طاقة حرارية

يسهل تعريف الطاقة الحرارية (إنگليزية: thermal energy) بأنها تعبـّر عن مفهوم مـُجـَـمـِّـع الذي يشمل أشكال معيـّنة من الطاقة ، سواء إن كانت صـِـغـَـرِيـّة الاِتـّساع (microscopic) أم إن كانت اِشتمالية الاِتـّساع (macroscopic) ، وهي تتناسب إلى حركات الجسيمات (و من ضمنها الفوتونات) في مواد التي تتكون من أنظمة كثرة الجسيمات (many-particle-systems). من الأشكال الاِشتمالية الاِتـّساع من الطاقة يوجد الطاقة الداخلية (inner energy) والحرارة (heat) والإنثالبيا (enthalpy). ومن الأشكال الصـِـغـَـرِيـّة الاِتـّساع من الطاقة يوجد معدّل الطاقة من جـُسيم واحد نسبة ً لكل درجة من الحـُـرّيـّة (يعني ${\tfrac {1}{2}}k_{\mathrm {B} }T$ للإزاحة إلى اتجاه واحد) أو تبادل عشوائي نمطي للطاقة بين الجسيمات بمقدار $k_{\mathrm {B} }T$.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 الطاقة الحرارية من الغاز المثالي

تـُعرف الطاقة الحرارية بمشاهدة حالة غاز مثالي. على المستوى الاِشتمالي الاِتـّساع (on the macroscopical level) نموذج الغاز المثالي هو ساذج جداً : هو عبارة عن علاقة خطّيـّة بين الجداء من الضعط و الحجم من جهة و درجة الحرارة من جهة أخري :

$P\cdot V\propto T$

أو

$P\cdot V\thicksim T$

(1)
بما فيها الحرف $\propto$ و الحرف $\thicksim$ حرفين لإبراز التناسبية (proportionality) والحرف $P$ يـُستخدم للضغط في كتابة النظرية الكينتيكية (لأن الـ$p$ الصغير هو محجوز للزخم). أما على المستوى الصـِـغـَـرِي الاِتـّساع (on the microscopical level) فالتصور عن الغاز المثالي يعتمد على نوع النموذج الذي يصفه ، والمقصود هنا هو وصف حركات الجسيمات ، وأحد النماذج الموجودة الذي يقيم وصف ً من هذا النوع هو النظرية الكينتيكية. وتعابير ونتائج هذا النموذج تقف على الافتراضات الذي يشترط به.

 افتراضات نموذج الغاز المثالي في النظرية الكينتيكية

تفترض نظرية الغاز المثالي الافتراضات الآتية:

• يتكون الغاز من جسيمات صغيرة. الجسيمات صغيرة بدرجة تجعل مجموع أحجامها أصغر كثير عن حجم الوعاء الموجودة فيه. وهذا معناه أن متوسط المسافات بين جسيمات الغاز أكبر بكثير من مقاييس الجزيئات ذاتها.
• جسيمات الغاز لها نفس الكتلة.
• عدد جسيمات الغاز كبير جدا بحيث يسمح بمعاملته بالطرق الإحصائية.
• تلك الجزيئات تتحرك مستمرا في حركة عشوائية سريعة.
• تتصادم الجزيئات المتحركة بعضها البعض ومع جدار الوعاء الموجودة فيه. وتتم تلك التصادمات بطريقة مرنة تماما، وهذا يفترض أن الجزيئات كرية الشكل ومرنة في طبيعتها.
• التأثيرات بين الجسيمات بعضها البعض ضعيفة مهملة (أي لا يوجد تجاذب أو قوي بينهم)، ولا يتم بينها سوي الاصتدامات.

 نبذة من الأسس

تنص النظرية الكينتيكية للغازات على أن الغازات تتكون من ذرات منفردة أو جزيئات منفردة ، وكل منها له كتلة $m$ وسرعة $v$.

 ضغط وطاقة كينتيكية إزاحية

في النموذج الكينتيكن للغازات الضغط يكون مساو للقوة التي تصدم بها الذرات مساحة واحدية من سطح حاوية الغاز وتصدّها مساحة الحاوية هذه للوراء ، وتحدث صدمات الذرات على السطح بشكل مرن. اِفترض غاز بـN جزيئات ، كل واحد منها بالكتلة m ، مغلقة في مكعب من الحجم V = L³ . عندما يصدم جزيء من الغاز بجدار الحاوية وتـُدْفـَع ذاك عنه بنفس الزاوية إلى المحور المتعامد على المحور x نحو الاتجاه العكسي بنفس السرعة فالتغيـّر في الزخم (بـاِفتراض تصادم مرن) هو وارد بما يلي :

$\Delta p=p_{i,x}-p_{f,x}=p_{i,x}-(-p_{i,x})=2p_{i,x}=2mv_{x}$

(2)
حيث p يعتبر الزخم ، والمسردين i و f يشيران إلى الزخم البدائي (initial" momentum") و الزخم النهائي (final" momentum") (من قبل وبعد التصادم) والمسرد x يشير إلى أنّ المتغيـّر x هو الوحيد الذي يـُؤخذ في عين الاِعتبار من الاتجاهات ، و v تعتبر سرعة الجزيء التي يبقى مقدارها نفس القيمة من قبل ومن بعد التصادم.

الجسيم يصدم بجدار جهوي مواصف واحد مرّة واحدة كل في كل بـَوْن من الزمن :

$\Delta t={\frac {2L}{v_{x}}}$

(3)
حيث L يعتبر المسافة بين جدارين متناظرين. القوة المناسبة لهذا الجسيم هي

$F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}={\frac {mv_{x}^{2}}{L}}$

(4)
و القوة الكـُلّيـّة على الجدار هي

$F={\frac {Nm{\overline {v_{x}^{2}}}}{L}}$

(5)
حيث الخط الفوقي يعبـّر عن المعدّل على N جسيمات.

طالما حركة الجسيمات تكون عشوائية ولا يوجد تفضيل لأي اتجاه ، فالمعدّل التربيعي من السرعة بأي اتجاه ممكن هو متساو لكل واحد من هذه الاتجاهات :

${\overline {v_{x}^{2}}}={\overline {v_{y}^{2}}}={\overline {v_{z}^{2}}}$

(6)
على أساس مبرهنة فيثاغورس في ثلاث أبعاد المعدّل التربيعي من السرعة يؤدّي إلى :

${\overline {v^{2}}}={\overline {v_{x}^{2}}}+{\overline {v_{y}^{2}}}+{\overline {v_{z}^{2}}}$

(7)

${\overline {v^{2}}}=3{\overline {v_{x}^{2}}}$

(8)
ولذلك يؤدّي إلى :

${\overline {v_{x}^{2}}}={\frac {\overline {v^{2}}}{3}}$

(9)
و القوة تسمح بأنها تـُكتب كما يلي :

$F={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3L}}$

(10)
هذه القوة هي مجهودة على مساحة L² ، و لذلك ضغط الغاز هو

$P={\frac {F}{L^{2}}}={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3V}}={\frac {2N}{3V}}\cdot {\frac {m{\overline {v^{2}}}}{2}}$

(11)
حيث $V=L^{3}$ يعتبر حجم الحاوية.

بتعبيرات المعدّل من الطاقة الكينتيكية من الغاز ${\overline {E_{\mathrm {kin} }}}$ تأتي العلاقة التالية :

$P\cdot V={\frac {2}{3}}\cdot {\overline {E_{\mathrm {kin} }}}$

(12)
هذه النتيجة هي الأولى اللاتافهة من النظرية الكينتيكية لأنها تربط بين الضغط ، وهي خاصـّيـّة اِشتمالية الاِتـّساع (macroscopic) ، والطاقة الكينتيكية الإزاحية (وهي «إزاحية» لأنه لا يوجد من نصيب دوراني فيها)(translation specific kinetic energy) من $N$ الجزيئات بمقدار $N{\frac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}$ التى تعتبر كمـّيـّة صـِـغـَـرِيـّة الاِتـّساع (microscopic).
وتتناسب معدّل الطاقة الكينتيكية لجميع الجسيمات تناسبا طرديا مع درجة الحرارة.

${\overline {E_{\mathrm {kin} }}}={\frac {1}{2}}m{\bar {v^{2}}}={\frac {3}{2}}k_{\mathrm {B} }T$

(13)
حيث:

• $m$ - كتلته
• $v$ - سرعته و${\bar {v^{2}}}$ متوسط مربع سرعة الجسيمات ،
• و$k_{\mathrm {B} }$ ثابت بولتزمان.

ومنها نرى أن الجزيئات تتحرك بسرعات كبيرة عندما تكون درجة حرارة الغاز عالية. تفعل ذلك فلا تكون سرعاتها متساوية ، وإنما تتبع السرعات توزيعا احصائيا منتظما، ويسمى هذا التوزيع توزيع ماكسويل-بولتزمان.

•  مقالة مفصلة: توزيع ماكسويل-بولتزمان

فإذا كان الغاز موجودا في وعاء حجمه $V$ تصتدم جزيئات الغاز باستمرار بجدار الوعاء وترتد منه. بذلك تعطي الجزيئات بعضا من زخم حركتها ، وتعطي الجزيئات جزءا من زخم حركتها للجدار في كل ثانية على كل سنتيمتر مربع من سطح الجدار. وتؤثر صدمات الجزيئات على كل جزء من أجزاء جدار بقوة نسميها "ضغط الغاز" $P$.

ويكون ذلك الضغط كبيرا كلما زادت سرعة الجسيمات. فمن ناحية يزداد معدل اصتدام الجزيئات بالجدار بزيادة سرعة الجزيئات ، ومن جهة أخرى تكون الصدمات أكثر شدة بزيادة السرعة و يزداد جزء زخم الحركة الذي تعطيه الجزيئات إلى الجدار . فإذا زادت كثافة الجزيئات في الغاز $N/V$ يزيد احتمال اصتدام الجزيئات بالجدار . من ذلك يمكن استنباط معادة الضغط للغاز:

$P={\frac {2}{3}}{\frac {N}{V}}{\frac {m}{2}}{\bar {v^{2}}}={\frac {2}{3}}{\frac {N}{V}}{\overline {E_{\mathrm {kin} }}}$

(14)

وإذا عوضنا عن متوسط طاقة الحركة للجزيئات بدرجة الحرارة ، نحصل على معادلة اغاز المثالي :

$P\cdot V=Nk_{\mathrm {B} }T$

(15)
تنطبق تلك المعادلة على غازات قليلة الكثافة وعند درجة حرارة عالية. وعند استنباطنا لها فقد أهملنا قوي التجاذب بين الجسيمات ، التي تخفض من ضغط الجسيمات على جدار الوعاء. وفوق ذلك فإن الجزيئات لها حجم ولا يمكن للغاز أن ينكمش إلى ما لانهاية لأن الجزيئات تشغل جزء من الحجم. أما وصف حالة غاز حقيقي فيمكن بتطبيق معادلة ڤان در ڤالز. المعادلتين (12) و (15) ، هنا نتيجتين كلاسيكيتين ، يمكن اِشتقاقهنا من معادلات الميكانيكا الإحصائية كذلك.

ملحوظة: في المعادلة أعلاه التي تعطي متوسط طاقة الحركة ${\overline {E_{\mathrm {kin} }}}$ للجزيئات نجد فيها العدد 3 في البسط. هذا العدد يعطي ما يسمى درجة حرية الجزيئ ، أي أن في المعادلة توجد "3 درجات حرية" لكل جزيئ ، أي $f=3$ ، ذلك يعبر عن أن سرعة v كل جزيئ يمكن تحليلها في ثلاثة اتجاهات : س وص ، ع.

 درجة الحرارة وطاقة كينتيكية إزاحية

من معادلة (13) يتم الحصول على درجة الحرارة $\displaystyle T$

$T={m{\overline {v^{2}}} \over 3k_{B}}$

(16)
التي تتـّخذ الشكل

$T={\frac {2}{3}}{\frac {\overline {E_{\mathrm {kin} }}}{Nk_{B}}}.$

(17)
معادلة رقم (17) تعتبر نتيجة مهمة من النظرية الكينتيكية : الطاقة الكينتيكية الإزاحية هي تناسبية بدرجة الحرارة المطلقة من الغاز المثالي.

$P\cdot V={\frac {2}{3}}\cdot {\overline {E_{\mathrm {kin} }}}$

(18)
طالما يوجد $3N$ درجات من الحرية في نظام غاز مكون من ذرات مفردة (monatomic-gas system) غير مربوطة في مركب كيميائي الذي يحتوي $N$ جسيمات . بتقليب المعادلة (17) يصبح المعدّل من الطاقة الكينتيكية نسبة ً لكل درجة من الحرية نسبة ً لكل جزيء كما يلي :

${\frac {\overline {E_{\mathrm {kin} }}}{3N}}={\frac {k_{B}T}{2}}$

(19)
معدّل الطاقة الكينتيكية نسبة ً لكل درجة من الحرية مقدارها النصف من ثابت بولتسمان أو نصف الثابت الغاز نسبة ً لكل مول.

نظرياً غازات ذوي ذرتين يـُتـَوَقـَّع منها ٧ درجات من الحرية ، ولكن في التطبيق الغازات ذوي ذرتين الخفيفة تتصرّف كأنها عندها ٥ درجات من الحرية فقط. الغازات المكونة من ذرات مفردة (monatomic gases) عندها ٣ درجات من الحرية. إذاً الطاقة الكينتيكية نسبة لكل درجة من الحرارة ${\frac {\overline {E_{\mathrm {kin} }}}{T}}$ يساوي $3N{k_{B}}/2=3nR/2$

• نسبة ً لكل $n$ بوحدة مول : $12.47J$
• نسبة ً لكل واحد من $N$ جزيء : ${}20.7yJ=129{\mu }eV$

أثناء ظروف معيارية ($T=273.15K$) يأتي

• نسبة ً لكل $n$ بوحدة مول : $3406J$
• نسبة ً لكل واحد من $N$ جزيء :${}5.65zJ=35.2meV$

 الطاقة الحرارية

مبدأ أڤوگادرو: ينص على ان الحجوم المتساوية من الغازات المختلفه تحتوي العدد نفسه من الجسيمات عند نفس درجه الحراره والضغط.

وتبلغ الطاقة الحرارية لعينة من الغاز مكونة من عدد N من الذرات مجموع تلك الطاقات للذرات:

$E_{\mathrm {thermal} }={\tfrac {1}{2}}Nm{\overline {v^{2}}}={\tfrac {3}{2}}Nk_{\mathrm {B} }T$

(20)
حيث يعبر الخط فوق السرعة عن "متوسط سرعة الجسيمات " جميعها. وتتناسب الطاقة الحرارية الكلية للعينة تناسبا طرديا مع درجة حرارة T العينة، وثابت التناسب يمثل الثلاثة اتجاهات التي يمكن أن يتحرك الجسيم فيها (فوق- تحت، ويمينا - يسارا، إلى الأمام-والخلف) ويمثل أيضا ثابت بولتزمان. ويحول ثابت بولتزمان الوحدات بين الجسيمات وبين درجة حرارة العينة ككل. تلك الصيغية الرياضية تؤدي مباشرة إلى قانون الغازات المثالية، وهي تبين أن الطاقة الداخلية U لغاز مثالي تتكون من طاقته الحرارية:

$U=E_{\mathrm {thermal} }$

(21)
ويوصف الطاقة الحرارية بشكل أعم ّ كالآتي :

$E_{\mathrm {thermal} }={\frac {f}{2}}\,N\,k_{\mathrm {B} }\,T={\frac {f}{2}}\,n\,R\,T$

(22)
حيث

• $f$ يعتبر درجة الحرية ،
• $n$ يعتبر كمية الجوهر (أو المادة) ،
• $k_{\mathrm {B} }$ يعتبر ثابت بولتسمان ،
• $T$ يعتبر درجة الحرارة ،
• $R$ يعتبر ثابت الغازات ،
• $N$ يعتبر عدد الجسيمات ،
• $c={\frac {f}{2}}R$ يعتبر سعة الحرارة المواصفية (أو النوعية). هي في قضية الغاز المثالي غير متابعة لدرجة الحرارة. ولكن في سيناريوهات واقعية هي تتابع درجة الحرارة :

$c=c(T)$

(23)
حتى الطاقة الحرارية أيضاً تكون دالة من درجة الحرارة ولكن بدون تناسبية بسيطة (أي تناسبية خطّيـّة) بين الطاقة الحرارية ودرجة الحرارة :

$E_{\mathrm {thermal} }\propto \!\!\!\!\!\!/\;\;T$

(24)
بالاختلاف مما هو وارد في قضية الغاز المثالي.

 انظر أيضا

• إحصاء ماكسويل–بولتسمان
• موصـّل حراري
• غاز كمومي

 مراجع

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 مصادر

• Kauzmann, W. (1966). Kinetic Theory of Gases, W.A. Benjamin, New York
• Liboff, R. L. (2003). Kinetic Theory: Classical, Quantum, and Relativistic Descriptions, third edition. Springer