توزيع بواسون

توزيع بواسون

دالة الكثافة الاحتمالية
دالة التوزيع التراكمي
المؤشرات	$\lambda \in [0,\infty [$
الدعم	$k\in \{0,1,2,\ldots \}$
د.ك.ا	${\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!$
د.ت.ت	${\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}\!{\text{ for }}k\geq 0$
المتوسط	$\lambda \,$
وسيط	${\text{عادة يقارب }}\lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor$
المنوال	$\lceil \lambda \rceil -1$
تباين	$\lambda \,$
ميلان	$\lambda ^{-1/2}\,$
كورتوسيس	$\lambda ^{-1}\,$
الاعتلاج	$\lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}$
د.م.ع	$\exp(\lambda (e^{t}-1))\,$
الدالة المميزة	$\exp(\lambda (e^{it}-1))\,$

في علمي الإحصاء و الاحتمالات، توزيع بواسون (Poisson) هو توزيع احتمالي منفصل يمثل النموذج التالي:

في مدّة زمنية T، يحصل الحدث بمعدل λ مرّات (λ أقل من 5 مثلا ) . لنرمز بX المتغير العشوائي الذي يمثل عدد المرّات التي سيحصل فيها الحدث في X . T يمكن أن يساوي 0، 1، 2...

يتبع هذا المتغير العشوائي القانون التالي:

$p(k)=P(X=k)=\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,$

مهما كان العدد الطبيعي k.

• λعدد حقيقي موجب
• ( p( k : احتمال حصول الحدث k في T.

هذا ما يدعى توزيع بواسون (أو قانون بواسون) ذا المعلمة λ.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 حساب ( p( k

يقام حساب هذه الكمية نتيجة عن العمل بتوزيع ثنائي ذا المعلمتين ( T ; λ/T ). إذا اعتبرنا T كبيرا، فيمكن تبيين أن التوزيع الثنائي نهايته في اللانهاية هو توزيع بواسون.

 القيمة المتوقعة ، التباين و الانحراف المعياري

• القيمة المتوقعة لتوزيع بواسون هي λ
• تباين توزيع بواسون λ
• الانحراف المعياري لتوزيع بواسون هو ${\sqrt {\lambda }}$

 ميادين الاستعمال

غالبا ما استعمل توزيع بواسون لحساب أحداث النادرة كانتحار الأطفال، وصول البواخر إلى المرسى أو الحوادث الناتجة عن ركالات الأحصنة في العساكر (دراسة لاديسلاوس بورتكيفيكز)

أما منذ بعض عشرات السنين، امتد استعمال توزيع بواسون إلى ميادين أخرى. فهو يستعمل كثيرا الآن في تكنولوجيات الإتصال (حساب عدد المواصلات في مدّة معينة)، مراقبة الجودة الإحصائية، وصف بعض الظواهر التابعة لميدان التفكيك النووي المشع (تفكيك النواة المشعة يتبع دالة أسية ذات معملة تدعى أيضا λ) وعلم الأحياء و الرصد الجوي...

 الرسوم البيانة ذات الأعمدة

ككل توزيع قائم على احتمال منفصل، يمكن تمثيل توزيع بواسون برسوم بيانية ذات أعمدة. هنا تحت، تمثل الرسوم البيانية توزيع بواسون ذا المعلمات 1 و 2 و 5.

رسم توزيع بواسون ذا العامل 5 بدأ يشبه بعض الشيء التوزيع الطبيعي (أو التوزيع الغاوسي) ذا القيمة المتوقعة 5 التباين 5. ولذلك إذا كانت λ أكبر من 5، نخير استعمال نموذج التوزيع الطبيعي.

 بعض الخاصيات

إذا كانتا X و Y متغيران عشوائيان مستقلاّن يتبعان توزيع بواسون ،الأولى مع المعلمة λ والثانية المعلمة μ فإنّ X+Y متغير عشوائي يتبع توزيع بواسون ذا المعلمة λ+μ.

 انظر أيضا إلى

• احتمال
• توزيع احتمالي
• توزيع ثنائي
• توزيع طبيعي

• توجد جداول للمساعدة على حساب احتمال بمعرفة λ و k . موقع الجدول في ويكي مصدر العربية: جدول توزيع بواسون