مجموعة بورل

في الرياضيات، مجموعة بوريل (الإنكليزية: Borel set)هي أي فضاء طوبولوجي يمكن تشكيله من المجموعات المفتوحة (أو بشكل مكافئ، من المجموعات المغلقة) من خلال عمليات الاجتماع المعدود، والتقاطع المعدود، والإتمام النسبي. تسمى مجموعات بوريل نسبة لإيميل بورل Émile Borel.

من أجل فضاء طوبولوجي ما X، تشكل مجموعة كل مجموعات بورل في X جبر سيگما، التي تسمى أحياناً جبر بورل أو جبر بورل سيگما. إن جبر بورل على X هو أصغر جبر سيگما يضم كل المجموعات المفتوحة (أو بشكل مكافئ، كل المجموعات المغلقة).

لمجموعات بورل أهمية كبيرة في نظرية القياس، لأن كل قياس معرف على مجموعات مفتوحة (أو مغلقة) من فضاء ما، يجب أن يعرف كل مجموعات بورل من ذلك الفضاء. وكل قياس معرف على مجموعات بورل يسمى قياس بورل. كما يلعب مفهوم تراتب بورل ذو الصلة دوراً أساسياً في نظرية المجموعات الوصفية descriptive set theory.

في بعض السياقات، تعرف مجموعات بورل باستخدام المجموعات المضغوطة ومتمماتها بدلاً من المجموعات المفتوحة والمغلقة. يعد كل من هذين التعريفين متكافئين في معظم الفضاءات.

In some contexts, the Borel sets are defined using compact sets and their complements rather than closed and open sets. These two definitions are equivalent for most typical spaces, including any locally compact, separable metric space (or more generally any σ-compact space), but are different for certain pathological spaces.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 انظر أيضاً

• Baire set
• Cylindrical σ-algebra
• Polish space
• Descriptive set theory

 References

An excellent exposition of the machinery of Polish topology is given in Chapter 3 of the following reference:

• William Arveson, An Invitation to C*-algebras, Springer-Verlag, 1981

• Richard Dudley, Real Analysis and Probability. Wadsworth, Brooks and Cole, 1989

• Paul Halmos, Measure Theory, D.van Nostrand Co., 1950

• Halsey Royden, Real Analysis, Prentice Hall, 1988

• Alexander S. Kechris, Classical Descriptive Set Theory, Springer-Verlag, 1995 (Graduate texts in Math., vol. 156)