جدول 2/ن في بردية أحمس الرياضية

بردية أحمس الرياضية،^[1]^[2] العمل الرياضي المصري القديم، تضم جدول رياضي لتحويل الأعداد الكسرية على صيغة 2/n إلى كسور مصرية (حواصل جمع كسور وحدات مميزة)، الصيغة التي استخدمها المصريون لكتابة الأعداد الكسرية. يصف النص تمثيل 50 عدد كسري. وقد كـُتبت البردية أثناء الفترة الانتقالية الثانية في مصر (حوالي 1650–1550 ق.م.)^[3] بقلم أحمس، أول كاتب في علم الرياضيات بالعالم نعرف اسمه. نُسخت نواحٍ من الوثيقة من عمل غير معروف من سنة 1850 ق.م..

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

الجدول

يوضح الجدول التالي المنشورات المدرجة في البردية.

**جدول 2/ن في بردية أحمس الرياضية**
2/3 = 1/2 + 1/6	2/5 = 1/3 + 1/15	2/7 = 1/4 + 1/28
2/9 = 1/6 + 1/18	2/11 = 1/6 + 1/66	2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104
2/15 = 1/10 + 1/30	2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68	2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114
2/21 = 1/14 + 1/42	2/23 = 1/12 + 1/276	2/25 = 1/15 + 1/75
2/27 = 1/18 + 1/54	2/29 = 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232	2/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155
2/33 = 1/22 + 1/66	2/35 = 1/30 + 1/42	2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296
2/39 = 1/26 + 1/78	2/41 = 1/24 + 1/246 + 1/328	2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301
2/45 = 1/30 + 1/90	2/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470	2/49 = 1/28 + 1/196
2/51 = 1/34 + 1/102	2/53 = 1/30 + 1/318 + 1/795	2/55 = 1/30 + 1/330
2/57 = 1/38 + 1/114	2/59 = 1/36 + 1/236 + 1/531	2/61 = 1/40 + 1/244 + 1/488 + 1/610
2/63 = 1/42 + 1/126	2/65 = 1/39 + 1/195	2/67 = 1/40 + 1/335 + 1/536
2/69 = 1/46 + 1/138	2/71 = 1/40 + 1/568 + 1/710	2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365
2/75 = 1/50 + 1/150	2/77 = 1/44 + 1/308	2/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790
2/81 = 1/54 + 1/162	2/83 = 1/60 + 1/332 + 1/415 + 1/498	2/85 = 1/51 + 1/255
2/87 = 1/58 + 1/174	2/89 = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890	2/91 = 1/70 + 1/130
2/93 = 1/62 + 1/186	2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570	2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776
2/99 = 1/66 + 1/198	2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606

نُشر هذا الجزء من بردية ريند/أحمس الرياضية على بردية مكونة من 9 أوراق.^[4]

الشرح

يحتوي أي عدد نسبي على عدد لا نهائي من الامتدادات المختلفة الممكنة كمجموع من كسور الوحدة، ومنذ اكتشاف بردية أحمس الرياضية جاهد علماء الرياضيات لفهم كيف حسب قدماء المصريون المنشورات المحددة الموضَحة في هذا الجدول.

تضمنت اقتراحات جيلنگ خمس تقنيات مختلفة. تعطي المسألة 61 في بردية رايند/أحمس الرياضية صيغة واحدة:

{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}

,^[5] والتي يمكن ذكرها بالتساوي

{\frac {2}{n}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2}}{\frac {1}{n}}

(n قابلة للقسمة على 3 في المعادلة الأخيرة).^[6]

الصيغ الأخرى الممكنة هي:^[6]

\,{\frac {2}{n}}\;=\;{\frac {1}{3}}{\frac {1}{n}}+{\frac {5}{3}}{\frac {1}{n}}

(n يقبل القسمة على 5)

\!{\frac {2}{mn}}\!={\frac {1}{m}}\!{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{n}}{\frac {1}{k}}

(حيث k هو متوسط m وn)

\,{\frac {2}{n}}\;=\,{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}

. ينتج عن هذه الصيغة تحليل n = 101 في الجدول.

اقتُرح أحمس لتحويل 2/p (حيث كان p عدد أولي) بطريقتين، وثلاث طرق لتحويل 2/pq المقامات المركبة.^[6] اقترح آخرون أن أسلوباً واحداً فقط استخدمه أحمس والذي استخدم عوامل مضاعفة مشابهة المضاعفات المشتركة الصغرى.

مقارنة بنصوص جدول آخر

احتوت بردية مصرية قديمة على جدول مماثل للكسور المصرية. ترجع برديات اللاهون الرياضية، التي كُتبت حوالي عام 1850 قبل الميلاد، إلى عمر مصدر واحد غير معروف لبردية ريند. كانت كسور كاهون 2/ن متطابقة مع تحليل الكسور الواردة في جدول 2/ن في بردية أحمس/رايند الرياضية.^[7]

تسرد اللفافة الجلدية الرياضية المصرية (EMLR)، حوالي 1900 قبل الميلاد، تحلل الكسور من الشكل 1/ن إلى كسور وحدة أخرى. يتكون الجدول من 26 سلسلة كسور وحدة على شكل 1/ن مكتوبة كمجموعات من الأرقام النسبية الأخرى.^[8]

كتب لوح أخميم الخشبي كسور على شكل 1/ن بدلالة مجموع أرقام الهكات المنطقية، 1/3، 1/7، 1/10، 1/11 و1/13. في هذه الوثيقة، كُتبت مجموعة من الكسور المكونة من جزأين بدلالة كسور عين حورس والتي كانت عبارة عن كسور من النموذج 1/2^k والباقي معبراً عنه بوحدة تسمى رو. تم التحقق من الإجابات بضرب المقسوم عليه في الحل المقترح والتحقق من أن الإجابة الناتجة كانت 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 5 رو والذي يساوي 1.^[9]

المراجع

^ Chace, Arnold Buffum (1927–1929), The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations (2 vols.), Classics in Mathematics Education, 8, Oberlin: Mathematical Association of America . Reprint, Reston: National Council of Teachers of Mathematics, 1979, ISBN 0-87353-133-7.
^ Robins, Gay; Shute, Charles (1987), The Rhind Mathematical Papyrus: an Ancient Egyptian Text, London: British Museum Press .
^ Imhausen, Annette (2016), Mathematics in Ancient Egypt: A Contextual History, Princeton University Press, p. 65, ISBN 9780691209074
^ Spalinger, Anthony (1990), "The Rhind Mathematical Papyrus as a Historical Document", Studien zur Altägyptischen Kultur 17: 295–337 .
^ Clagett, Marshall (1999), Ancient Egyptian Science, A Source Book. Volume Three: Ancient Egyptian Mathematics, Memoirs of the American Philosophical Society, American Philosophical Society, ISBN 978-0-87169-232-0, https://archive.org/details/ancientegyptians03clag .
^ ^أ ^ب ^ت Burton, David M. (2003), History of Mathematics: An Introduction, Boston: Wm. C. Brown .
^ Imhausen, A. (2002), UC 32159, University College London, http://www.digitalegypt.ucl.ac.uk/lahun/uc32159.html
^ Imhausen, Annette (2007), "Egyptian mathematics", in Katz, Victor J., The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 1–56 . See in particular pages 21–22.
^ Vymazalova, H. (2002), "The wooden tablets from Cairo: The use of the grain unit HK3T in ancient Egypt", Archiv Orientální (Charles U., Prague) 70 (1): 27–42 .

[1] Chace, Arnold Buffum (1927–1929), The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations (2 vols.), Classics in Mathematics Education, 8, Oberlin: Mathematical Association of America . Reprint, Reston: National Council of Teachers of Mathematics, 1979, ISBN 0-87353-133-7.

[2] Robins, Gay; Shute, Charles (1987), The Rhind Mathematical Papyrus: an Ancient Egyptian Text, London: British Museum Press .

[3] Imhausen, Annette (2016), Mathematics in Ancient Egypt: A Contextual History, Princeton University Press, p. 65, ISBN 9780691209074

[4] Spalinger, Anthony (1990), "The Rhind Mathematical Papyrus as a Historical Document", Studien zur Altägyptischen Kultur 17: 295–337 .

[Clagett-5] Clagett, Marshall (1999), Ancient Egyptian Science, A Source Book. Volume Three: Ancient Egyptian Mathematics, Memoirs of the American Philosophical Society, American Philosophical Society, ISBN 978-0-87169-232-0, https://archive.org/details/ancientegyptians03clag .

[Burton-6] أ ^ب ^ت Burton, David M. (2003), History of Mathematics: An Introduction, Boston: Wm. C. Brown .

[7] Imhausen, A. (2002), UC 32159, University College London, http://www.digitalegypt.ucl.ac.uk/lahun/uc32159.html

[8] Imhausen, Annette (2007), "Egyptian mathematics", in Katz, Victor J., The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 1–56 . See in particular pages 21–22.

[9] Vymazalova, H. (2002), "The wooden tablets from Cairo: The use of the grain unit HK3T in ancient Egypt", Archiv Orientální (Charles U., Prague) 70 (1): 27–42 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]