224}}{\bigg )}S={\frac {1}{16}}\;\;\;;\;\;\;16:{\frac {1}{2}}T=1\;\;\;;\;\;\;17:{\frac {1}{3}}T={\frac {2}{3}}$ $18:{\frac {1}{6}}T={\frac {1}{3}}\;\;\;;\;\;\;19:{\frac {1}{12}}T={\frac {1}{6}}\;\;\;;\;\;\;20:{\frac {1}{24}}T={\frac {1}{12}}$	نفس المضاعفين (يشار إليهما هنا بـ S وT) يتم استخدامهما باستمرار خلال هذه المسائل. لاحظ أيضاً أن أحمس يكتب بشكل فعال نفس المسألة ثلاث مرات (7، 7ب، 10)، وأحياناً يتعامل مع نفس المسألة بعمل حسابي مختلف.
21–38	لكل من المعادلات الخطية التالية ذات المتغير $x$ ، الحل لـ $x$ و التعبير $x$ ككسر مصري.	$21:{\bigg (}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{15}}{\bigg )}+x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{15}}$ $22:{\bigg (}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{30}}{\bigg )}+x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}$ $23:{\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}{\bigg )}+x={\frac {2}{3}}\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{9}}+{\frac {1}{40}}$ $24:x+{\frac {1}{7}}x=19\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=16+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}$ $25:x+{\frac {1}{2}}x=16\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=10+{\frac {2}{3}}$ $26:x+{\frac {1}{4}}x=15\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=12$ $27:x+{\frac {1}{5}}x=21\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=17+{\frac {1}{2}}$ $28:{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}-{\frac {1}{3}}{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=9$ $29:{\frac {1}{3}}{\Bigg (}{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}+{\frac {1}{3}}{\bigg (}x+{\frac {2}{3}}x{\bigg )}{\Bigg )}=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=13+{\frac {1}{2}}$ $30:{\bigg (}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}{\bigg )}x=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=13+{\frac {1}{23}}$ $31:x+{\frac {2}{3}}x+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{7}}x=33\;\;\;\rightarrow$ $x=14+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{97}}+{\frac {1}{194}}+{\frac {1}{388}}+{\frac {1}{679}}+{\frac {1}{776}}$ $32:x+{\frac {1}{3}}x+{\frac {1}{4}}x=2\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=1+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{114}}+{\frac {1}{228}}$ $33:x+{\frac {2}{3}}x+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{7}}x=37\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=16+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{679}}+{\frac {1}{776}}$ $34:x+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{4}}x=10\;\;\;\rightarrow \;\;\;x=5+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}$ $35:{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}$ $36:{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{53}}+{\frac {1}{106}}+{\frac {1}{212}}$ $37:{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{32}}$ $38:{\bigg (}3+{\frac {1}{7}}{\bigg )}x=1\;\;\;\rightarrow \;\;\;x={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{22}}+{\frac {1}{66}}$	لاحظ أن المسألة 31 لها حل مرهق بشكل خاص. على الرغم من أن بيان المسائل من 21 إلى 38 قد يبدو في بعض الأحيان معقداً (خاصة في نثر أحمس)، فإن كل مشكلة تختزل في النهاية إلى معادلة خطية بسيطة. في بعض الحالات، تم حذف وحدة من نوع ما، لكونها غير ضرورية لهذه المسائل. هذه الحالات هي مسائل 35-38، والتي تشير بياناتها و"عملها" لأول مرة إلى وحدات الحجم المعروفة باسم حقعت ورو (حيث 1 حقعت = 320رو)، والتي ستظهر بشكل بارز في بقية البردية. في الوقت الحالي، فإن ذكرهم واستخدامهم حرفياً في 35-38 أمر غير مطلوب.
39	سيتم توزيع 100 رغيف بشكل غير متساو على 10 رجال. سيتم تقسيم 50 رغيفاً بالتساوي بين 4 رجال بحيث يحصل كل من هؤلاء الأربعة على حصة متساوية $y$ ، بينما سيتم تقسيم الخمسين رغيفاً الأخرى بالتساوي بين الرجال الستة الآخرين بحيث يحصل كل من هؤلاء الستة على حصة متساوية. حصة متساوية $x$ . أوجد الفرق بين هاتين الحصتين $y-x$ والتعبير عن نفس الكسر المصري.	$y-x=4+{\frac {1}{6}}$	في المسألة 39، تبدأ البردية في النظر في المواقف التي تحتوي على أكثر من متغير واحد.
40	100 رغيف خبز يقسم على خمسة رجال. يجب أن تكون حصص الخبز الخمسة للرجال في متوالية حسابية، بحيث تختلف الأسهم المتتالية دائماً بفارق ثابت، أو $\Delta$ . علاوة على ذلك، يجب أن يساوي مجموع أكبر ثلاثة أسهم سبعة أضعاف مجموع أصغر سهمين. أوجد $\Delta$ واكتبه في صورة كسر مصري.	$\Delta =9+{\frac {1}{6}}$	تختتم المسألة 40 تختتم القسم الحسابي/الجبري من البردية، ويتبعه قسم الهندسة. بعد المسألة 40، يوجد قسم كبير من المساحة الفارغة على البردية، مما يشير بصرياً إلى نهاية المقطع. بالنسبة للمسألة 40 نفسها، يعمل أحمس على حلها من خلال النظر أولاً في الحالة المماثلة حيث يكون عدد الأرغفة 60 مقابل 100. ثم صرح أنه في هذه الحالة يكون الفرق 5 1/2 وأن أصغر حصة متساوية إلى أحدهما، يسرد الآخرين، ثم يقيس عمله احتياطياً إلى 100 للحصول على نتائجه. على الرغم من أن أحمس لا يذكر الحل نفسه كما تم تقديمه هنا، إلا أن الكمية واضحة ضمنياً بمجرد إعادة تحجيم خطوته الأولى بالضرب 5/3 × 11/2، لإدراج الأسهم الخمسة (وهو ما يفعله). وتجدر الإشارة إلى أن هذه المشكلة يمكن اعتبارها ذات أربعة شروط: أ) مجموع خمسة حصص إلى 100، ب) تتراوح الحصص من الأصغر إلى الأكبر، ج) للحصص المتتالية لها ثابت ود) مجموع الحصص الثلاثة الأكبر حصة تساوي سبعة أضعاف مجموع حصتين أصغر. بدءاً من الشروط الثلاثة الأولى فقط، يمكن للمرء استخدام الجبر الأولي ثم التفكير فيما إذا كانت إضافة الشرط الرابع تؤدي إلى نتيجة متسقة. يحدث أنه بمجرد توفر الشروط الأربعة، يكون الحل فريداً. فالمسألة إذن هي حالة أكثر تفصيلاً لحل المعادلات الخطية مما حدث من قبل، وهي قريبة من الجبر الخطي.
41	استخدام صيغة الحجم $V={\bigg (}d-{\frac {1}{9}}d{\bigg )}^{2}h$ $={\frac {64}{81}}d^{2}h$ لحساب حجم صومعة حبوب أسطوانية قطرها 9 أذرع وارتفاعها 10 أذرع. أوجد الإجابة بدلالة الأذرع المكعبة. علاوة على ذلك، بالنظر إلى المساواة التالية بين وحدات الحجم الأخرى، 1 ذراع مكعب = 3/2 خار = 30 هكتار = 15/2 رباعي حقعت، عبر أيضاً عن الإجابة من حيث الخار ورباعي الحقعت.	$V=640\;\;\;cubit^{3}$ $=960\;\;\;khar$ $=4800\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$	تفتح هذه المسألة قسم هندسة البردية، وتعطي أيضاً أول نتيجة غير صحيحة من الناحية الواقعية (وإن كان ذلك بتقريب جيد جداً لـ $\pi$ ، يختلف بنسبة أقل من واحد بالمائة). تم ذكر حجم مصري قديم آخر وحدات مثل الرباعي الحقعت والخار لاحقاً في هذه المسألة عن طريق تحويل الوحدات. لذلك فإن المسألة 41 هي أيضاً المشكلة الأولى التي يجب معالجتها بشكل كبير من التحليل البعدي.
42	أعد استخدام صيغة الحجم ومعلومات الوحدة المعطاة في 41 لحساب حجم صومعة حبوب أسطوانية قطرها 10 أذرع وارتفاعها 10 أذرع. أعط الإجابة بدلالة الأذرع المكعبة، والخار، ومئات من الحقعت الرباعي، حيث 400 حقعت = 100 حقعت رباعية = مائة حقعت رباعي، كلها كسور مصرية.	$V={\bigg (}790+{\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}+{\frac {1}{81}}{\bigg )}\;\;\;cubit^{3}$ $={\bigg (}1185+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{54}}{\bigg )}\;\;\;khar$ $={\bigg (}59+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{108}}{\bigg )}\;\;\;hundred\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$	المسألة 42 هي تكرار فعلي لـ 41، وإجراء تحويلات وحدة مماثلة في النهاية. ومع ذلك، على الرغم من أن المسألة تبدأ كما هو مذكور، فإن الحساب أكثر تعقيداً بشكل كبير، وبعض المصطلحات الكسرية الأخيرة غير موجودة بالفعل في المستند الأصلي. ومع ذلك، فإن السياق كافٍ لملء الفجوات، وبالتالي فقد حصل تشيس على ترخيص لإضافة بعض المصطلحات الكسرية في ترجمته الرياضية (مكررة هنا) والتي تؤدي إلى حل متسق داخلياً.
43	استخدم صيغة الحجم $V={\frac {2}{3}}{\Bigg (}{\bigg (}d-{\frac {1}{9}}d{\bigg )}+{\frac {1}{3}}{\bigg (}d-{\frac {1}{9}}d{\bigg )}{\Bigg )}^{2}h$ $={\frac {2048}{2187}}d^{2}h$ لحساب حجم صومعة الحبوب الأسطوانية التي يبلغ قطرها 9 أذرع وارتفاعها 6 أذرع، وإيجاد الإجابة مباشرة بمصطلحات كسور الخار المصرية، ولاحقاً في المصطلحات الجزئية المصرية للرباعي الحقعت والرباعية الروتينية، حيث 1 رباعي الحقعت = 4 حقعت = 1280 رو = 320 رباعي رو.	$V={\bigg (}455+{\frac {1}{9}}{\bigg )}\;\;\;khar$ $={\bigg (}2275+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{36}}{\bigg )}\;\;\;quadruple\;\;\;ro$	تمثل المسألة 43 أول خطأ رياضي خطير في البردية. حاول أحمس (أو المصدر الذي ربما كان ينسخ منه) اختصاراً من أجل إجراء كل من حساب الحجم وتحويل الوحدة من الأذرع المكعبة إلى خار الكل في خطوة واحدة، لتجنب الحاجة إلى استخدام الأذرع المكعبة في البداية نتيجة. ومع ذلك، فإن هذه المحاولة (التي فشلت بسبب الخلط بين جزء من العملية المستخدمة في 41 و42 مع تلك التي ربما كان من المفترض استخدامها في 43، مما يعطي نتائج متسقة بطريقة مختلفة) أدت بدلاً من ذلك إلى صيغة حجم جديدة غير متوافقة مع (وأسوأ من) التقريب المستخدم في 41 و42.
44, 45	واحد مكعب يساوي 15/2 حقعت رباعي. اعتبر (44) صومعة حبوب مكعبة بطول 10 أذرع على كل حافتها. عبر عن حجمه $V$ من حيث الحقعت الرباعي. من ناحية أخرى، (45) ضع في اعتبارك صومعة الحبوب المكعبة التي يبلغ حجمها 7500 حقعت رباعي، وعبر عن طول حرفها $l$ من حيث الأذرع.	$V=7500\;\;\;quadruple\;\;heqat$ $l=10\;\;\;cubit$	تمثل المسألة 45 انعكاساً دقيقاً للمسألة 44، وبالتالي يتم تقديمهما معاً هنا.
46	يبلغ حجم صومعة الحبوب المنشورية المستطيلة 2500 حقعت رباعي. صف أبعادها الثلاثة $l_{1},l_{2},l_{3}$ من حيث الاذرع.	$l_{1}=l_{2}=10\;\;\;cubit$ $l_{3}=3+{\frac {1}{3}}\;\;\;cubit$	تحتوي هذه المسألة كما هو مذكور على عدد لا نهائي من الحلول، ولكن يتم إجراء اختيار بسيط للحل يرتبط ارتباطاً وثيقاً بشروط 44 و45.
47	قسّم كمية الحجم الفيزيائي 100 حقعت على كل من مضاعفات 10، من 10 إلى 100. عبر عن النتائج بمصطلحات كسرية مصرية هي الحقعت الرباعي ورباعي رو، وقدم النتائج في جدول.	${\begin{bmatrix}{\frac {100}{10}}&q.\;heqat&=&10&q.\;heqat\\{\frac {100}{20}}&q.\;heqat&=&5&q.\;heqat\\{\frac {100}{30}}&q.\;heqat&=&(3+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}})&q.\;heqat\\&&+&(1+{\frac {2}{3}})&q.\;ro\\{\frac {100}{40}}&q.\;heqat&=&(2+{\frac {1}{2}})&q.\;heqat\\{\frac {100}{50}}&q.\;heqat&=&2&q.\;heqat\\{\frac {100}{60}}&q.\;heqat&=&(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&q.\;heqat\\&&+&(3+{\frac {1}{3}})&q.\;ro\\{\frac {100}{70}}&q.\;heqat&=&(1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}})&q.\;heqat\\&&+&(2+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}})&q.\;ro\\{\frac {100}{80}}&q.\;heqat&=&(1+{\frac {1}{4}})&q.\;heqat\\{\frac {100}{90}}&q.\;heqat&=&(1+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}})&q.\;heqat\\&&+&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{18}})&q.\;ro\\{\frac {100}{100}}&q.\;heqat&=&1&q.\;heqat\\\end{bmatrix}}$	في المسألة 47، يصر أحمس بشكل خاص على تمثيل سلاسل أكثر تفصيلاً من الكسور مثل عين حورس، بقدر ما يستطيع. قارن بين المسائل 64 و80 لتفضيل مماثل للتمثيل. للحفاظ على المساحة، تم اختصار "الرباعي" إلى "q". في جميع الحالات.
48	قارن مساحة الدائرة التي يبلغ قطرها 9 بمساحة مربعها المحيط، والتي يبلغ طول ضلعها أيضاً 9. ما هي نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع؟	${\frac {64}{81}}$	يوضح بيان وحل المسألة 48 بوضوح هذه الطريقة المفضلة لتقريب مساحة الدائرة، والتي تم استخدامها سابقاً في المسائل 41-43. ومع ذلك، فهو خاطئ. يتضمن البيان الأصلي للمسألة 48 استخدام وحدة مساحة تُعرف باسم سيتات، والتي ستعطى قريباً سياقاً إضافياً في المسائل المستقبلية. في الوقت الحالي، غير ضروري.
49	خت واحد هو وحدة طول يساوي 100 ذراع. أيضاً، "شريط الذراعين" هو قياس مستطيل للمساحة، بحيث يكون 1 ذراعاً في 100 ذراع، أو 100 ذراع مربع (أو كمية فيزيائية مساوية للمساحة). تخيل قطعة أرض مستطيلة بقياس 10 خت في 1 خت. عبر عن مساحتها $A$ بدلالة شرائح الذراع.	$A=1000\;\;\;cubit\;\;\;strip$	-
50	الخط المربع الواحد هو وحدة مساحة تساوي ستات واحدة. اعتبر دائرة قطرها 9 خت. عبر عن مساحتها $A$ بدلالة ستات.	$A=64\;\;\;setat$	المسألة 50 هي تعزيز فعال لقاعدة 64/81 48 لمنطقة الدائرة، التي تنتشر في البردية.
51	قطعة أرض مثلثة قاعدتها 4 خت وارتفاعها 10 خت. أوجد مساحتها $A$ بدلالة الستات.	$A=20\;\;\;setat$	يتذكر الإعداد والحل للعدد 51 المعادلة المألوفة لحساب مساحة المثلث، وكل تشيس يتم إعادة صياغته على هذا النحو. ومع ذلك، فإن الرسم التخطيطي للمثلث الموجود في البردية والأخطاء السابقة وقضايا الترجمة تمثل غموضاً حول ما إذا كان المثلث المعني هو مثلث قائم الزاوية، أو في الواقع إذا كان أحمس قد فهم بالفعل الظروف التي بموجبها تكون الإجابة المذكورة صحيحة. على وجه التحديد، من غير الواضح ما إذا كان بُعد 10 خت يُقصد به "ارتفاع" (في هذه الحالة يتم حل المسألة بشكل صحيح كما هو مذكور) أو ما إذا كان "10 خت" يشير ببساطة إلى "جانب" من المثلث، في هذه الحالة يجب أن يكون الشكل مثلثاً قائم الزاوية حتى تكون الإجابة صحيحة من الناحية الواقعية وتعمل بشكل صحيح. تديم هذه المسائل والاضطرابات نفسها طوال 51-53، لدرجة أن أحمس يبدو أنه يفقد فهم ما يفعله، خاصة في 53.
52	قطعة أرض شبه منحرفة لها قاعدتان، 6 خت و4 خت. ارتفاعها 20 خت. أوجد مساحتها $A$ بدلالة الستات.	$A=100\;\;\;setat$	تتشابه قضايا المسألة 52 إلى حد كبير مع قضايا 51. طريقة الحل مألوفة لدى المعاصرين، ومع ذلك فإن ظروفاً مثل تلك الموجودة في 51 تلقي بظلال من الشك على مدى فهم أحمس أو مصدره لما كانوا يفعلونه.
53	مثلث متساوي الساقين (قطعة أرض، على سبيل المثال) له قاعدة تساوي 4 1/2 خت، وارتفاعه يساوي 14 خت. وقسمان خطيان متوازيان مع القاعدة يقسمان المثلث إلى ثلاثة قطاعات، كونهما شبه منحرف سفلي، وشبه منحرف متوسط ، ومثلث علوي (مشابه) أصغر. قطعت مقاطع الخط ارتفاع المثلث عند منتصفه (7) وأبعد بمقدار ربع نقطة (3 1/2) أقرب إلى القاعدة، بحيث يكون لكل شبه منحرف ارتفاع 3 1/2 خت، بينما المثلث الأصغر المماثل على ارتفاع 7 خت. أوجد أطوال مقطعي الخط $l_{1},l_{2}$ ، حيث يكونان مقطعي الخط الأقصر والأطول على التوالي، والتعبير عنهما بمصطلحات كسور مصرية من الخط. علاوة على ذلك، ابحث عن المناطق $A_{1},A_{2},A_{3}$ للقطاعات الثلاثة، حيث تكون شبه منحرف كبير، وشبه منحرف الأوسط، ومثلث صغير على التوالي، والتعبير منهم في شروط كسور المصرية من شرائح الستات والذراع. استخدم حقيقة أن 1 setat = 100 شرائط ذراع لتحويلات الوحدات.	$l_{1}={\bigg (}2+{\frac {1}{4}}{\bigg )}\;\;\;khet$ $l_{2}={\bigg (}3+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;khet$ $A_{1}={\bigg (}13+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}\;\;\;setat+{\bigg (}3+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;cubit\;\;\;strip$ $A_{2}={\bigg (}9+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}\;\;\;setat+{\bigg (}9+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;cubit\;\;\;strip$ $A_{3}={\bigg (}7+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;setat$	المسألة 53، كونها أكثر تعقيداً، محفوفة بالعديد من نفس القضايا مثل 51 و52 - غموض الترجمة والعديد من الأخطاء العددية. فيما يتعلق بشكل خاص بالجزء شبه المنحرف السفلي الكبير ، يبدو أن أحمس يتعثر في العثور على القاعدة العلوية ، ويقترح في العمل الأصلي طرح "عُشراً، يساوي 1 + 1/4 + 1/8 سيتات زائد 10 شرائط ذراعية" من مستطيل (يفترض) 4 1/2 × 3 1/2 (خت). ومع ذلك، حتى إجابة أحمس هنا لا تتوافق مع المعلومات الأخرى الخاصة بالمسألة. لحسن الحظ، فإن سياق 51 و52، جنباً إلى جنب مع منطقة المثلث الأساسية والخط الوسطي والأصغر (والتي يتم تحديدها كـ 4 + 1/2 و 2 + 1/4 و 7 + 1/2 + 1 / 4 + 1/8 على التوالي) تجعل من الممكن تفسير المشكلة وحلها كما تم القيام به هنا. وبالتالي فإن إعادة الصياغة المعينة تمثل أفضل تخمين متسق فيما يتعلق بقصد المسسألة، والذي يتبع تشيس. يشير أحمس أيضاً إلى "شرائط الذراع" مرة أخرى أثناء حساب هذه المسألة، وبالتالي نكرر استخدامها هنا. يجدر الإشارة إلى أنه لا أحمس ولا تشيس يعطيان صراحة المنطقة لشبه المنحرف الأوسط في علاجاتهما (يقترح تشيس أن هذا تافهة من وجهة نظر أحمس)؛ لذلك تم أخذ الحرية للإبلاغ عنها بطريقة تتماشى مع ما يقدمه تشيس حتى الآن.
54	هناك 10 قطع أراضي. في كل قطعة، يتم تقسيم القطاع بحيث يكون مجموع مساحة هذه الأقسام العشرة الجديدة هو 7 ستات. كل قسم جديد له مساحة متساوية. أوجد منطقة $A$ لأي واحد من هذه الأقسام العشرة الجديدة، وعبر عنها بعبارات كسرية مصرية من شرائح الستات والذراع.	$A={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}{\bigg )}\;\;\;setat$ $={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}{\bigg )}\;\;\;setat+{\bigg (}7+{\frac {1}{2}}{\bigg )}\;\;\;cubit\;\;\;strip$	-
55	يوجد 5 قطعات من أرض. في كل قطعة، يتم تقسيم القطاع بحيث يكون مجموع مساحة هذه الأقسام الخمسة الجديدة هو 3 ستات. كل قسم جديد له مساحة متساوية. أوجد منطقة $A$ لأي من هذه الأقسام الخمسة الجديدة، وعبر عنها بعبارات كسرية مصرية من شرائح الستات والذراع.	$A={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}{\bigg )}\;\;\;setat$ $={\frac {1}{2}}\;\;\;setat+10\;\;\;cubit\;\;\;strip$	-
56	1) وحدة الطول المعروفة باسم ذراع ملكي هي (وكانت موجودة في جميع أنحاء البردية) المقصود عندما نشير ببساطة إلى ذراع. فالذراع الملكي الواحد يساوي سبعة كف، والكف الواحدة تعادل أربعة أصابع. بمعنى آخر، فإن التكافؤات التالية تثبت: 1 ذراع (ملكي) = 1 ذراع = 7 كف = 28 إصبع. 2) ضع في اعتبارك هرم ذو قاعدة مربعة منتظمة يمنى يكون وجهه المربع متحد المستوى مع مستوى (الأرض، على سبيل المثال)، بحيث يكون أي من المستويات التي تحتوي على وجوهها المثلثة لها زاوية ثنائية الأضلاع $\ theta$ فيما يتعلق بمستوى الأرض (أي داخل الهرم). بمعنى آخر ، $\ theta$ هي زاوية الوجوه المثلثة للهرم بالنسبة إلى الأرض. يُعرّف سقد لمثل هذا الهرم، إذن، بارتفاع $a$ وطول حافة القاعدة $b$ ، على أنه "هذا الطول المادي" $S$ هكذا ${\frac {S}{1\;\;\;royal\;\;\;cubit}}=$ $\cot {\theta }$ . بعبارة أخرى، يمكن تفسير هرم الهرم على أنه نسبة الوجوه المثلثة السحب لكل وحدة ارتفاع (ذراع). أو للمثلث الأيمن المناسب على الجزء الداخلي من الهرم له أرجل $a,{\frac {b}{2}}$ والمنصف العمودي لوجه مثلثي مثل الوتر، ثم سقد الهرم $S$ يحقق $\cot {\theta }={\frac {b}{2a}}={\frac {S}{1\;\;\;royal\;\;\;cubit}}$ . لذلك تم وصف المثلثات المتشابهة، ويمكن تصغير إحداها إلى الأخرى. 3) يبلغ ارتفاع الهرم 250 ذراع (ملكي)، ويبلغ طول ضلع قاعدته 360 ذراع (ملكي). ابحث عن سقد $S$ بمصطلح كسور مصرية من أذرع (ملكية)، وأيضاً من حيث الكف.	$S={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{50}}{\bigg )}\;\;\;cubit$ $={\bigg (}5+{\frac {1}{25}}{\bigg )}\;\;\;palm$	المسألة 56 هي الأولى من "المسائل الهرمية" أو المسائل المزعجة في بردية ريند، 56-59، 59ب و60، والتي تتعلق بفكرة ميل وجه الهرم فيما يتعلق بالأرض المسطحة. في هذا الصدد، يقترح مفهوم سقد بدايات مبكرة لحساب مثلثات. على عكس علم المثلثات الحديث، لاحظ بشكل خاص أنه تم العثور على سقد فيما يتعلق ببعض الهرم، وهو في حد ذاته "قياس الطول المادي"، والذي يمكن إعطاؤه من حيث أي وحدات طول مادي. ولكن لأسباب واضحة، نحن (والبرديات) نحصر انتباهنا في المواقف التي تشمل الوحدات المصرية القديمة. كما أوضحنا أن الأذرع الملكية كانت تستخدم في جميع أنحاء البردية، لتمييزها عن الأذرع "القصيرة" التي كانت تستخدم في أماكن أخرى في مصر القديمة. ذراع واحدة "قصيرة" تساوي ستة كف.
57, 58	سقد الهرم: 5 كفوف وإصبع واحد، وجانب قاعدته 140 ذراع. أوجد (57) ارتفاعه $a$ بدلالة الأذرع. من ناحية أخرى، (58) ارتفاع الهرم 93 + 1/3 ذراع، وضلع قاعدته 140 ذراع. ابحث عن الأمر $S$ وعبّر عنه بلغة الكف والأصابع.	$a={\bigg (}93+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;cubit$ $S=5\;\;\;palm+1\;\;\;finger$	تعد المسألة 58 انعكاساً دقيقاً للمسألة 57، وبالتالي يتم تقديمها معاً هنا.
59, 59B	ارتفاع الهرم (59) 8 أذرع، وطول قاعدته 12 ذراع. قم بالتعبير عن الأمر $S$ من حيث الكف والأصابع. من ناحية أخرى، (59ب)، شكل الهرم هو خمس كفوف وإصبع واحد، وجانب قاعدته 12 ذراعاً. عبر عن ارتفاعه $a$ بدلالة الأذرع.	$S=5\;\;\;palm+1\;\;\;finger$ $a=8\;\;\;cubit$	تعتبر المسألتان 59 و59ب حالة مشابهة لـ 57 و58، وتنتهي بنتائج مألوفة. باعتبارها انعكاسات دقيقة لبعضها البعض، يتم تقديمها معاً هنا.
60	إذا كان "عمود" (أي مخروط) يبلغ ارتفاعه 30 ذراعاً، وكان طول جانب قاعدته (أو قطره) 15 ذراعاً، فابحث عن مساره math> S </math> وعبر عنه من حيث الاذرع.	$S={\frac {1}{4}}\;\;\;cubit$	يستخدم أحمس كلمات مختلفة قليلاً لتقديم هذه المسألة، والتي تصلح لقضايا الترجمة. ومع ذلك، فإن السياق العام للمسألة، جنباً إلى جنب مع الرسم التخطيطي المصاحب لها (والذي يختلف عن المخططات السابقة)، يقود تشيس إلى استنتاج أن المخروط المقصود. يمكن تعميم فكرة سقد بسهولة على الوجه الجانبي للمخروط؛ ولذلك فهو يبلغ عن المسألة في هذه الشروط. المسألة 60 تختتم قسم الهندسة من البردية. علاوة على ذلك، فهذه هي المشكلة الأخيرة في القسم الأيمن (الجانب الأمامي) من البردية؛ كل المحتوى اللاحق في هذا الملخص موجود على الظهر (الجانب الخلفي) من البردية. وبالتالي فإن الانتقال من 60 إلى 61 هو تحول موضوعي ومادي في البردية.
61	سبعة عشر عملية ضرب يتم التعبير عنها في صورة كسور مصرية. سيعطى الكل على شكل جدول.	${\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}&;&{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{18}}\\{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{18}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{6}}={\frac {1}{12}}+{\frac {1}{36}}\\{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}&;&{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{12}}&;&{\frac {1}{12}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{24}}\\{\frac {1}{9}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {1}{18}}+{\frac {1}{54}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{9}}={\frac {1}{18}}+{\frac {1}{54}}\\{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{5}}={\frac {1}{20}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{7}}={\frac {1}{14}}+{\frac {1}{42}}\\{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{7}}={\frac {1}{14}}&;&{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{22}}+{\frac {1}{66}}\\{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{33}}&;&{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{22}}\\{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{11}}={\frac {1}{44}}&&\\\end{bmatrix}}$	يشير بناء جملة المستند الأصلي ومضاعفاته المتكررة إلى فهم أولي بأن الضرب هو عملية تبديلية.
61ب	أعط إجراءً عاماً لتحويل حاصل ضرب 2/3 ومقلوب أي عدد فردي (موجب) 2n+1 إلى كسر مصري من فترتين، على سبيل المثال ${\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2n+1}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}$ مع p وq الطبيعي. بعبارة أخرى، أوجد p وq بدلالة n.	$p=2(2n+1)$ $q=6(2n+1)$	ترتبط المسألة 61ب، وطريقة التحلل التي تصفها (وتقترحها) ارتباطاً وثيقاً بحساب بردية رايند الرياضية ذات جدول 2/n. على وجه الخصوص، يمكن القول أن كل حالة في جدول 2/n تتضمن مقاماً مضاعفاً لـ 3 تتبع مثال 61ب. إن بيان 61ب والحل يوحيان أيضاً بعمومية لا تمتلكها معظم المسائل الملموسة المتبقية في البردية. لذلك فهو يمثل اقتراحاً مبكراً لكل من الجبر والخوارزميات
62	تم شراء كيس من ثلاثة معادن ثمينة، ذهب وفضة ورصاص، مقابل 84 شعتي، وهي وحدة نقدية. تزن جميع المواد الثلاثة نفس الشيء، والدبن هو وحدة وزن. 1 دبن من الذهب تكلف 12 شعتي، 1 دبن من الفضة 6 شعتي، و1 دبن من الرصاص 3 شعتي. ابحث عن الوزن الشائع $W$ لأي من المعادن الثلاثة في الحقيبة.	$W=4\;\;\;deben$	تصبح المسألة 62 مشكلة قسمة تستلزم القليل من التحليل البعدي. إعداده الذي يتضمن أوزاناً قياسية يجعل المسألة مباشرة.
63	700 رغيف تقسم بشكل غير متساو بين أربعة رجال، في أربع حصص موزونة غير متساوية. ستكون الأسهم بالنسب الخاصة ${\frac {2}{3}}:{\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{4}}$ . أوجد كل حصة	$266+{\frac {2}{3}}$ $200$ $133+{\frac {1}{3}}$ $100$	-
64	تذكر أن حقعت وحدة حجم. يوزع عشرة حقعت من الشعير على عشرة رجال في تسلسل حسابي، بحيث يكون فرق نصيب الرجال المتتاليين 1/8 حقعت. ابحث عن الحصص العشرة وقم بإدراجها بالترتيب التنازلي، من حيث كسور الحقعت المصرية.	${\bigg (}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}1+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$ ${\bigg (}{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}{\bigg )}\;heqat$	المسألة 64 هي متغير من 40، تتضمن هذه المرة عدداً زوجياً من المجاهيل. للإشارة الحديثة السريعة بصرف النظر عن الكسور المصرية، تتراوح الحصص من 25/16 نزولاً إلى 7/16، حيث يتناقص البسط بأرقام فردية متتالية. يتم إعطاء المصطلحات ككسور عين حورس؛ قارن بين المسائل 47 و80 للمزيد من هذا.
65	100 رغيف من الخبز يجب أن تقسم بالتساوي بين عشرة رجال. يحصل سبعة من الرجال على نصيب واحد، بينما يحصل الرجال الثلاثة الآخرون، وهم ملاح، ورئيس عمال، وحارس باب، على نصيب مضاعف. اكتب كلاً من هذين المبلغين في صورة كسور مصرية.	$7+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{39}}$ $15+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{78}}$	-
66	تذكر أن الحقعت وحدة حجم وأن الحقعت الواحد يساوي 320 رو. 10 حقعت من الدهون توزع على شخص واحد على مدار عام (365 يوم)، ببدلات يومية متساوية المقدار. عبر عن البدل $a$ ككسر مصري بدلالة الحقعت والرو.	$a={\frac {1}{64}}\;\;\;heqat+{\bigg (}3+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{2190}}{\bigg )}\;\;\;ro$	تنص المسألة 66 في شكلها الأصلي صراحةً على أن السنة الواحدة تساوي 365 يوماً، وتستخدم الرقم 365 بشكل متكرر في حساباتها. لذلك فهو دليل تاريخي أساسي على الفهم المصري القديم للسنة.
67	كان لدى الراعي قطيع من الحيوانات، وكان عليه أن يعطي جزءاً من قطيعه إلى سيد كجزية. قيل للراعي أن يعطي ثلثي قطيعه الأصلي كجزية. أعطى الراعي 70 رأساً. ابحث عن حجم قطيع الراعي الأصلي.	$315$	-
68	أربعة مشرفين مسؤولين عن أربعة مجموعات من الرجال، 12 و8 و6 و4 رجال على التوالي. يعمل كل فرد من أفراد الطاقم بمعدل قابل للتبادل، لإنتاج منتج عمل واحد: إنتاج (قطف، على سبيل المثال) من الحبوب. من خلال العمل على فترات زمنية معينة، أنتجت هذه العصابات الأربع مجتمعة 100 وحدة، أو 100 حقعت رباعي من الحبوب، حيث سيتم إعطاء منتج عمل كل طاقم إلى مشرف كل طاقم. التعبير عن إخراج كل طاقم $O_{12},O_{8},O_{6},O_{4}$ من حيث رباعي الحقعت.	$O_{12}=40\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $O_{8}=26+{\frac {2}{3}}\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $O_{6}=20\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$ $O_{4}=13+{\frac {1}{3}}\;\;\;quadruple\;\;\;heqat$	-
69	1) ضع في اعتبارك الطبخ وإعداد الطعام. لنفترض أن هناك طريقة معيارية للطهي، أو عملية إنتاج، والتي ستتخذ وحدات حجم، وتحديداً "حِقَات" من المواد الغذائية الخام (على وجه الخصوص، بعض المواد الغذائية الخام "واحدة") والإنتاج "وحدات" من بعض المنتجات الغذائية الجاهزة "واحدة". يتم تعريف pefsu $P$ للمنتج الغذائي النهائي (واحد) فيما يتعلق بالمواد الغذائية الخام (الأولى)، إذن، على أنه "كمية وحدات المنتج الغذائي النهائي $p$ نتجت عن حقعت واحد بالضبط من المواد الغذائية الخام. وبعبارة أخرى، $P={\frac {p\;\;\;finished\;\;\;unit}{1\;\;\;heqat_{raw\;\;\;material}}}$ . 2) 3 + 1/2 حقعت من الدقيق ينتج 80 رغيف خبز. ابحث عن الوجبة لكل رغيف $m$ في حقعت ورو، وابحث عن pefsu $P$ لهذه الرغيف فيما يتعلق بالوجبة. عبر عنهم ككسور مصرية.	$m={\frac {1}{32}}\;\;\;heqat+4\;\;\;ro$ $P={\bigg (}22+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{21}}{\bigg )}{\frac {loaf}{heqat_{meal}}}$	تبدأ المسألة 69 بمسائل "pefsu"، 69-78، في سياق تحضير الطعام. لاحظ أن فكرة pefsu تفترض بعض عمليات الإنتاج المعيارية دون حوادث أو نفايات أو ما إلى ذلك، وتتعلق فقط بعلاقة منتج غذائي نهائي موحد بمادة خام معينة. أي أن pefsu لا يهتم على الفور بأمور مثل وقت الإنتاج، أو (في أي حالة معينة) علاقة المواد الخام أو المعدات الأخرى بعملية الإنتاج، وما إلى ذلك. ومع ذلك، فإن فكرة pefsu هي تلميح آخر للتجريد في البردية، يمكن تطبيقها على "أي" علاقة ثنائية بين منتج غذائي (أو سلعة تامة الصنع، لهذه المسألة) ومادة خام. وبالتالي فإن المفاهيم التي يستلزمها pefsu هي نموذجية للتصنيع.
70	(7 + 1/2 + 1/4 + 1/8) وينتج 100 رغيف خبز. ابحث عن الوجبة لكل رغيف $m$ في الحقعت والرو، وإيجاد pefsu $P$ من هذه الأرغفة بالنسبة للوجبة. عبر عنهم ككسور مصرية.	$m={\bigg (}{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\frac {1}{5}}\;\;\;ro$ $P={\bigg (}12+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{126}}{\bigg )}{\frac {loaf}{heqat_{meal}}}$	-
71	تنتج 1/2 حقعت من البيشا، وهي مادة خام، كوباً واحداً كاملًا من الجعة. افترض أن هناك عملية إنتاج لأكواب البيرة المخففة. يتم سكب ربع الزجاج الموصوف للتو، وما تم سكبه للتو يتم التقاطه وإعادة استخدامه لاحقاً. هذا الزجاج، الذي أصبح الآن 3/4 ممتلئاً، يتم تخفيفه مرة أخرى إلى سعته بالماء، لإنتاج كوب واحد كامل من البيرة المخففة. أوجد پفسو $P$ لأكواب البيرة المخففة هذه فيما يتعلق بالبيشا ككسر مصري.	$P={\bigg (}2+{\frac {2}{3}}{\bigg )}{\frac {des-measure}{heqat_{besha}}}$	لاحظ أن المسألة 71 تصف الخطوات الوسيطة في عملية الإنتاج، بالإضافة إلى مادة خام ثانية، الماء. لاحظ كذلك أن هذه ليست ذات صلة بالعلاقة بين "الوحدة النهائية والمواد الخام" (البشا في هذه الحالة).
72	استبدال 100 رغيف من الخبز "من pefsu 10" بالتساوي مقابل أرغفة $x$ من pefsu 45". أوجد $x$ .	$x=450$	الآن وقد تم تأسيس مفهوم pefsu، فإن المشاكل 72-78 تستكشف التبادل المتساوي لأكوام مختلفة من الأطعمة الجاهزة، مع pefsu مختلفة. بشكل عام، فهم يفترضون وجود "مادة خام شائعة" من نوع ما. على وجه التحديد، يُطلق على المادة الخام الشائعة المفترضة في جميع أنحاء 72-78 اسم "طحين الودييت"، وهو متورط حتى في إنتاج الجعة، بحيث يمكن استبدال الجعة بالخبز في المسائل الأخيرة. يذكر البيان الأصلي لـ 74 أيضاً "شعير الصعيد المصري"، ولكن لأغراضنا هذا تجميل. ما تقوله المسائل 72-78، إذن، هو هذا حقاً: يتم استخدام كميات متساوية من المواد الخام في عمليتين إنتاج مختلفتين، لإنتاج وحدتين مختلفتين من الطعام الجاهز، حيث يكون لكل نوع pefsu مختلف. تم إعطاء إحدى وحدتي الطعام الجاهزتين. ابحث عن الآخر. يمكن تحقيق ذلك من خلال قسمة كلتا الوحدتين (المعروفة وغير المعروفة) على pefsu كل منهما، حيث تختفي وحدات الطعام الجاهز في تحليل الأبعاد، ويتم النظر فقط في نفس المادة الخام. يمكن عندئذٍ حل قيمة x بسهولة. لذلك تتطلب 72-78 إعطاء x بحيث يتم استخدام كميات متساوية من المواد الخام في عمليتي إنتاج مختلفتين.
73	يجب استبدال 100 أرغفة من الخبز من pefsu 10 بالتساوي بـ $x$ أرغفة من pefsu 15. أوجد $x$ .	$x=150$	-
74	يتم تقسيم 1000 رغيف خبز من pefsu 5 بالتساوي إلى كومة من 500 رغيف لكل منهما. كل كومة يجب أن يتم تبادلها بالتساوي مع كومة أخرى، أحدهما $x$ رغيف من pefsu 10 والآخر من $y$ رغيف pefsu 20. أوجد $x$ و $y$ .	$x=1000$ $y=2000$	-
75	يجب استبدال 155 أرغفة الخبز من pefsu 20 بالتساوي بـ $x$ أرغفة pefsu 30. أوجد $x$ .	$x=232+{\frac {1}{2}}$	-
76	سيتم استبدال 1000 رغيف خبز من pefsu 10، كومة واحدة، بالتساوي مقابل كومة أخرى من الأرغفة. الكومتان الأخريان لهما عدد متساوٍ من أرغفة $x$ ، أحدهما من pefsu 20 والآخر pefsu 30. أوجد $x$ .	$x=1200$	-
77	يجب استبدال 10 مقاييس البيرة، من pefsu 2 بالتساوي مع أرغفة الخبز $x$ ، من pefsu 5. أوجد $x$ .	$x=25$	-
78	يجب استبدال 100 رغيف من الخبز من 10 pefsu بالتساوي مقابل مقاييس بيرة پفسو 2 $x$ . أوجد $x$ .	$x=20$	-
79	يتكون جرد التركة من 7 منازل، و49 قطة، و343 فأراً، و2401 نبتة حنطة (نوع من القمح)، و16807 وحدة من الحِقعت (من أي نوع - نوع من الحبوب، لنفترض). ضع قائمة بالأصناف الموجودة في جرد العقارات كجدول، وقم بتضمين مجموعها.	${\begin{bmatrix}houses&7\\cats&49\\mice&343\\spelt&2401\\heqat&16807\\Total&19607\\\end{bmatrix}}$	عُرضت المسألة 79 في تفسيرها الأكثر حرفياً. ومع ذلك، فإن المسألة هي من بين أكثر المسائل إثارة للاهتمام في البردية، حيث يقترح إعدادها وحتى طريقة الحل للمتوالية الهندسية (أي، التسلسلات الهندسية)، الفهم الأولي للمحدود سلسلة، وكذلك مسألة سانت إيڤ - حتى تشيس لا يمكنه المساعدة في مقاطعة سرده لمقارنة المسألة 79 بقافية حضانة سانت آيفز. كما يشير إلى أن المثال الثالث المألوف بشكل مريب لهذه الأنواع من المسائل يمكن العثور عليه في Liber Abaci في فيبوناتشي. يقترح تشيس التفسير القائل بأن 79 هو نوع من أمثلة التوفير، حيث يتم حفظ كمية معينة من الحبوب عن طريق إبقاء القطط في متناول اليد لقتل الفئران التي قد تأكل بطريقة أخرى الحنطة المستخدمة في صنع الحبوب. في المستند الأصلي، تمت كتابة المصطلح 2401 كـ 2301 (خطأ واضح)، بينما تم إعطاء المصطلحات الأخرى بشكل صحيح؛ لذلك تم تصحيحه هنا. علاوة على ذلك، تقترح إحدى طرق أحمس لحل المجموع فهماً لمحدودية المتسلسلة الهندسية. ينفذ أحمس مجموعاً مباشراً، لكنه يقدم أيضاً عملية ضرب بسيطة للحصول على نفس الإجابة: "2801 × 7 = 19607". يوضح تشيس أنه منذ المصطلح الأول، فإن عدد المنازل (7) يساوي النسبة الشائعة للضرب (7)، ثم الحجوزات التالية (ويمكن تعميمها على أي حالة مماثلة): $\sum \limits _{k=1}^{n}7^{k}=7{\bigg (}1+\sum \limits _{k=1}^{n-1}7^{k}{\bigg )}$ أي عندما يكون الحد الأول من المتتالية الهندسية مساوياً للنسبة الشائعة، يمكن اختزال المبالغ الجزئية من المتتاليات الهندسية، أو المتسلسلات الهندسية المحدودة، إلى مضاعفات تتضمن سلسلة منتهية لها حد واحد أقل، وهو أمر مناسب في هذه الحالة. في هذه الحالة، يضيف أحمس ببساطة المصطلحات الأربعة الأولى من المتسلسلة (7 + 49 + 343 + 2401 = 2800) لإنتاج مجموع جزئي، ويضيف واحداً (2801)، ثم يضرب ببساطة في 7 للحصول على الإجابة الصحيحة.
80	الهينو هو وحدة أخرى من وحدات الحجم مثل أن واحد من الحقعت يساوي عشرة هينو. ضع في اعتبارك المواقف التي يكون فيها لدى المرء جزء عين حورس من الحقعت، وعبِّر عن تحويلاته إلى هينو في جدول.	${\begin{bmatrix}1&heqat&=&10&hinu\\{\frac {1}{2}}&heqat&=&5&hinu\\{\frac {1}{4}}&heqat&=&(2+{\frac {1}{2}})&hinu\\{\frac {1}{8}}&heqat&=&(1+{\frac {1}{4}})&hinu\\{\frac {1}{16}}&heqat&=&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}})&hinu\\{\frac {1}{32}}&heqat&=&({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}})&hinu\\{\frac {1}{64}}&heqat&=&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&hinu\\\end{bmatrix}}$	قارن المسألتين 47 و64 للمعلومات الجدولية الأخرى بكسور عين حورس المتكررة.
81	نفذ "حساباً آخر للهنو". وهذا يعني، التعبير عن مجموعة متنوعة من الكسور المصرية، والعديد من المصطلحات منها أيضاً كسور عين حورس، بمصطلحات مختلفة من حقعت، والهنو، والرو.		القسم الرئيسي للمسألة 81 هو جدول تحويل أكبر بكثير من الكسور المصرية المتنوعة، والذي يتوسع في فكرة المشكلة 80 - في الواقع، يمثل أحد أكبر الأشكال الجدولية في البردية بأكملها. الجزء الأول من المسألة 81 هو تكرار دقيق للجدول في المسألة 80، بدون الصف الأول الذي ينص على أن 1 حقعت = 10 هينو؛ لذلك لا يتكرر هنا. الجزء الثاني من المشكلة 81، أو "جسمها"، هو الجدول الكبير المعطى هنا. سيلاحظ القارئ اليقظ شيئين: عدة صفوف تكرر معلومات متطابقة، والأشكال المتعددة (ولكن ليس كلها) الواردة في كل من منطقتي "الحركات" على جانبي الجدول متطابقة في الواقع. هناك نقطتان جديران بالذكر، لشرح سبب ظهور الجدول بالشكل الذي يبدو عليه. لسبب واحد، يقوم أحمس في الواقع بتكرار مجموعات معينة من المعلومات في مناطق مختلفة من الجدول، وبالتالي يتم تكرارها هنا. من ناحية أخرى، يبدأ أحمس أيضاً بأشكال معينة من حقعت "اليسرى"، ويرتكب بعض الأخطاء في حساباته المبكرة. ومع ذلك، في كثير من الحالات، يصحح هذه الأخطاء لاحقاً في كتابته للجدول، مما ينتج عنه نتيجة متسقة. نظراً لأن المعلومات الحالية هي مجرد إعادة إنشاء لترجمة تشيس وتفسير البردية، ومنذ أن اختار تشيس تفسير وتصحيح أخطاء أحمس من خلال استبدال المعلومات الصحيحة اللاحقة في صفوف سابقة معينة، وبالتالي إصلاح أخطاء أحمس وبالتالي تكرارها أيضاً المعلومات في سياق الترجمة، تشرح طريقة التفسير هذه تكرار المعلومات في صفوف معينة. بالنسبة لتكرار المعلومات في أعمدة معينة (1/4 heqat = ... = 1/4 heqat, etc.)، يبدو أن هذا ببساطة كان بمثابة اتفاقية ملأها أحمس أثناء النظر في نسب كسور معينة من عين حورس من كل من وجهة نظر الهينو، وكذلك من وجهة نظر الحقعت (وتحولاتهم). باختصار، التكرارات المختلفة للمعلومات هي نتيجة الاختيارات التي قام بها أحمس، ووثيقة المصدر المحتملة الخاصة به، والاختيارات التحريرية لتشيس، من أجل تقديم ترجمة متسقة رياضياً للجدول الأكبر في المسألة 81.
82	تقدير الكمية اليومية من العلف لعشرة أوزات تسمين بطحين الوديت، المصنوع في الخبز. للقيام بذلك، قم بإجراء العمليات الحسابية التالية، معبراً عن الكميات في كسور مصرية لـ "مئات" من الحقعت والحقعت والرو، إلا إذا تم تحديد خلاف ذلك: لنبدأ بالقول إن "10 أوزات تسمين تأكل 2 + 1/2 حقعت في اليوم الواحد". بمعنى آخر، معدل الاستهلاك اليومي (والشرط الأولي) $i$ يساوي 2 + 1/2. احسب عدد الحقعت التي تأكلها 10 أوزات مسمنة في 10 أيام و40 يوماً. أطلق على هذه الكميات $t$ و $f$ ، على التوالي. اضرب الكمية الأخيرة المذكورة أعلاه $f$ في 5/3 للتعبير عن مقدار "الحنطة"، أو $s$ ، المطلوب أن يتم طحنه. اضرب $f$ في 2/3 للتعبير عن كمية "الحنطة" أو $w$ المطلوبة. قسّم $w$ على 10 للتعبير عن "جزء من القمح"، أو $p$ ، والذي سيتم طرحه من $f$ . أوجد $f-p=g$ . هذه هي كمية "الحبوب" (أو الطحين، على ما يبدو)، المطلوبة لتغذية الأوز، ويفترض أن تكون في فترة 40 يوماً (والذي يبدو أنه يتعارض مع العبارة الأصلية للمسألة، إلى حد ما). أخيراً، قم بالتعبير عن $g$ مرة أخرى من حيث مئات الحقعت المزدوجة، الحقعت المزدوجة، والرو المضاعفة، حيث مائة ضعف حقعت = مائتي حقعت = 100 حقعت مزدوج = 200 حقعت = 32000 رو مزدوج = 64000 رو. نسمي هذه الكمية النهائية $g_{2}$ .	$t=25\;\;\;heqat$ $f=100\;\;\;heqat$ $s={\bigg (}1+{\frac {1}{2}}{\bigg )}hundred\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}16+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $w={\bigg (}{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}hundred\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}8+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}1+{\frac {2}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $p={\bigg (}6+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $g={\bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}{\bigg )}hundred\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}18+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;heqat+{\bigg (}1+{\frac {2}{3}}{\bigg )}\;\;\;ro$ $g_{2}={\bigg (}{\frac {1}{4}}{\bigg )}hundred\;\;\;double\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}21+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}3+{\frac {1}{3}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;ro$	بدءاً من المسألة 82، تزداد صعوبة تفسير البردية (بسبب الأخطاء والمعلومات الناقصة)، إلى درجة عدم الفهم. ومع ذلك، لا يزال من الممكن فهم 82. ببساطة، يبدو أن هناك قواعد ثابتة، أو تقديرات جيدة، لأجزاء يجب أن تؤخذ من هذا أو ذاك من المواد الغذائية في عملية الطهي أو الإنتاج. يعبر أحمس '82 ببساطة عن بعض هذه الكميات، فيما تم الإعلان عنه في الوثيقة الأصلية على أنه "تقدير"، على الرغم من لغته المتناقضة والمربكة إلى حد ما. بالإضافة إلى غرابتها، فإن المسائل 82 و82ب و83 و84 هي أيضاً جديرة بالملاحظة لاستمرار قطار الفكر "الغذائي" لمسائل پفسو الأخيرة، وهذه المرة النظر في كيفية إطعام الحيوانات بدلاً من البشر. يستفيد كل من 82 و 82ب من وحدة "مائة حقعت" فيما يتعلق بـ t وf؛ هذه الاصطلاحات غير ضرورية ولا تتكرر هنا. يتم أخذ الترخيص أيضاً خلال هذه المسائل الأخيرة (لكل تشيس) لإصلاح الأخطاء العددية في المستند الأصلي، لمحاولة تقديم إعادة صياغة متماسكة.
82ب	تقدير كمية العلف للأوز الأخرى. أي، ضع في اعتبارك موقفاً مطابقاً للمسألة 82، مع استثناء واحد وهو أن الشرط الأولي، أو معدل الاستهلاك اليومي، هو بالضبط نصف الحجم. إنه، لندع $i$ = 1 + 1/4. أوجد $t$ , $f$ وخاصة $g_{2}$ باستخدام الجبر الابتدائي لتخطي الخطوات الوسيطة.	$t={\bigg (}12+{\frac {1}{2}}{\bigg )}\;\;\;heqat$ $f=50\;\;\;heqat$ $g_{2}={\bigg (}23+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;heqat$ $+{\bigg (}1+{\frac {2}{3}}{\bigg )}\;\;\;double\;\;\;ro$	تُقدم المسألة 82ب بالتوازي مع المسألة 82، وسرعان ما تأخذ في الاعتبار الموقف المتطابق حيث تنخفض الكميات المرتبطة إلى النصف. في كلتا الحالتين، يبدو أن هدف أحمس الحقيقي هو إيجاد g_2. الآن بعد أن خضع لإجراء، يشعر بالحرية في تخطي خطوات 82 المرهقة. يمكن للمرء أن يلاحظ ببساطة أن القسمة على اثنين تحمل عمل المسألة بأكمله، لذلك فإن g_2 هي أيضاً نصف كبيرة تماماً كما في المسألة 82. النهج الأكثر شمولاً باستخدام الجبر الأولي هو التراجع عن العلاقات بين الكميات في 82، قم بالملاحظة الأساسية أن g = 14/15 x f، ثم قم بإجراء تحويلات الوحدة لتحويل g إلى g_2.
83	تقدير العلف لأنواع مختلفة من الطيور. هذه "مشكلة" ذات مكونات متعددة، ويمكن تفسيرها على أنها سلسلة من الملاحظات: لنفترض أن أربعة أوز محصورة، وأن بدلهم اليومي الجماعي من العلف يساوي هينو واحد. التعبير عن البدل اليومي للإوزة الواحدة من العلف $a_{1}$ من حيث الحقعت والرو. افترض أن العلف اليومي للإوزة "التي تدخل البركة" تساوي 1/16 + 1/32 حقعت + 2 رو. عبر عن هذا البدل اليومي نفسه $a_{2}$ من حيث هينو. لنفترض أن البدل اليومي من العلف لـ 10 أوز هو حقعت واحد. ابحث عن بدل 10 أيام $a_{10}$ و30 يوماً أو بدل شهر واحد $a_{30}$ لنفس مجموعة الحيوانات، في الحِقْعت. أخيراً سيتم تقديم جدول يحتوي على حصص علف يومية لتسمين حيوان واحد من أي من الأنواع المشار إليها.	$a_{1}={\frac {1}{64}}\;\;\;heqat+3\;\;\;ro$ $a_{2}=1\;\;\;hinu$ $a_{10}=10\;\;\;heqat$ $a_{30}=30\;\;\;heqat$ ${\begin{bmatrix}goose&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&heqat&+&(3+{\frac {1}{3}})&ro\\terp-goose&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&heqat&+&(3+{\frac {1}{3}})&ro\\crane&({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{32}})&heqat&+&(3+{\frac {1}{3}})&ro\\set-duck&({\frac {1}{32}}+{\frac {1}{64}})&heqat&+&1&ro\\ser-goose&{\frac {1}{64}}&heqat&+&3&ro\\dove&&&&3&ro\\quail&&&&3&ro\\\end{bmatrix}}$	نظراً لأن العناصر المختلفة في المسألة 83 تتعلق بتحويلات الوحدات بين حقعت ورو وهينو، بروح 80 و81، فمن الطبيعي أن نتساءل عما تصبح عناصر الجدول عند تحويلها إلى هينو. الجزء المشترك بين الأوز، والبط، والطيور يساوي 5/3 هينو، وجزء البط الطائر يساوي 1/2 هينو، وجزء الأوز السيري يساوي 1/4 هينو (قارن العنصر الأول في المشكلة)، والجزء المشترك بين الحمامة والسمان يساوي 1/16 + 1/32 هينو. إن وجود العديد من كسور عين حورس مألوف من بقية أوراق البردي، ويبدو أن الجدول يأخذ في الاعتبار تقديرات العلف للطيور، والتي تتراوح من الأكبر إلى الأصغر. تذكر الأجزاء "5/3 هينو" الموجودة أعلى الجدول، وتحديداً معاملها 5/3، بإحدى طرق إيجاد المسألة 82. تذكر المسألة 83 "حبوب مصر الدنيا"، أو الشعير، كما تستخدم وحدة "المائة حقعت" في مكان واحد. وهي غير ضرورية، وتركت خارج التقرير الحالي.
84	قدّر علف إسطبل من الثيران.	${\begin{bmatrix}&Loaves&Common\;food\\4\;fine\;oxen&24\;heqat&2\;heqat\\2\;fine\;oxen&22\;heqat&6\;heqat\\3\;cattle&20\;heqat&2\;heqat\\1\;ox&20\;heqat&\\Total&86\;heqat&10\;heqat\\in\;spelt&9\;heqat&(7+{\frac {1}{2}})\;heqat\\10\;days&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})\;c.\;heqat&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})\;c.\;heqat\\&+15\;heqat&\\one\;month&200\;heqat&({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}})\;c.\;heqat\\&&+15\;heqat\\double\;heqat&{\frac {1}{2}}\;c.\;heqat&{\frac {1}{4}}\;c.\;heqat\\&+(11+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}})\;heqat&+5\;heqat\\&+3\;ro&\\\end{bmatrix}}$	84 المسألة الأخيرة، أو الرقم، الذي يشتمل على المحتوى الرياضي لبرديات ريند. فيما يتعلق بالرقم 84 نفسه، يردد تشيس صدى پييت: "لا يمكن للمرء إلا أن يتفق مع پييت على أنه" بهذه المسألة تصل البردية إلى حده من عدم الوضوح وعدم الدقة ". (تشيس، V.2، المسألة 84). هنا، تم التعبير عن أمثلة عن وحدة "مائة حقعت" بواسطة "ج. حقعت" من أجل الحفاظ على المساحة. توصف الأبقار الثلاثة المذكورة بأنها ماشية "شائعة"، لتمييزها عن سائر الحيوانات، ورأسها في الأرغفة و"الطعام الشائع" يتعلقان بالحِقْعت. توصف "الثيران الجيدة" في بداية الجدول بأنها ثيران صعيد مصر، وهي عبارة أزيلت هنا أيضاً لأسباب تتعلق بالمساحة. يبدو أن المسألة 84 تشير إلى إجراء لتقدير المواد الغذائية المختلفة والبدلات بشروط مماثلة للمشكلات الثلاثة السابقة، ولكن المعلومات الموجودة مشوشة للغاية. مع ذلك، هناك تلميحات من الاتساق. يبدو أن المسألة تبدأ كقصة تقليدية، تصف إسطبلاً به عشرة حيوانات من أربعة أنواع مختلفة. يبدو أن الأنواع الأربعة من الحيوانات تستهلك العلف، أو "الأرغفة" بمعدلات مختلفة، وأن هناك كميات مقابلة من الطعام "الشائع". يتم تلخيص هذين العمودين من المعلومات بشكل صحيح في الصف "الإجمالي"، ولكن يتبعهما عنصران "مكتوبان إملائياً" لعلاقة مشكوك فيها مع ما سبق. يتم بالفعل ضرب هذين العنصرين الهجائيين في عشرة لإعطاء الإدخالين في صف "10 أيام"، بمجرد احتساب تحويلات الوحدة. ومع ذلك، لا يبدو أن عناصر صف "شهر واحد" متسقة مع العنصرين السابقين. أخيراً، المعلومات في "الحقعت المزدوجة" (اقرأ مائة حقعت مزدوجة، وحقعت مزدوجة، ومضاعفة رو لهذه العناصر) تخلص إلى المشكلة، بطريقة تذكرنا بـ 82 و82ب. العنصران الموجودان في الصف الأخير متماثلان تقريباً، ولكن ليس بالضبط، مع بعضهما البعض مثل العنصرين في صف "شهر واحد".
رقم 85	كُتبت مجموعة صغيرة من العلامات الهيروغليفية المتصلة، والتي يقترح تشيس أنها قد تمثل الناسخ "يجرب قلمه". يبدو أنها عبارة أو جملة من نوع ما، ويتم اقتراح ترجمتين. 1) "اقتل الحشرات والفئران والأعشاب الطازجة والعديد من العناكب. ادع الله رع من أجل الدفء والرياح والماء." 2) فسر هذا الأمر الغريب الذي كتبه الكاتب ... على حد علمه."		العناصر المتبقية 85 و86 و87، كونها أخطاء مختلفة وليست رياضية بطبيعتها، صممها تشيس على أنها "أرقام" في مقابل المسائل. توجد أيضاً في مناطق من البردية بعيدة جداً عن جسم الكتابة، والذي انتهى للتو بالمسألة 84. الرقم 85، على سبيل المثال، يبعد مسافة ما عن المسألة 84 على الظهر - ولكن ليس بعيداً جداً. لذلك يوحي وضعه على البردية بنوع من الكودا، وفي هذه الحالة تبدو الترجمة الأخيرة، التي يصفها تشيس كمثال على تفسير "الكتابة المبهمة" للوثائق المصرية القديمة، أكثر ملاءمة لسياقها في الوثيقة.
رقم 86	يبدو أن الرقم 86 مأخوذ من بعض الحسابات أو المذكرات، ويسرد مجموعة متنوعة من السلع والكميات، باستخدام كلمات مألوفة من سياق بقية البردية نفسها. [النص الأصلي عبارة عن سلسلة من الأسطر الكتابية، ولذلك تم ترقيمها فيما يلي.]	"1... العيش إلى الأبد. قائمة المواد الغذائية في هيبنتي... 2... شقيقه المضيف كا-موس... 3... سنته، فضية 50 قطعة مرتين في السنة... 4... ماشيتين بالفضة 3 قطع في السنة... 5... واحد مرتين وهو، 1/6 و1/6. الآن كواحد... 6... 12 هينو وهو الفضة، قطعة 1/4؛ واحدة... 7... (ذهب أو فضة) ثمنها 5 قطع؛ سمكة، 120، مرتين... 8...السنة، الشعير، رباعي الحقعت، 1/2 + 1/4 من 100 حقعت 15 حقعت؛ حنطة، 100 حقعت... حقعت... 9... الشعير، رباعي الحقعت، 1/2 + 1/4 من 100 حقعت 15 حقعت؛ حنطة 1 + 1/2 + 1/4 ضرب 100 حقعت 17 حقعت... 10 ... 146 + 1/2 شعير 1 + 1/2 + 1/4 × 100 حقعت 10 حقعت؛ حنطة 300 حقعت... حقعت ... 11 ... 1/2، نُقل النبيذ، 1 حمار (تحميل؟) ... 12 ... 1/2 قطعة فضية؛ ... 4؛ أي بالفضة ... 13 ... 1 + 1/4؛ الدهون، 36 هينو؛ أي بالفضة ... 14 ... 1 + 1/2 + 1/4 ضرب 100 حقعت 21 حقعت؛ حنطة، بأربعة أضعاف، 400 حقعت 10 حقعت ... 15-18 (هذه الأسطر هي تكرار للخط 14.)"	يشير تشيس إلى أن الرقم 86 قد تم لصقه في أقصى الجانب الأيسر من الظهر (مقابل مشاكل الهندسة اللاحقة على الوجه)، لتثبيت البردية. لذلك يمكن تفسير الرقم 86 على أنه قطعة من "قصاصات الورق".
رقم 87	الرقم 87 هو سرد موجز لأحداث معينة. يشير تشيس إلى إجماع علماء (مؤرخ الآن وربما تم تغييره) على أن 87 تمت إضافتها إلى البردية بعد وقت قصير من الانتهاء من محتواها الرياضي. ويضيف أن الأحداث الموصوفة فيه "حدثت في فترة سيطرة الهكسوس.	"السنة 11 الشهر الثاني من موسم الحصاد. تم دخول مصر الجديدة. في الشهر الأول من موسم الفيضان، في اليوم الثالث والعشرين، هاجم قائد (؟) الجيش (؟) زارو. في اليوم الخامس والعشرين ، سمع أن زارو قد دخل. السنة 11، الشهر الأول من موسم الفيضان، اليوم الثالث. ولادة جلالة هذا الإله مما جعل صوته مسموع. أمطرت السماء عند ولادة إيزيس ".	الرقم 87 يقع في منتصف ظهر الصفحة، محاط بمساحة كبيرة فارغة غير مستخدمة.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

انظر أيضاً

المصادر

^ ^أ ^ب ^ت ^ث ^ج ^ح ^خ ^د Clagett, Marshall Ancient Egyptian Science, A Source Book. Volume Three: Ancient Egyptian Mathematics (Memoirs of the American Philosophical Society) American Philosophical Society. 1999 ISBN 978-0-87169-232-0
^ ^أ ^ب ^ت ^ث ^ج ^ح Anthony Spalinger, The Rhind Mathematical Papyrus as a Historical Document, Studien zur Altägyptischen Kultur, Bd. 17 (1990), pp. 295-337, Helmut Buske Verlag GmbH
^ "Collections: Egyptian, Classical, Ancient Near Eastern Art: Fragments of Rhind Mathematical Papyrus". Brooklyn Museum. Retrieved November 1, 2012.
^ ديورانت, ول; ديورانت, أرييل. قصة الحضارة. ترجمة بقيادة زكي نجيب محمود.
^ cf. Schneider, Thomas (2006). "The Relative Chronology of the Middle Kingdom and the Hyksos Period (Dyns. 12–17)". In Hornung, Erik; Krauss, Rolf; Warburton, David (eds.). Ancient Egyptian Chronology. Handbook of Oriental Studies. Brill. pp. 194–195.
^ Peet, Thomas Eric (1923). The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058. London: The University Press of Liverpool limited and Hodder & Stoughton limited.
^ ^أ ^ب Chace, Arnold Buffum (1979) [1927–29]. The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations. Classics in Mathematics Education. Vol. 8. 2 vols (Reston: National Council of Teachers of Mathematics Reprinted ed.). Oberlin: Mathematical Association of America. ISBN 0-87353-133-7.
^ http://en.wikipedia.org/wiki/Ancient_Egypt
^ Don Allen Egyptian and Babylonian Mathematics from [1]
^ ^أ ^ب Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press. p. 20. ISBN 0-691-09541-8.

قراءات إضافية

Gillings, Richard J. "Mathematics in the Time of the Pharaohs", 1972, MIT Press, Dover reprint ISBN 0-486-24315-X

وصلات خارجية

Allen, Don. April 2001. The Ahmes Papyrus and Summary of Egyptian Mathematics.
Egypt/Texts at the Open Directory Project
British Museum webpage on the Papyrus.
O'Connor and Robertson, 2000. Mathematics in Egyptian Papyri.
Truman State University, Math and Computer Science Division. Mathematics and the Liberal Arts: The Rhind/Ahmes Papyrus.
"Rhind Papyrus". MathWorld–A Wolfram Web Resource.
Williams, Scott W. Mathematicians of the African Diaspora, containing a page on Egyptian Mathematics Papyri.
BBC audio file A History of the World in 100 Objects. (15 mins)

سبقه 16: Flood tablet	تاريخ العالم في 100 قطعة أثرية Object 17	تبعه 18: Minoan Bull-leaper

الكلمات الدالة:

[Clagett-1] أ ^ب ^ت ^ث ^ج ^ح ^خ ^د Clagett, Marshall Ancient Egyptian Science, A Source Book. Volume Three: Ancient Egyptian Mathematics (Memoirs of the American Philosophical Society) American Philosophical Society. 1999 ISBN 978-0-87169-232-0

[Spalinger-2] أ ^ب ^ت ^ث ^ج ^ح Anthony Spalinger, The Rhind Mathematical Papyrus as a Historical Document, Studien zur Altägyptischen Kultur, Bd. 17 (1990), pp. 295-337, Helmut Buske Verlag GmbH

[3] "Collections: Egyptian, Classical, Ancient Near Eastern Art: Fragments of Rhind Mathematical Papyrus". Brooklyn Museum. Retrieved November 1, 2012.

[4] ديورانت, ول; ديورانت, أرييل. قصة الحضارة. ترجمة بقيادة زكي نجيب محمود.

[5] . Schneider, Thomas (2006). "The Relative Chronology of the Middle Kingdom and the Hyksos Period (Dyns. 12–17)". In Hornung, Erik; Krauss, Rolf; Warburton, David (eds.). Ancient Egyptian Chronology. Handbook of Oriental Studies. Brill. pp. 194–195.

[6] Peet, Thomas Eric (1923). The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058. London: The University Press of Liverpool limited and Hodder & Stoughton limited.

[Chace,_Arnold_Buffum_1929-7] أ ^ب Chace, Arnold Buffum (1979) [1927–29]. The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations. Classics in Mathematics Education. Vol. 8. 2 vols (Reston: National Council of Teachers of Mathematics Reprinted ed.). Oberlin: Mathematical Association of America. ISBN 0-87353-133-7.

[8] ttp://en.wikipedia.org/wiki/Ancient_Egypt

[9] Don Allen Egyptian and Babylonian Mathematics from [1]

[Maor-7-10] أ ^ب Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press. p. 20. ISBN 0-691-09541-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]