رمز شلفلي

متعدد السطوح الاثنا عشري
إنگليزية: dodecahedron هو متعدد سطوح منتظم يرمز له برمز شليفلي {٣,٥} بالعربية أو {5,3} باللاتينية، لأن له ٣ مخمسات حول كل من رؤوسه.

رمز شليفلي في الهندسة الرياضية هو عبارة عن ترميز للأشكال الهندسية يأخذ الشكل {ض،ط، ق، ...} أو {p,q,r,...}. و يستخدم لتعريف متعددات المقام المنتظمة والمُرَصّعَات.

أطلق على هذا الترميز اسم رمز شليفلي نسبة إلى مبتكره عالم الرياضيات لودڤيگ شليفلي Ludwig Schläfli الذي كانت له اسهامات هامة في الهندسة الرياضية ومجالات أخرى في القرن التاسع عشر.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 وصف الترميز

رمز شيلفلي هو وصف تِكراري للأشكال الهندسية، يبدأ بعدد يرمز لمضلع منتظم عدد أضلاعة ض بالرمز {ض} ( أو {p} باللاتينية). على سبيل المثال، الرمز {٣} يرمز لمثلث متساوي الأضلاع، والرمز {٤} يرمز للمربع وهلم جرا.

أما متعدد الوجوه (السطوح) الذى يتشكل من عدد ط ( أو q باللاتينية) من الوجوه تلتقى عند كل رأس من رؤوسه، ويكون كل وجه منها هو عبارة عن مضلع منتظم عدد أضلاعه ض فيرمز له بالرمز {ض،ط} أو {p,q}. فمثلاً يكون ترميز المكعب هو {٣,٤} أو {4,3} لوجود ثلاث مربعات حول كل رأس من رؤوس المكعب.

ويتم تمثيل متعدد المقام الرباعى الأبعاد أو متعدد المقام-٤ ( polytope-4 )، الذى يتكون من عدد ق {ض، ط} من الخلايا المنتظمة حول كل حافة من حوافه بالرمز {ض،ط، ق} أو {p,q,r} ، وهلم جرا. وتكون كل خلية من خلايا متعدد المقام رباعى الأبعاد هى عبارة عن متعدد وجوه ذا أحرف متجهه.

يمكن أن تتشكل متعددات المقام المنتظمة من عناصر لها شكل مضلع نجمي، مثل النجمة الخماسية، التي يرمز لها بالرمز {٥\٢} أو {5/2}، وهى نجمة لها رؤوس ممثلة في رؤوس خماسي منتظم ولكن أضلاعها متصله بالتناوب بين تلك الرؤوس.

وبوجه عام، فان سطيح متعدد المقام {ض،ط، ق،....س،ع} هو {ض،ط، ق،....س}.

أيضاً بنية الرأس لمتعدد المقام المنتظم تكون شكلاً هندسياً منتظماً. وتكون بنية الرأس لمتعدد المقام المنتظم {ض،ط، ق،....س،ع} هي {ط، ق،....س،ع}.

رمز شيلفلي يمكن أن يستخدم لتمثيل أى متعدد سطوح محدب متناهي الشكل، وأى مُرَصّعْ متناهي الشكل في الفراغ الإقليدي، أو أى مُرَصّعْ لا متناهي الشكل في الفراغ الزائدي اعتماداً على الخلل الزاوي للبناء الهندسي. فعندما يكون الخلل الزاوي موجباً فانه يسمح لبنية الرأس أن تنثني لتدخل في بعد فراغي أعلى وتنعقد (أو تدور) راجعة مرة أخرى إلى نفسها كمتعدد مقام. أما الخلل الزاوي صفر فهو يُرَصّعْ الفراغ كسطيحات هندسية في نفس الأبعاد الفراغية. وعندما يكون الخلل الزاوي سلبياً فهو لا يمكن أن يتواجد في الفراغ العادي، ولكن يمكن بناؤه في الفراغ الزائدي.

وعادة ما يفترض في بنية الرأس أنها متعدد مقام متناهي الأبعاد، ولكن يمكن أن تعتبر في بعض الأحيان على أنها مُرَصْعَة هندسية في حد ذاتها.

كذلك، كل متعدد المقام يكون له متعدد مقام مزدوج، تمثله عناصر رمز شليفلي في ترتيبها العكسي. ومتعدد المقام ذاتي الازدواج يكون له "رمز شليفلي" متماثل.

 مجموعات التماثل

يرتبط رمز شليفلي ارتباطاً وثيقاً بمجموعات التماثل أو التناظر الانعكاسي، التى تدعى أيضاً مجموعات كوكستر، وهى تُعطى بنفس العلامات، ولكن داخل أقواس مربعة [ض،ط، ق، ....] أو [p,q,r,...]. وغالباً ما تسمي تلك المجموعات حسب اسم متعددات المقام المنتظمة التي تتولد عنها. على سبيل المثال [٣،٣] أو [3،3] هي مجموعة كوكستر للتماثل رباعي السطوح إنگليزية: Tetrahedral symmetry ، و[٤،٣] أو [3،4] هو التماثل ثماني السطوح إنگليزية: Octahedral symmetry، و [٥،٣] أو [3،5] هو التماثل عشروني السطوح إنگليزية: Icosahedral symmetry.

 المضلعات المنتظمة (مستوى)

Regular convex and star polygons with 3 to 12 vertices labelled with their Schläfli symbols

رمز شليفلي للمضلع المنتظم ذو الحواف ن هو {ن} أو {n} باللاتينية.

على سبيل المثال، يتم تمثيل الخماسي المنتظم بالرمز {٥} أو {5}.

راجع المضلع المنتظم المحدب والمضلع النجمي الغير محدب.

على سبيل المثال، {٥\٢} أو {5/2} هو رمز النجمة الخماسية.

 متعددات الوجوه/السطوح المنتظمة (فراغ ثلاثي الأبعاد)

رمز شليفلي لمتعدد الوجوه المنتظم هو {ض، ط} إذا كانت وجوهه هي مضلعات منتظمة لها عدد أضلاع ض، وتحيط بكل رأس من رؤوسه عدد ط من تلك الوجوه (وتكون بنية الرأس أيضاً مضلع منتظم عدد أضلاعة ط).

على سبيل المثال {٣,٥} أو {5،3} هو رمز متعدد السطوح الاثنا عشري المنتظم. فهو مكون من وجوه على شكل خماسي منتظم (٥ حواف)، و ٣ خماسيات منتظمة حول كل رأس من رؤوسه.

راجع المجسمات الأفلاطونية الخمس المحدبة، ومتعددات وجوه كبلر-بوينسوت الأربعة الغير محدبة.

ويمكن أيضاً استخدام رموز شليفلي لتعريف المُرَصّعْات المنتظمة في الفراغ الإقليدي أو الزائدي بطريقة مماثلة.

على سبيل المثال، يتم تمثيل القَرْمَدة السداسية بالرمز {٣,٦} أو {6،3}.

 امتداد رموز شلفلي

 تبليطات المضلعات والدوائر

A truncated regular polygon doubles in sides. A regular polygon with even sides can be halved. An altered even-sided regular 2n-gon generates a star figure compound, 2{n}.

الشكل	رمز شلفلي	التماثل	Coxeter diagram		Example, {6}
منتظم	{p}	[p]				Hexagon
Truncated	t{p} = {2p}	[[p]] = [2p]	=			Truncated hexagon (Dodecagon)	=
Altered	a{2p}	[2p]				Altered hexagon (Hexagram)
Half	h{2p} = {p}	[1+,2p] = [p]	=			Half hexagon (Triangle)	=

 عديدات الأوجه والتبليطات

Coxeter expanded his usage of the Schläfli symbol to quasiregular polyhedra by adding a vertical dimension to the symbol. It was a starting point toward the more general Coxeter diagram. Norman Johnson simplified the notation for vertical symbols with an r prefix. The t-notation is the most general, and directly corresponds to the rings of the Coxeter diagram. Symbols have a corresponding alternation, replacing rings with holes in a Coxeter diagram and h prefix standing for half, construction limited by the requirement that neighboring branches must be even-ordered and cuts the symmetry order in half. A related operator, a for altered, is shown with two nested holes, represents a compound polyhedra with both alternated halves, retaining the original full symmetry. A snub is a half form of a truncation, and a holosnub is both halves of an alternated truncation.

الشكل	رموز شلفلي			التماثل	Coxeter diagram		Example, {4,3}
Regular	${\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	{p,q}	t0{p,q}	[p,q] or [(p,q,2)]				Cube
Truncated	$t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	t{p,q}	t0,1{p,q}					Truncated cube
Bitruncation (Truncated dual)	$t{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	2t{p,q}	t1,2{p,q}					Truncated octahedron
Rectified (Quasiregular)	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	r{p,q}	t1{p,q}					Cuboctahedron
Birectification (Regular dual)	${\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	2r{p,q}	t2{p,q}					Octahedron
Cantellated (Rectified rectified)	$r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	rr{p,q}	t0,2{p,q}					Rhombicuboctahedron
Cantitruncated (Truncated rectified)	$t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	tr{p,q}	t0,1,2{p,q}					Truncated cuboctahedron
Alternations
Alternated (half) regular	$h{\begin{Bmatrix}2p,q\end{Bmatrix}}$	h{2p,q}	ht0{2p,q}	[1+,2p,q]	=			Demicube (Tetrahedron)
Snub regular	$s{\begin{Bmatrix}p,2q\end{Bmatrix}}$	s{p,2q}	ht0,1{p,2q}	[p+,2q]
Snub dual regular	$s{\begin{Bmatrix}q,2p\end{Bmatrix}}$	s{q,2p}	ht1,2{2p,q}	[2p,q+]				Snub octahedron (Icosahedron)
Alternated rectified (p and q are even)	$h{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	hr{p,q}	ht1{p,q}	[p,1+,q]
Alternated rectified rectified (p and q are even)	$hr{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	hrr{p,q}	ht0,2{p,q}	[(p,q,2+)]
Quartered (p and q are even)	$q{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	q{p,q}	ht0ht2{p,q}	[1+,p,q,1+]
Snub rectified Snub quasiregular	$s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	sr{p,q}	ht0,1,2{p,q}	[p,q]+				Snub cuboctahedron (Snub cube)
Altered and holosnubbed
Altered regular	$a{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	a{p,q}	at0{p,q}	[p,q]	= ∪			Stellated octahedron
Holosnub dual regular	ß${\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	ß{q,p}	at0,1{q,p}	[p,q]				Compound of two icosahedra

ß, looking similar to the greek letter beta (β), is the German alphabet letter eszett.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Polychora and honeycombs

Linear families

Form	Schläfli symbol			Coxeter diagram		Example, {4,3,3}
Regular	${\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	{p,q,r}	t0{p,q,r}				Tesseract
Truncated	$t{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	t{p,q,r}	t0,1{p,q,r}				Truncated tesseract
Rectified	$\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	r{p,q,r}	t1{p,q,r}				Rectified tesseract	=
Bitruncated		2t{p,q,r}	t1,2{p,q,r}				Bitruncated tesseract
Birectified (Rectified dual)	$\left\{{\begin{array}{l}q,p\\r\end{array}}\right\}$	2r{p,q,r} = r{r,q,p}	t2{p,q,r}				Rectified 16-cell	=
Tritruncated (Truncated dual)	$t{\begin{Bmatrix}r,q,p\end{Bmatrix}}$	3t{p,q,r} = t{r,q,p}	t2,3{p,q,r}				Bitruncated tesseract
Trirectified (Dual)	${\begin{Bmatrix}r,q,p\end{Bmatrix}}$	3r{p,q,r} = {r,q,p}	t3{p,q,r} = {r,q,p}				16-cell
Cantellated	$r\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	rr{p,q,r}	t0,2{p,q,r}				Cantellated tesseract	=
Cantitruncated	$t\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	tr{p,q,r}	t0,1,2{p,q,r}				Cantitruncated tesseract	=
Runcinated (Expanded)	$e_{3}{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	e3{p,q,r}	t0,3{p,q,r}				Runcinated tesseract
Runcitruncated			t0,1,3{p,q,r}				Runcitruncated tesseract
Omnitruncated			t0,1,2,3{p,q,r}				Omnitruncated tesseract
Alternations
Half p even	$h{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	h{p,q,r}	ht0{p,q,r}				16-cell
Quarter p and r even	$q{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	q{p,q,r}	ht0ht3{p,q,r}
Snub q even	$s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}$	s{p,q,r}	ht0,1{p,q,r}				Snub 24-cell
Snub rectified r even	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}}\right\}$	sr{p,q,r}	ht0,1,2{p,q,r}				Snub 24-cell	=
Alternated duoprism		s{p}s{q}	ht0,1,2,3{p,2,q}				Great duoantiprism

Bifurcating families

الشكل	Extended Schläfli symbol			Coxeter diagram		Examples
Quasiregular	$\left\{p,{q \atop q}\right\}$	{p,q1,1}	t0{p,q1,1}				16-cell
Truncated	$t\left\{p,{q \atop q}\right\}$	t{p,q1,1}	t0,1{p,q1,1}				Truncated 16-cell
Rectified	$\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	r{p,q1,1}	t1{p,q1,1}				24-cell
Cantellated	$r\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	rr{p,q1,1}	t0,2,3{p,q1,1}				Cantellated 16-cell
Cantitruncated	$t\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	tr{p,q1,1}	t0,1,2,3{p,q1,1}				Cantitruncated 16-cell
Snub rectified	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}}\right\}$	sr{p,q1,1}	ht0,1,2,3{p,q1,1}				Snub 24-cell
Quasiregular	$\left\{r,{p \atop q}\right\}$	{r,/q\,p}	t0{r,/q\,p}
Truncated	$t\left\{r,{p \atop q}\right\}$	t{r,/q\,p}	t0,1{r,/q\,p}
Rectified	$\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	r{r,/q\,p}	t1{r,/q\,p}
Cantellated	$r\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	rr{r,/q\,p}	t0,2,3{r,/q\,p}
Cantitruncated	$t\left\{{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}}\right\}$	tr{r,/q\,p}	t0,1,2,3{r,/q\,p}
Snub rectified	$s\left\{{\begin{array}{l}p\\q\\r\end{array}}\right\}$	sr{p,/q,\r}	ht0,1,2,3{p,/q\,r}

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 مراجع

• Eric W. Weisstein, رمز شلفلي at MathWorld.