طوبولوجيا جبرية
المقدمة
إنّ الهدف من هذا المشروع هو إبراز الارتباط الوثيق بين مادتي التبولوجيا والجبر. حيث درسنا فيه حلقة التوابع الحقيقة المستمرة والمعرفة على فضاء تبولوجي منتظم تماماً وهاوسدورف. فإذا كان X فضاءً تبولوجياً منتظماً تماماً وهاوسدورف وإذا كانت C(X) حلقة التوابع الحقيقة والمستمرة والمعرفة على X, فإنّ المثالية Ck(X) المؤلفة من عناصر C(X) التي تملك دعامة متراصة في الفضاء X أثارت اهتمام العديد من الباحثين في الجبر و التبولوجيا مثل Kaplansky 1947 و Gillman et – al 1976 و Natsheh et – al 1991 و عماد أبو أصبع في رسالة دكتوراه نوقشت في الجامعة الأردنية عام 1991. في مشروعنا هذا نلقي الضوء على بعض أهم النتائج التي توصل إليها هؤلاء الباحثون في هذا الموضوع مضيفين إلى ذلك بعض الأمثلة والتوضيحات التي نراها ضرورية. وقد قسمنا المشروع إلى فصلين:
- في الفصل الأول: درسنا البنية الجبرية و التبولوجيا للمجموعة C(X) حيث بينّا في الفقرة الأولى من هذا الفصل بنية الحلقة C(X) وقدمنا التعاريف والأوليات اللازمة للفصول اللاحقة. وفي الفقرة الثانية درسنا بنية المثالية Ck(X) من خلال تقديم بعض المبرهنات الأساسية التي تعطي صفات جبرية لهذه المثالية وذلك لبعض الفضاءات X الشهيرة. مثل الفضاء العادي لـ R والفضاء العادي للأعداد الكسرية و ... . - في الفصل الثاني درسنا الفضاء الجزئي XL والمثالية Ck(X) . حيث درسنا في الفقرة الأولى من هذا الفصل البنية التبولوجيا للفضاء XL مع عرض بعض المبرهنات عن هذا الفضاء ودوره في دراسة الصفات الجبرية للمثالية Ck(X). وفي الفقرة الثانية درسنا الشروط اللازمة و الكافية حتى تكون المثالية Ck(X) نقية في الحلقة C(X). وفي الفقرة الثالثة درسنا الشروط اللازمة والكافية حتى تكون Ck(X) مثالية أولية
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
الملخص
ليكن X فضاءً تبولوجياً منتظماً تماماً وهاوسدورف, ولتكن C(X) مجموعة التوابع الحقيقة المستمرة علىX. من المعلوم أنّ C(X) تشكل تحت عمليتي الجمع والضرب التاليتين: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f . g)(x) = f(x) . g(x) حلقة تبديلية واحدية. في هذا المشروع درسنا المثالية Ck(X) المؤلفة من عناصر C(X) التي تملك دعامة متراصة في الفضاء X. وأعطينا بعض الخواص الجبرية لهذه المثالية معتمدين على الفضاء XL الجزئي من X والمؤلف من كل النقط من X والتي تملك مجاورة متراصة.
لقد أوضحنا أنّ: XL = .
وأنّ المثالية Ck(X) تكون نقية ⇔
كما أوضحنا أنّ: المثالية Ck(X) أولية ⇔ BX = X ∪ {∞} وتكون BF – نقطة.
وهكذا ربطنا في هذا المشروع بين المفاهيم التبولوجيا والمفاهيم الجبرية.
الفصل الأول: البنية الجبرية و التبولوجيا لـ C(X)
تمهيد: إنّ جميع الحلقات التي سترد في هذا البحث هي حلقات تبديلية. وإنّ جميع الفضاءات التبولوجيا ستكون فضاءات هاوسدورف ومنتظمة تماماً Completely Regular ، ونذكر القارئ بأنّ الفضاء التبولوجي (E ،t ) يسمى فضاء منتظم تماماً إذا حقق الشرط التالي: لكل مجموعة مغلقة F ولكل x ∉ F من (E ،t ) يوجد تابع مستمر: F: (E ،t ) → (I ، t u ) : I = [ 0 ، 1 ] بحيث يكون: f(x) = 1 و f(F) = 0 . كما ونقول عن فضاء تبولوجي (E ،t ) أنّه فضاء هاوسدورف إذا حقق الشرط الآتي: لكل x ≠ y من E توجد Tx و Ty من t بحيث x ∈ Tx و y ∈ Ty و Tx ∩ Ty = Ø .
1. § - الحلقة C(X)
ليكن X فضاءً تبولوجياً منتظماً تماماً وهاوسدورف, نعرف المجموعة C(X) كما يلي: { f مستمر و C(X) = { f, f: X → R . نعرف على المجموعة C(X) العمليتين الداخليتين: الجمع (+) والضرب ( . ) كما يلي: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f . g)(x) = f(x) . g(x) لكل f و g من C(X) ولكل x من X . عندئذ نجد بسهولة أنّ ( . ، + ، C(X) ) تشكل حلقة تبديلية واحدية صفرها هو التابع: O: X → R المعرف بالشكل: O(X) = 0 . وعنصرها الحيادي بالنسبة للضرب هو التابع: 1: X → R المعرف بالشكل: 1(x) = 1 . سنرمز بـ C*(x) لمجموعة التوابع المحدودة من C(X), ويمكن أن نرى بسهولة أنّ: C*(x) تشكل حلقة جزئية من C(X) .
تعاريف 1.1 :
إذا كان f عنصراً من C(X) فإننا نعرف ما يلي:
•f + ( f موجب) وهو التابع f + : X → R المعرف بـ:
• f - ( fسالب) وهو التابع f - : X → R المعرف بـ:
• صفرية f ونرمزها Z(f) وهي المجموعة: Z(f) = { x ∈ X : f(x) = 0} = f -1(0) • متمم صفرية f ونرمزها coz(f) ، وهي المجموعة: coz(f) = X \ Z(f) . • دعامة f ونرمزها supp f وهي المجموعة:
• موجبة f ونرمزها pos f وهي المجموعة: pos f = coz(f +) = { x ∈ X : f(x) > 0 } • سالبة f ونرمزها neg f وهي المجموعة: neg f = coz(f -) = { x ∈ X : f(x) < 0 } • صفرية X ونرمزها Z(X) وهي المجموعة: Z(X) = { Z(f) ; f ∈ C(X) } .
تعاريف 2.1 : إذا كانت I مثالية من الحلقة C(X) فإننا نعرف: صفرية I ونرمزها Z(I) وهي المجموعة: Z[ I ] = { Z(f) ; f ∈ I } . متممة صفرية I ونرمزها coz [ I ] وهي المجموعة:
coz [ I ] = نقول عن I أنّها Z – مثالية إذا تحقق الشرط التالي: Z(f) ∈ Z(I) ⇒ f ∈ I
ونقول عن I إنّها مثالية ثابتة ( Fined Ideal) إذا كان: Ø .
ونقول عن I إنّها مثالية حرة ( Free Ideal) إذا لم تكن ثابتة.
مبرهنة 3.1 : إذا كان f و g ∈ C(X) فإنّ: 1) Z(f . g) = Z(f) ∪ Z(g) 2) Z(f 2 + g2) = Z(f) ∩ Z(g)
3)
البرهان: 1) f(x)g(x) = 0 ⇔ (f.g)(x) = 0 ⇔ x ∈ Z(f.g) x ∈ Z(g) أو x ∈ Z(f) ⇔ g(x) = 0 أو f(x) = 0 ⇔ Z(f) ∪ Z(g) ∋ x ⇔ 2) (f 2 + g2)(x) = 0 ⇔ x ∈ Z(f 2 + g2) g(x) = 0 و f(x) = 0 ⇔ f 2(x) + g2(x) = 0 ⇔ Z(f) ∩ Z(g) ∋ x ⇔ Z(g) ∋ x و Z(f) ∋ x ⇔ 3) لنضع
ولتكن x ∈ Z(f) ⇐ f(x) = 0 ⇐ |f(x) = 0| < 1/n من أجل كل
n ∈ N ومنه x ∈ H ومنه Z(f) ∈ H بالعكس: x ∈ H ⇐ |f(x)| < 1/n ومنه f(x) < 1/n > 1/n- من أجل كل n ∈ N أي أنّ f(x) = 0 تنتمي إلى المجال السابق من أجل كل n ∈ N ومنه x ∈ Z(f) ومنه H ⊆ Z(f) وبالتالي H = Z(f) .
ملاحظة 4.1 : يوجد كثير من الفضاءات التبولوجيا الهامة، غير متراصة, ولكن يمكن بسهولة إنشاء فضاءات متراصة بحيث يكون فيها الفضاء غير المتراص مجموعة كثيفة. فإذا كان E فضاء غير متراص وأنشأنا فضاءً متراصاً H بحيث أنّ E مجموعة كثيفة في H فإننا نسمي H بالتوسيع المتراص لـ E (Compactification of E) وأبسط أنواع التوسيعات المتراصة لفضاء E هو الذي نسميه التوسيع المتراص بنقطة واحدة one point compactification والذي نحصل عليه كما يلي: إذا كان E فضاء غير متراص فإننا نأخذ نقطة a ∉ E ونضع:H = E ∪ {a} ونعرف تبولوجيا على H كما يلي: أسرة المجموعات المفتوحة في H تتألف من أسرة المجموعات المفتوحة في E مضافاً إليها كل المجموعات u الجزئية من H بحيث أنّ H \ u مغلقة ومتراصة في E . يبرهن على أنّ H مع هذه الأسرة من المجموعات تشكل فضاء تبولوجياً متراصاً وأنّ E مجمعة كثيفة في H . - يوجد أنوع أخرى من التوسيعات المتراصة, أحدها هو توسيع Store – cech الوارد في المبرهنة التالية:
مبرهنة 5.1 ( المرجع (1)):
كل فضاء تبولوجي X يملك توسيعاً متراصاً BX يحقق الخواص المتكافئة التالية:
1) لكل تابع مستمر في X في فضاء متراص Y يوجد تمديد مستمر من BX فيY 2) لكل تابع f من C*(X) يوجد تمديد f B من C(BX) . 3) لكل مجموعتين صغريتين في X لصاقتين منفصلتين في BX . 4) لكل مجموعتين صغريتين Z1 و Z2 في X يكون:
في BX .
وبالإضافة إلى ذلك فإنّ BX وحيد بالمعنى التالي: إذا كان T توسيع متراص لـ X يحقق واحداً من الشروط الواردة أعلاه فإنّه: يوجد هوميومورفيزم من BX على T بحيث يترك نقط X تذهب إلى نفسها.
- ) نسمي التوسيع المتراص BX الوارد في المبرهنة السابقة بتوسيع ستون – سيش.
تعريف 6.1 : لتكن p ∈ BX سنضع: M*p = { f ∈ C*(X) : f B(p) = 0 } M p = { f ∈ C(X) : p ∈ } ، ( p ∈ X ⇔ ثابتة Mp ) O p = { f ∈ C(X) : p ∈ } وإذا كانت K ⊆ BX فإنّ: OK = وإذا كان f ∈ C(X) فإننا نعرف f * بـ :
وسنضع ( أي أنّ هو التمديد المستمر لـ f * على BX ) مبرهنة 7.1 : 1) إنّ المثاليات الأعظمية في الحلقة C*(X) هي تماماً المجموعات M*p . 2) إنّ المثاليات الأعظمية في الحلقة C(X) هي تماماً المجموعات Mp
وإذا كانت p ∈ X فإنّ: Mp = { f ∈ C(X) : f(p) = 0 } .
3) إذا كانت p ∈ BX فإنّ { O p = { f ∈ C(X) : p ∈
O p هي تقاطع كل المثاليات الأولية في C(X) المحتواة في Mp .
مبرهنة 8.1 : لكل مثالية أولية في الحلقة C(X) محتواة في مثالية أعظمية وحيدة. أي أنّ C(X) هي حلقة جيلفاند Gelfand .
تعاريف 9.1
- نقول عن نقطة p من X إنّها p – نقطة إذا كان: O p = M p - نقول عن فضاء تبولوجي X إنّه p – فضاء إذا كان: O p = M p لكل p ∈ X . - نقول عن نقطة P ∈ BX إنّها BF – نقطة إذا كانت Op مثالية أولية في C(X). - نقول عن فضاء تبولوجي X إنّه F – فضاء إذا كانت O p مثالية أولية في C(X) لكل p ∈ BX .
تعريف 10.1
لتكن R حلقة ولتكن X مجموعة كل المثاليات الأولية في R . ولتكن E ⊆ R . سنضع V(E) = { p ∈ X : E ⊆ R } .
مبرهنة 11.1
لتكن R حلقة ولتكن X مجموعة كل المثاليات الأولية في R . عندئذ: t = { V(E) : E ⊆ R } تشكل تبولوجيا على X . ونسمي الفضاء: (t ، X) بالطيف الأولي للحلقة R ونرمز له بـ Spec(R) وإذا كانت Max(R) مجموعة كل المثاليات الأعظمية في R فإنّ Max(R) تشكل فضاءً جزئياً من Spec(R) .
مبرهنة 12.1 (المرجع(1)): لكل فضاء تبولوجي X لدينا:
1) C*(X) إيزومورف لـ C(BX) .
2) BX هوميومورف لـ Max(C(X)) .
◙ بعض المفاهيم النظرية عن الحلقات و التبولوجيا
تعريف 13.1 : لتكن R حلقة ما. نقول عن عنصر a ∈ R إنّه جامد إذا كان: a2 = a. سنضع Ann(a) = { b ∈ R : ab = 0 } وسنسميها عادمة a. وإذا كانت I مثالية في R فإنّ: Ann(I) = { a ∈ R : ab = 0 ; b ∈ I } ونسميها عادمة I .
مبرهنة 14.1 (المرجع): لتكن I مثالية في حلقة واحدية R عندئذٍ: I عامل مباشر في R ⇔ I مولدة بعنصر جامد
تعريف 15.1 : نقول عن أسرة مجموعات U من فضاء تبولوجي X أنّها منتهية محلياً إذا كان كل x ∈ X يملك مجاورة تتقاطع فقط مع عدد منته من عناصر U .
مبرهنة 16.1 : إذا كانت { A ∋ α : Aα } أسرة منتهية محلياً عندئذٍ: 1) { A ∋ α : α } تكون منتهية محلياً. 2)
مبرهنة 17.1 : إذا كانت u مجموعة جزئية مفتوحة من فضاء تبولوجي X وكانت A ⊆ X عندئذ:
2. § - المثالية Ck(X) في الحلقة C(X)
تعريف 1.2 : سنضع: { f يملك دعامة متراصة في الفضاء X و Ck(X) = { f : f ∈ C(X) أي أنّ Ck(X) هي مجموعة جميع التوابع في C(X) والتي تملك دعامة متراصة.
مبرهنة 2.2 : إذا كان X متراصاً فإنّ Ck(X) = C(X) وإلا فإنّ Ck(X) هي مثالية فعلية في C(X) وفي C*(X) . البرهان: إذا كان X متراصاً فعندئذٍ كل مجموعة جزئية مغلقة منه تكون متراصة, ولذلك فإنّه من أجل كل f ∈ C(X) فإنّ: supp f متراصة. إذاً:
Ck(X) = C(X). - الآن إذا كان X فضاء غير متراص فعندئذً عنصر الواحدة في الحلقة C(X) ليس له دعامة متراصة لأنّ supp 1 = X أي أنّ 1 ∉ Ck(X) وبالتالي Ck(X) فعلية . الآن نبرهن أنّ Ck(X) مثالية من C(X) . ليكن f و g ∈ Ck(X) عندئذ: Z(f) ∩ Z(g) ⊆ Z(f – g) ، وكذلك coz(f – g) ⊆ coz(f) ∪ coz(g) وبالتالي
حيث أنّها متراصة: (لأنّ الاتحاد المنتهي لمجموعات متراصة هو مجموعة متراصة) وهكذا فإنّ: Ck(X) f – g ∈ كون supp(f-g) مجموعة جزئية مغلقة من مجموعة متراصة supp f ∪ supp g - الآن ليكن f ∈ Ck(X) و h ∈ C(X) عندئذٍ: Z(f.g) = Z(f) ∪ Z(g) حيث coz(f h) = coz f ∩ coz h ⊆ coz f وهكذا supp(fh) ⊆ supp f ولذلك تكون متراصة ومن هنا fh ∈ Ck(X) وهكذا Ck(X) مثالية من C(X) . ويتم البرهان إذا أثبتنا بأنّ Ck(X) ⊆ C*(X) : ليكن Ck(X) ∋ f عندئذٍ: f1 = f/supp f يكون تابعاً ذا قيم حقيقية مستمر معرف على مجموعة متراصة.وهكذا f1 محدود إذن f محدود وهكذا Ck(X) ⊆ C*(X) #
مبرهنة 3.2 : المثالية Ck(X) هي Z – مثالية.
البرهان: تبين المبرهنة (2.2) بأنّ Ck(X) مثالية.
لتكن g ∈ C(X) بحيث أنّ Z(g) = Z(f) من أجل أحد العناصر
f ∈ Ck(X) من هنا coz g = coz f ولذلك supp g = supp f متراص وبالتالي g ∈ Ck(X) #
في الأمثلة التالية نميز المثالية Ck(X) في بعض الفضاءات X .
أمثلة 4.2 :
مثال 4.2.1: ليكن R الفضاء الحقيقي مع التبولوجيا العادية { ما عدا على مجموعة محدودة Ck(X) = { f ∈ C(R) : f = 0 هذه صحيحة لأنّ المجموعات المتراصة في R هي المجموعات المحدودة المغلقة. في الواقع نستطيع أن نعمم هذا إلى Ck(Rn) .
مثال 4.2.2: لتكن N مجموعة الأعداد الطبيعية مع التبولوجيا المتقطعة ( المنفصلة ) عندئذٍ: { ما عدا على مجموعة منتهية Ck(N) = { f ∈ C(N) : f = 0 لكون المجموعات متراصة في p - فضاء هي المجموعات المنتهية.
مثال 4.2.3: لتكن Q فضاء الأعداد العادية كمجموعة جزئية من R مع التبولوجيا العادية. {0) = Ck(Q) كون أنّه إذا كان f ∈ C¬k¬(Q) فإنّ supp f مجموعة متراصة في Q ولذلك هي متراصة في R ، وهذا يقتضي أن تكون supp f مجموعة مغلقة في R ولذلك توجد مجموعة مفتوحة u في R بحيث أنّ: coz f = u ∩ Q ⊆ supp f وهكذا فإنّ: ( كونها مغلقة في R) لكن في R ومنه يوجد مجال مفتوح (a ، b) بحيث وهذا يؤدي إلى تناقض إلا إذا كان: Ø = u وهكذا 0 = f ومنه {0} = Ck(Q) .
مبرهنة 5.2 : Ck(X) مثالية فعلية حرة ⇔ X متراص محلياً وليس متراص
(انظر Gillman et - al . 1976 )
البرهان: ⇐ لنفرض أنّ Ck(X) مثالية فعلية حرة, ومنه X ليس متراص وإلا Ck(X) سوف لن يحتوي أي مثالية حرة (Ck(X) فعلية ⇐ X ليس متراص) لتكن x ∈ X ، عندئذٍ يوجد تابع f ∈ Ck(X) بحيث أنّ 0 = f(x) نظراً لكون Ck(X) مثالية حرة وهكذا x ∈ coz f ⊆ supp f التي هي مجاورة متراصة وبالتالي X متراص محلياً. ⇒ لنفرض أنّ X فضاء متراص محليا وليس متراص وعندئذٍ Ck(X) مثالية فعلية من C(X) ولتكن x ∈ X ولتكن u مجاورة مفتوحة لـ x حيث متراصة. الانتظام التام لـ X يقتضي أنّه يوجد f ∈ C(X) بحيث إن: 1 = f(x) و 0 = f(X-u) وهكذا coz f ⊆ u ومنه ⊇ supp f التي هي متراصة. وهكذا f ∈ Ck(X) و x ∈ coz f وهكذا Ck(X) مثالية حرة فعلية # المبرهنة الآتية تعميم لنتيجة في ( Vechtomov 1982 ) التي كانت تشير بدون برهان إلى فضاءات متراصة محلياً.
مبرهنة 6.2 : Ck(X) هو C(X) – مودول حر ⇔ X متراص. البرهان: ⇐ إذا كان X متراص فإن C(X) = Ck(X) هو C(X) – مودول حر. ⇒ كذلك لنفرض أنّ Ck(X) هو C(X) – مودول حر عندئذٍ:
مع هو مودول إيزومورفي لـ C(X)
لأجل كل α ∈ A . إذا كانت x0 ∈ X – supp fα فإنّه توجد g ∈ C(X) بحيث أنّ: 1 = g(x0) و 0 =g(supp fα) ومنه 0 ≠ g و 0 = gfα يعني هذا أنّ g ∈ Ann(fα) وهذا تناقض وهكذا supp fα = X ومنه X متراص لكون fα ∈ Ck(X) .
مبرهنة 7.2 : Ck(X) هي تقاطع جميع المثاليات الحرة في C(X) انظر ( Gellman et – al : 1976 )
البرهان: من أجل كل p ∈ BX –X ، إنّ Op مثالية حرة لكون: {p} = ∩Z[Op] وهكذا تقاطع المثاليات الحرة محتوىً في OBX-X = Ck(X) الآن لتكن: f ∈ Ck(X) ولتكن I أي مثالية حرة من C(X) ومنه لأجل كل مجموعة متراصة A يوجد g ∈ I بحيث أنّ: g ليس له أصفار في A أنظر (Gillman et - al 1976 ) وهكذا توجد g ∈ I بحيث أنّ g ليس له أصفار في supp f يعني هذا أنّ: Supp f ⊆ coz g ولنعرف:
ماعدا ذلك :
عندئذٍ : h ∈ C(X) و I ∋ hg = f ومنه I ⊇ Ck(X) لكل مثالية
حرة I من C(X) وهكذا
مبرهنة 8.2 : Ck(X) هو تقاطع جميع المثاليات الأولية الحرة.
البرهان: ينتج من المبرهنة (7.2) أنّ Ck(X) محتوى في تقاطع جميع المثاليات الأولية الحرة.
الآن إذا كان f ينتمي إلى تقاطع جميع المثاليات الأولية الحرة, عندئذ لأجل كل
p ∈ BX – X ، f ∈ O p . ( أنظر 6.1 و 7.1 والتمهيدية التي تنص على
( أنّ المثالية الأعظمية الحرة لا تحتوي مثالية أولية ثابتة
( أنظر Gillman et - al 1976)).
ومنه وهكذا ينتج من المبرهنة التالية ( من أجل أي فضاء X فإنّ
( انظر Gillman et - al 1976 ))
أنّ f ∈ Ck(X) .
مبرهنة 8.2 : Ck(X) ⊆ I(X) والاحتواء ربما يكون تاماً. حيث I(X) هي المثالية المشكلة من تقاطع كل المثاليات الأعظمية الحرة في C(X) .
البرهان:
وهكذا Ck(X) ⊆ I(X) .
الفصل الثاني
1. § - الفضاء الجزئي XL والمثالية Ck(X) :
تعريف 1.1 : لنرمز بـ XL للفضاء الجزئي المشكل من مجموعة جميع النقط من X والتي تملك مجاورات متراصة. من الواضح أنّ X متراص محلياً ⇔ X = XL .
مبرهنة 2.1 : من أجل كل فضاء X ، فإنّ: . البرهان: إذا كان x ∈ عندئذٍ توجد f ∈ Ck(X) بحيث أنّ: x ∈ coz f وهكذا supp f تكون مجاورة متراصة لـ x وبالتالي: x ∈ XL . بالعكس لنفرض x ∈ KL ولنفرض u مجاورة مفتوحة لـ x بحيث أن تكون متراصة, توجد f ∈ C(X) بحيث أنّ: f(x) = 1 و f(X-u) = 0 وهكذا coz f ⊆ u ، ولذلك ⊇ supp f ومنه x ∈ coz f و f ∈ Ck(X) هذا يعني أنّ x ∈ coz Ck(X) وبالتالي XL = coz Ck(X) #
نتيجة 3.1 : XL هي مجموعة جزئية مفتوحة من X .
البرهان: النتيجة تنتج مباشرة من خلال المبرهنة السابقة لأنّ XL هو اتحاد لمجموعات مفتوحة #
مبرهنة 4.1 : من أجل كل فضاء X فإن XL = .
البرهان: لتكن x ∈ عندئذٍ توجد مجموعة مفتوحة u من BX بحيث أنّ x ∈u ⊆ X إنّ نظامية BX تقتضي أنّه توجد مجموعة مفتوحة V من BX بحيث أنّ u ⊇ x ∈ V ⊆ لكن مجموعة مغلقة في BX وهكذا هي متراصة, وبالتالي مجاورة متراصة لـ x في X ، وهكذا ينتج أنّ: x ∈ XL . إذا كان x ∈ XL عندئذٍ ينتج من المبرهنة 2.3 أنّه يوجد f ∈ Ck(X) بحيث أنّ x ∈ coz f ولكن Ck(X) = OBX – X ∋ f وهذا ناتج من المبرهنة ( المشار إليها في المبرهنة 8.2 ) وهكذا: BX – X ⊆ ⊆ Z( ) وبالتالي ( X – BX) ∪ Z(f) = ) Z( لأنّ ) Z(f) = Z( . وهكذا BX – Z( ) = (BX – Z(f)) ∩ X = X – Z(f ) = coz f لذلك coz f مجموعة مفتوحة في BX وهكذا x ∈ coz f ⊆ وبالتالي = XL #
نتيجة 5.1 : XL فضاء جزئي مفتوح في BX .
نتيجة 6.1 : XL فضاء جزئي متراص محلياً من X .
نتيجة 7.1 : من أجل كل f ∈ Ck(X) ، إنّ coz f مجموعة مفتوحة في X
نتيجة 8.1 : . البرهان: بما أنّ من أجل كل مجموعة جزئية E من X انظر ( Willard 1970 ) وهكذا لكن وبالتالي #
نتيجة 9.1 : {0} = Ck(X) ⇔ BX – X كثيفة في BX ⇔ Ø = XL
البرهان: يعطى البرهان مباشرة من النتيجة 8.3 والمبرهنة التي نأخذها بدون برهان الآتية: إنّ العبارات التالية متكافئة: 1) {0} = C∞(X) وحيث C∞(X) أسرة جميع التوابع f في C(X) التي لأجلها المجموعة { 1/n ≦ |f(x)| : x ∈ X } تكون متراصة من أجل كل n ∈ N ( مثل هذه التوابع تسمى منعدمة عند اللانهاية ) 2) {0} = I(X) . 3) {0} = Ck(X) 4) X لا تحتوي على أي نقطة لها مجاورة متراصة. 5) BX – X كثيفة في BX ( انظر المبرهنة 2.24 في المرجع (1) )
تعريف 10.1 : يدعى الفضاء X محلياً في لا مكان إذا كانت Ø = من أجل جميع المجموعات الجزئية المتراصة K في X . من الواضح أنّ: X متراص محلياً في لا مكان ⇔ Ø = XL
مبرهنة 11.1 : Ck(X) صحيح ( هذا يعني أنّ {0} = Ann Ck(X) ) ⇔ XL كثيف في X
البرهان: لنفرض أنّ XL ليس كثيف في X ولتكن وليكن: f ∈ C(X) بحيث أنّ 1 = f(x) و 0 = ( )f عندئذٍ 0 ≠ f . و f ∈ Ann(Ck(X)) ، لأنّه لأجل كل g ∈ Ck(X) فإنّ: 0 = f(coz g) وهكذا 0 = fg . بالعكس. لنفرض أنّ X = وليكن f ∈ Ann(Ck(X)) عندئذٍ: 0 = f(coz g) لأجل كل g ∈ Ck(X) لكون 0 = f.g وهكذا 0 = f(XL) وبالتالي 0 = f وبالتالي 0 = f لكون X = وهكذا: {0} = Ann(Ck(X)) #
مبرهنة 12.1 : Ck(X) مولّد بعنصر جامد ⇔ XL متراص.
البرهان: لنفرض أنّ (e) = Ck(X) مع e = e2 وهكذا:
عدا ذلك
وبالتالي supp e = coz e متراصة. لأجل كل Ck(X) ∋ f إنّ ge = f من أجل أحد العناصر g ∈ C(X) وهكذا coz f ⊆ coz e لأجل كل: Ck(X) ∋ f وبالتالي coz e = XL متراص.
بالعكس: إذا كان XL متراص عندئذٍ نعرف e(X) بالشكل:
عدا ذلك
عندئذٍ Ck(X) ∋ e و e = e2 لأجل كل Ck(X) ∋ f ، إنّ (e) ∋ fe = f وهكذا (e) = Ck(X) # أمثلة 13.1: في هذه الأمثلة نحسب XL لبعض الفضاءات المعروفة X .
مثال 13.1.1: R = RL ، N = NL ، W = WL لكونها فضاءات متراصة محلياً.
مثال 13.1.2: لتكن [-1 ، 1] = X حيث أنّ جميع النقاط تكون منعزلة ماعدا الصفر {0} يملك مجاورة عادية عندئذٍ {0} – X = XL كثيفة في X . وهكذا {0} = Ann(Ck(X)) في هذه الحالة { ماعدا مجموعة منتهية 0 = f : f ∈ C(X) } = Ck(X) علاوة على ذلك Ck(X) مولّد بعناصر جامدة أي مجموعة التوابع المميزة للنقط في {0} – X .
مثال 13.1.3: لتكن Q = X مع جميع النقاط التي تملك مجاورات عادية ما عدا نقطة الصفر {0} التي هي نقطة منعزلة, عندئذٍ {0} = XL متراصة و (e) = Ck(X) حيث e الدالة المميزة للصفر {0} . { لأجل جميع النقط {0} – X ∋ x 0 = f : f ∈ C(X) } = Ck(X)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. § - نقاء Ck(X)
تعريف 1.2 : نقول عن مثالية I من حلقة R أنّها نقية إذا كان من أجل كل x ∈ I يوجد عنصر y ∈ I بحيث أنّ xy = x من الواضح أنّه إذا كان f ، g ∈ C(X) مع fg = f عندئذٍ 1 = g في supp f . أيضاً إذا كانت I مثالية نقية من حلقة R عندئذٍ: (a) = aR = aI لأجل كل a ∈ I
مبرهنة 2.2 : تكون مثالية I من C(X) نقية ⇔ OA = I لكل مجموعة
مغلقة وحيدة A من BX حيث .
البرهان: المرجع [1] .
مبرهنة 3.2 : ليكن X متراص محلياً عندئذٍ Ck(X) مثالية نقية.
البرهان: إذا كان X متراص محلياً عندئذٍ يكون مجموعة مفتوحة في BX وهكذا BX – X مجموعة جزئية مغلقة في BX ، لكن OBX – X = Ck(X) وهكذا تكون Ck(X) مثالية نقية #
نتيجة 4.2 : المثالية مثالية نقية.
البرهان: برهان النتيجة ينتج مباشرة من النتيجة 5.3 والمبرهنة 2.4 .
نتيجة 5.2 : OA مثالية نقية في C(X) ⇔ .
البرهان: إذا كان عندئذٍ تكون OA مثالية نقية اعتماداً على المبرهنة (2.4) السابقة. بالعكس لنفرض أنّ OA مثالية نقية, واضح أنّ:
لأنّ ⊇ A ، لتكن OA ∋ f عندئذٍ توجد OA ∋ g
بحيث أنّ fg = f وهكذا ، لذلك 1 = على وهكذا:
ومنه يؤدي إلى أنّ:
، ولكن:
A ⊆ لأنّ OA ∋ g ومنه:
وهكذا وهكذا #
تمهيدية 6.2 : إذا كانت I مثالية نقية في C(X) عندئذٍ:
البرهان: واضح أنّ:
الآن إذا كان f ∈ I عندئذٍ توجد g ∈ I بحيث أنّ fg = f وهكذا 1 = g على supp f وهكذا supp f ⊆ coz g ⊆ coz I
ومنه #
تمهيدية 7.2 : لتكن I Z – مثالية محتواة في Ck(X) عندئذٍ تكون العبارات التالية متكافئة: 1) I مثالية نقية.
2)
3)
البرهان: 1 ⇐2 : لنفرض أنّ I مثالية نقية, عندئذٍ ينتج من المبرهنة ( 2.2 ) أنّ OA = I حيث ، وهكذا فإنّ:
لأنّ:
ومنه BX – coz I = A و 2 ⇐3 : ينتج من النتيجة (7.1) أن coz I مجموعة مفتوحة في BX وهكذا BX – coz I مجموعة جزئية مغلقة في BX ومنه I مثالية نقية وهكذا ينتج
من ( التمهيدية 6.2 ) أنّ:
1⇒ 3 : لنفرض أنّ ، لتكن g ∈ I عندئذٍ:
وهكذا لأجل f1 ، f2 ، ... ، fn ∈ I لأنّ supp g متراصة, لتكن عندئذٍ:
h ∈ I و ومنه supp g ⊆ coz h
هكذا توجد k ∈ C(X) بحيث أنّ: k(supp g) = 1
و 0 = k(Z(h)) ومنه gk = g و Z(h) ⊆ Z(k)
لذلك k ∈ I لأنّه Z – مثالية وهكذا I مثالية نقية #
نتيجة 8.2 : تكون العبارات التالية متكافئة: 1) Ck(X) نقية. 2) = Ck(X).
3)
نتيجة 9.2 : Ck(X) مثالية نقية ⇔
البرهان: ينتج مباشرة من النتيجة ( 7.1 ) و النتيجة (8.2 )
نتيجة 10.2 : إذا كان X متراص محلياً عندئذٍ Ck(X) مثالية نقية.
البرهان: إذا كان X متراص محلياً عندئذٍ: #
نتيجة 11.2 : إذا كان X متراص محلياً في لا مكان عندئذٍ Ck(X) نقي.
البرهان: إذا كان X متراص محلياً في لا مكان عندئذٍ {0} = Ck(X) و Ø = XL .
نتيجة 12.2 : إذا كانت I Z – مثالية محتواة في Ck(X) بحيث coz I مجموعة مفتوحة ومغلقة X عندئذٍ I نقية.
البرهان: لتكن f ∈ I عندئذٍ وهكذا ( بحسب 7.2 )
أمثلة 13.2 :
مثال 13.2.1: Ck(R) و Ck(N) و Ck(W) مثاليات نقية, لأنّ كل الفضاءات R ، N ، W متراصة محلياً. مثال 13.2.2: Ck(Q) و Ck(S) و S)×Ck(S تكون مثاليات نقية لأنّ كل الفضاءات Q و S و S × S هي فضاءات متراصة محلياً في لا مكان. مثال 13.2.3: لأجل الفضاء X المعرف في 13.3.2 CR(X) ليس نقي. لتكن f(x) معرف على النحو الآتي:
عدا ذلك ;
عندئذٍ {0}∪ { n ∈ Z* : 1/n} = sup f ، وهكذا
f ∈ CR(X) و supp f ⊈ XL .
مثال 13.2.4: من أجل الفضاء X المعرف في 13.2.3 ، Ck(X) نقية لأنّ {0} = XL هي مفتوحة ومغلقة.
مثال 13.2.5: لتكن X حيث{ 1 ≧ r ≧ -1 or r ∈ Q : r ∈ R} = X مع تبولوجيا الفضاء الجزئي عندئذٍ (-1 ، +1) = XL و {coz f ⊆ (-1 ، +1 ) : f ∈ C(X) } = Ck(X) لتكن g(x) حيث:
عندئذٍ Ck(X) ∋ g ، لكن supp g = [-1 ، +1] ⊈ XL وهكذا Ck(X) ليست نقية.
بعض التطبيقات: في هذا المقطع سنبرهن بعض الخواص لـ Ck(X) عندما تكون نقية مستخدمين الشرط التالي: Ck(X) نقية ⇔ .
تمهيدية 14.2 : إذا كانت I مثالية من C(X) ، عندئذٍ المثاليات الأعظمية هي تماماً المثاليات من الشكل M ∩ I ، حيث M مثالية أعظمية في C(X) و M لا تحوي I .
البرهان: المرجع [1] .
مبرهنة 15.2 : المثاليات الأعظمية في Ck(X) هي من الشكل: Ck(X) ∩ Mx حيث x ∈ XL
البرهان: من أجل كل x ∈ BX – X فإنّ: Mx ⊇ Ox ⊇ Ck(X) وهكذا Ck(X) = Mx ∩ Ck(X) من أجل كل x ∈ X – XL فإنّ: 0 = f(x) لكل Ck(X) ∋ f ولذلك Mx ⊇ Ck(X) . الآن لأجل x ∈ XL توجد f ∈ Ck(X) بحيث أنّ f(x) ≠ 0 . وهكذا Mx - Ck(X) ∋ f ومنه Ck(X) ∩ Mx مثالية أعظمية في Ck(X) اعتماداً على التمهيدية 14.2 #
مبرهنة 16.2 : لنفرض أنّ Ck(X) مثالية نقية. عندئذٍ لأجل كل مثالية فعلية I من Ck(X) ، فإنّ coz I محتواة تماماً في XL
البرهان: لنفرض I مثالية من Ck(X) بحيث أنّ XL = coz I ، ليكن f ∈ Ck(X) نظراً لكون Ck(X) مثالية نقية عندئذٍ:
coz I = XL ⊇ supp f ومنه
حيث fi ∈ I لكل i ، لتكن عندئذٍ g ∈ I
و
لنعرف h(x) بالشكل:
عدا ذلك
عندئذٍ h ∈ C(X) ، لأنّ supp f ⊆ coz g ، إضافة إلى ذلك
I = gh = f ومنه Ck(X) = I تناقض ، هكذا XL = coz I #
ملاحظة 17.2 : لتكن I مثالية من C(X) وليكن: { حيث M مثالية أعظمية من C(X) لا تحوي I : M ∩ I } = BI التطبيق t : BI → Max(C(X)) المعرف بالشكل: t ( I ∩ M ) = M هو هوميومورفيزم إلى الفضاء الجزئي من Max(C(X)) ، بما أنّ Max(C(X)) هوميومورفيزم لـ BX و t (BI ) مفتوحة في Max(C(X)) ، فإنّ BI متراصة محلياً و هاوسدورف. لتكن { MX ⊉ I : x ∈ BX } = μ I عندئذٍ μ I هوميومورفيزمي لـ t (BI ) ( أنظر المرجع [1] )
تمهيدية 18.2 : إذا كان I و J مثاليتان إيزومورفيتان من C(X) عندئذٍ: BI هوميومورفيزمي لـ BJ ( أنظر المرجع [1] ) تمهيدية 19.2 : إذا كان Ck(X) إيزمورفي لـ Ck(Y) عندئذٍ XL هوميمورفي لـ YL .
البرهان: يعتمد مباشرة على ( المبرهنة 15.2 ) و (17.2 ) و ( 18.2 ) لأنّ: (Ck(X))μ = XL هوميومورفي لـ (Ck(X))B # من أجل العكس للتمهيدية السابقة سوف نحتاج لنقاوة Ck(X) و Ck(Y) كما هو موضح في المبرهنة التالية:
مبرهنة 20.2 : لتكن Ck(X) و Ck(Y) مثاليتان نقيتان. إذا كان XL هوميومورفي لـ YL ، عندئذٍ Ck(X) إيزومورفي لـ Ck(Y) .
البرهان: لنفرض YL → XL : φ هوميومورفيزم, لتكن Ck(Y) ∋ f ، عندئذٍ: 0 ≠ (x)φ ○ f1 هذا يعني φ(x) ∈ coz f = y وهكذا coz f ⊇ (φ ○ coz f1)φ إذا كان y ∈ coz f عندئذٍ φ(x) = y من اجل أحد العناصر x ∈ XL عندئذٍ: (coz f )φ-1 ∋ φ-1(y)= x ، وهكذا 0 ≠ (x)φ ○ f1 هذا يعني:
φ ○ coz f1 ∋ x ومنه (φ ○ coz f1)φ ∋ φ(x) = y ، هكذا (φ ○ coz f1)φ = coz f الذي يقتضي أنّ: φ ○ coz f1 = (coz f )φ-1
لذلك:
( لأنّ φ هوميومورفيزم )
( لأنّ supp f ⊆ YL )
ومنه متراصة لأنّ φ-1 هوميومورفيزم وهكذا مجموعة مغلقة في X ، الآن: لنعرف: gf : X → R بالشكل:
عندئذٍ gf ∈ C(X) ، لأنّ: تكون مغلقة في X ، أكثر من ذلك Ck(X) ∋ gf لأنّ لنعرف Ck(X) → Ck(Y) : بالشكل: gf = (f) ليكن Ck(Y) ∋ f ، h ، إذا كانت XL ∋ x عندئذٍ:
إذا كان XL ∌ x عندئذٍ هكذا بشكل مشابه: (f) =(fh) ومنه هومومورفيزم حلقي . الآن لنفرض 0 = (f) عندئذٍ 0 = (x) ○ f1 لأجل كل x ∈ XL هذا يعني: 0 = φ ○ f1 لكن φ-1(coz f) = φ ○ coz f1 هكذا φ-1(coz f) = Ø هذا يعني Ø = coz f ومنه 0 = f وهكذا متباين لتكن f ∈ Ck(X) ، لنعرف g : Y → R بالشكل:
عندئذٍ g ∈ C(Y) ، لأنّ φ(supp f) متراصة ( استخدمنا هنا نقاوة Ck(X) ، لأنّه فرضنا أنّ supp f ⊆ XL ) أكثر من ذلك إذا كان 0 ≠ g(y) عندئذٍ coz f ∋ φ-1(y) وهكذا: coz g ⊆ φ(coz f )
ومنه متراصة. وهكذا supp g متراصة لأنّ
supp g ⊆ YL وهكذا g ∈ Ck(Y)
ما عدا ذلك
f(x) =
هكذا f = (g) ومنه Ck(X) إيزومورفي لـ Ck(Y) #
نتيجة 21.2 : لتكن Ck(X) و Ck(Y) مثاليتان نقيتان عندئذٍ XL هوميومورفي لـ YL إذا وفقط إذا كان Ck(X) إيزومورفي حلقي لـ Ck(Y)
البرهان: ينتج مباشرة من ( التمهيدية 19.2 ) و ( المبرهنة20.2 )
نتيجة 22.2 : إذا كان Ck(X) مثالية نقية عندئذٍ: Ck(X) إيزومورفي لـ Ck(XL ) . البرهان: لنأخذ في (21.2) أنّ XL = Y في الواقع في هذه الحالة كل تابع من Ck(XL ) هو ممدد لتابع من Ck(X) . #
ملاحظات 23.2 : 1) النتيجة السابقة نقول أنّه إذا كانت خاصة حلقة هي صالحة لـ Ck(X) عندما X متراص محلياً عندئذٍ هي صالحة لـ Ck(X) عندما تكون نقية لأنّ XL متراص محلياً و Ck(X) إيزومورفيزم حلقي لـ Ck(XL ) .
2) إذا كانت W تشير إلى مجموعة الأعداد القياسية التي هي أقل من العدد القياسي غير القابل للعدد الأول w1 عندئذٍ C(w) إيزومورفية لـ C(w*) لكن w ليس هوميومرفي لـ w* ، بينما ( كما هو مبين في 4.2.5 ) هو ليس إيزومورفي لـ C(w*) = Ck(w*) .
3) الشرط أنّ Ck(X) نقية في 21.2 و 22.2 لا يلغي جميع الفرق لأنّه إذا كان Ck(X) ليس نقي عندئذٍ لتكن XL = Y ، عندئذٍ Y = YL = XL لكن Ck(X) ليس إيزومورفي لـ Ck(Y) . لأنّ الأخير نقي لأن Y متراص محلياً. #
3. § - متى تكون المثالية C(X) مثالية أولية ؟
تعريف 1.3 : يدعى فضاء X فضاء متراص تقريباً إذا كان BX هو التراص ذو النقطة الواحدة من X ( أي {∞} ∪ X = X* = BX )
مبرهنة 2.3 : إنّ العبارات التالية متكافئة: 1) X فضاء متراص تقريباً. 2) لأجل أي مجموعتين صفريتين غير مترابطتين في X ، على الأقل واحدة تكون متراصة. 3) X ⊆ T يقتضي أنّ BX ⊆ BT . 4) كل طمر من X يكون C – طمر 5) التراص من X هو فقط BX.
أمثلة 3.3 :
مثال 3.3.1: فضاء الأعداد القياسية [ 0 ، w1 ] = W ، مستوي يمكن فوق:
{(w1 ، w0 )} – [0 ، w0 ] × [0 ، w1 ] = T جميعاً تكون فضاءات {(w1 ، w1 )} – [0 ، w1 ] × [0 ، w1 ] = N متراصة تقريباً
( أنظر Gillman et - al 1976 )
مثال 3.3.1: لتكن x0 ∈ BX –X بحيث {x0} ليست نقطة منعزلة عندئذٍ: {x0} – BX = Y تكون فضاء متراص تقريباً و {x0} ∪ Y = BY = BX أنظر المرجع [1] .
مبرهنة 4.3 : Ck(X) مثالية أولية ⇔ X فضاء متراص تقريباً و ∞ تكون BF – نقطة.
البرهان: إذا كانت Ck(X) مثالية أولية عندئذٍ Ck(X) محتواة في مثالية أعظمية وحيدة لكن:
وهكذا 1 = | BX –X |
ومنه {∞} ∪ X = BX ومنه O ∞ = Ck(X) مثالية أولية وهكذا X فضاء متراص تقريباً و ∞ تكون BF - نقطة.
بالعكس: لنفرض بأنّ الشرطين أعلاه محققين عندئذٍ:
O ∞ = OBX – X = Ck(X)
ومنه Ck(X) مثالية أولية لأنّ ∞ تكون BF – نقطة. #
ABSTRACT
Let X be a completely regular T2 space and let C(X) denote the set of all continuous real functions defined on X . then C(X) is a commutative ring with unity where addition and multiplication are defined as follows
(f + g)(x) = f(x) + g(x) (f . g)(x) = f(x) . g(x) for all x ∈ X
In this we studied Ck(X) the ideal of continuous real valued function with compact support in X and we gave some Algebraic properties of this ideal characterized using the subspace XL . the set of all points in X having compact Neighborhoods We showed that
XL =
And the ideal Ck(X) is pure if and only if
as also showed that the ideal
Ck(X) is prime if and only if BX = X* = X ∪ {∞} And ∞ is a BF – point. So we showed the relation between the algebraic and the topological properties.