متسلسلة فورييه

في الرياضيات ، متسلسلة فورييه (/ ˈfʊrieɪ، _ʔiər /)) هي دالة دورية تتكون من جيوب متناغمة ، بالإضافة إلى الجمع الحسابي باستخدام الحسابات المناسبة ، يمكن إجراء دورة واحدة (أو فترة) من الجمع لتقريب دالة اختيارية في تلك الفترة (أو الالدالة بأكملها إذا كانت دورية أيضًا). على هذا النحو ، يعد الجمع توليفًا لدالة أخرى. يعد تحويل الوقت المنفصل لفورييه مثالاً على متسلسلة فوريير. عملية اشتقاق الحسابات التي تصف دالة معينة هي شكل من أشكال تحليل فورييه. بالنسبة للدوال 6 على فترات غير محدودة ، فإن التحليل ومقارنة المجماميع هي تحويل فورييه والتحويل العكسي.

الدالة $s(x)$ (باللون الأحمر) هي مجموع ست دوال جيبية ذات سعة مختلفة وترددات متناغمة. ويسمى جمعهم متسلسلة فورييه. يكشف تحويل فورييه , $S(f)$ (باللون الأزرق) ، الذي يصور الاتساع مقابل التردد ، 6 ترددات (في التوافقيات الفردية) وسعاتها (1 / عدد فردي)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 التاريخ

انظر أيضاً: تحليل فورييه § التاريخ

تم تسمية متسلسلة فورييه تكريمًا لجان باتيست جوزيف فورييه (1768-1830)، الذي قدم مساهمات مهمة في دراسة المتسلسلات المثلثية، بعد التحقيقات الأولية التي قام بها ليونارد أويلر وجان لرون دالمبير ودانيال برنولي. قدم فورييه المتسلسلة لغرض حل معادلة الحرارة في لوحة معدنية ، ونشر نتائجه الأولية في كتابه الصادر في 1807 بعنوان Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (مقالة في انتشار الحرارة في الأجسام الصلبة)، ونشر كتابه Théorie analytique de la chaleur (النظرية التحليلية للحرارة) في عام 1822. قدم Mémoire تحليل فورييه ، تحديدًا متسلسلة فورييه. من خلال بحث فورييه ، ثبت أن الدالة الاختيارية (المستمرة) يمكن تمثيلها بمتسلسلة مثلثية. تم الإعلان الأول عن هذا الاكتشاف العظيم من قبل فورييه في عام 1807، في الأكاديمية الفرنسية تعود الأفكار المبكرة لتفكيك دالة دورية إلى مجموع دوال تذبذب بسيط إلى القرن الثالث ق.م.، عندما اقترح علماء الفلك القدماء نموذجًا تجريبيًا لحركات الكواكب، استنادًا إلى الفلك الحامل وفلك التدوير.

المعادلة الحرارية هي معادلة تفاضلية جزئية. قبل عمل فورييه، لم يكن هناك حل لمعادلة الحرارة معروفًا في الحالة العامة، على الرغم من أن حلولًا معينة كانت معروفة إذا تصرف مصدر الحرارة بطريقة بسيطة، وخصوصاً، إذا كان مصدر الحرارة عبارة عن موجة جيبية أو جيب التمام. تسمى هذه الحلول البسيطة أحيانًا في بعض الأحيان باسم الحلول الذاتية. كانت فكرة فورييه هي نمذجة مصدر حراري معقد على أنه تراكب (أو تركيبة خطية) من موجات الجيب وجيب التمام البسيطة، وكتابة الحل كتراكب لحالات الحلول الذاتية المقابلة. فكرة فورييه كانت نمذجة مصدر حراري معقد كتراكب (أو تجميع خطي) لموجات جيبية وتمام جيبية بسيطة، وكتابة حل كتراكب للحلول الذاتية المناظرة. هذا التراكب أو التجميع الخطي يسمى متسلسلة فورييه.

من وجهة نظر حديثة ، فإن نتائج فورييه غير رسمية إلى حد ما ، بسبب الافتقار إلى مفهوم دقيق للدالة والتكامل في أوائل القرن التاسع عشر. في وقت لاحق ، عبر يوهان پيتر گوستاف لجون ديريكله وبرنارد ريمان عن نتائج فورييه بدقة أكبر وشكلية.

على الرغم من أن الدافع الأصلي كان حل معادلة الحرارة ، إلا أنه أصبح من الواضح لاحقًا أنه يمكن تطبيق نفس التقنيات على مجموعة واسعة من المشاكل الرياضية والفيزيائية، وخاصة تلك التي تتضمن معادلات تفاضلية خطية ذات معاملات ثابتة ، والتي تكون فيها الحلول الذاتية هي موجات جيبية. ولمتسلسلة فورييه العديد التطبيقات في الهندسة الكهربائية، وتحليل الاهتزاز، والصوتيات، والبصريات، ومعالجة الإشارات، ومعالجة الصور ، وميكانيكا الكم، والاقتصاد القياسي، ونظرية القشرة رقيقة الجدران، وما إلى ذلك.

 تعريف

بفرض ان للدالة قيمة حقيقية, $s(x)$,   ، قابلة للتكامل على فترة زمنية $P$، والتي ستكون فترة متسلسلة فورييه. الأمثلة الشائعة لفترات التحليل هي:

$x\in [0,1],$ and $P=1.$

$x\in [-\pi ,\pi ],$ and $P=2\pi .$

تحدد عملية التحليل الحسابات ، معرفة بعدد صحيح $n$, وهو أيضا عدد دورات ال $n^{\text{th}}$متناسقة في فترة التحليل. لذلك ، طول الدورة ، بوحدات $x$, . والتردد التوافقي المقابل هو$P/n$. $n^{th}$التوافقيات هي $\sin \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)$ و $\cos \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)$,، ويتم العثور على اتساعها (الحسابات) عن طريق التكامل على مدى الطول

$P$:

معاملات فورييه

${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)\,dx\\b_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)\,dx.\end{aligned}}$

(Eq.1)

• إذا $s(x)$ يكون$P$- بشكل دوري ، فإن أي فاصل من هذا الطول يكفي.
• $a_{0}$و $b_{0}$ يمكن تخفيضها إلى $a_{0}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\,dx$ و $b_{0}=0$.
• تختار العديد من النصوص $P=2\pi$ لتبسيط برهان الدوال الجيبية.

عملية التوليف (متسلسلة فورييه الفعلية) هي:

سلسلة فورييه ، شكل جيب التمام

${\begin{aligned}s_{N}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)+b_{n}\sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\right).\end{aligned}}$

(Eq.2)

بشكل عام ، عدد صحيح $N$   غير محدود نظريا. ومع ذلك ، قد لا تتلاقى المتسلسلة أو تساويها تمامًا $s(x)$   في جميع قيم$x$(مثل انقطاع نقطة واحدة) في فترة التحليل. بالنسبة للدوال "حسنة التصرف" النموذجية للعمليات الفيزيائية ، يتم افتراض المساواة عادة.

إذا كانت $s(t)$ هي دالة موجودة في فاصل زمني بطول $P$ (وصفر في مكان آخر) ، فإن الربع العلوي الأيمن هو مثال على معاملات متسلسلة فورييه ($A_{n}$)قد تبدو عند رسمها مقابل الترددات التوافقية المقابلة لها. الربع العلوي الأيسر هو تحويل فورييه المقابل لـ $s(t).$ إن مجموع متسلسلة فورييه (غير معروضة)تركب تجميعًا دوريًا لـ $s(t),$   في حين أن تحويل فورييه المعكوس (غير موضح) يتولف فقط $s(t).$

باستخدام متطابقة مثلثية:

$A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \underbrace {A_{n}\cos(\varphi _{n})} _{a_{n}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)+\underbrace {A_{n}\sin(\varphi _{n})} _{b_{n}}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right),$

والتعاريف$A_{n}\triangleq {\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$ و $\varphi _{n}\triangleq \operatorname {arctan2} (b_{n},a_{n})$, ، يمكن التعبير عن أزواج الجيب وجيب التمام كجيبي واحد مع إزاحة طور ، مماثلة للتحويل بين الإحداثيات المتعامدة (الديكارتية) والإحداثيات القطبية:

سلسلة فورييه ، شكل طور السعة

$s_{N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right).$

(Eq.3)

النموذج المألوف للتعميم على القيمة المعقدة $s(x)$ (يتم الحصول على القسم التالي) باستخدام معادلة أويلر لتقسيم دالة جيب التمام إلى الأسس المعقدة. هنا ، يُشار إلى الاقتران المعقد بعلامة النجمة:

${\begin{array}{lll}\cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)}&{}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)}\\&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi (+n)x}{P}}}&{}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi (-n)x}{P}}}.\end{array}}$

لذلك ، مع الاثباتات:

$c_{n}\triangleq \left\{{\begin{array}{lll}A_{0}/2&=a_{0}/2,\quad &n=0\\{\tfrac {A_{n}}{2}}e^{-i\varphi _{n}}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n}),\quad &n>0\\c_{|n|}^{*},\quad &&n<0\end{array}}\right\}\quad =\quad {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx,$

النتيجة النهائية هي:

Fourier series, exponential form

$s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}.$

(Eq.4)

 دوال ذات قيمة معقدة

إذا $s(x)$ هي دالة ذات قيمة معقدة لمتغير حقيقي $x,$ كلا المكونين (الجزء الحقيقي والخيالي) دوال ذات قيمة حقيقية يمكن تمثيلها بمتسلسلة فورييه. مجموعتا المعامِلات والمجموع الجزئي معطاة بواسطة:

$c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx$     and     $c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx$

$s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}+i\cdot \sum _{n=-N}^{N}c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}=\sum _{n=-N}^{N}\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}.$

اثبات $c_{n}\triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}$ عائدات:

$s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}.$

(Eq.5)

هذا مطابق لـ معادلة 4 باستثناء $c_{n}$ و $c_{-n}$   لم تعد اتحادات معقدة. معادلة $c_{n}$ كما هو دون تغيير:

${\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx+i\cdot {\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\\[4pt]&={\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\operatorname {Re} \{s(x)\}+i\cdot \operatorname {Im} \{s(x)\}\right)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\ =\ {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx.\end{aligned}}$

 الرموز الشائعة الأخرى

التدوين $c_{n}$ غير كافية لمناقشة معاملات فورييه للعديد من الدوال المختلفة لذلك ، يتم استبداله عادة بشكل معدل من الدالة ($s$, ، في هذه الحالة) ، مثل ${\hat {s}}(n)$ or $S[n]$,   ، وغالبًا ما يستبدل الترميز الدالي البرمجة الفرعية:

${\begin{aligned}s_{\infty }(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}(n)\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{j\,2\pi nx/P}&&\scriptstyle {\mathsf {common\ engineering\ notation}}\end{aligned}}$

في الهندسة خاصة عند المتغير $x$يمثل الوقت ، يسمى تسلسل المعامل تمثيل مجال التردد. غالبًا ما يتم استخدام الأقواس المربعة للتأكيد على أن مجال هذه الالدالة هو مجموعة منفصلة من الترددات.

يستخدم تمثيل مجال تردد آخر شائع الاستخدام معاملات متسلسلة فورييه لتعديل مشط ديراك:

$S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),$

حيث تمثل $f$مجال تردد مستمر. عندما يكون للمتغير $x$ وحدات من الثواني $f$ لديها وحدات هيرتز .يتم تباعد "أسنان" المشط بمضاعفات (أي التوافقيات) من $1/P$, وهو ما يسمى التردد الأساسي.  $s_{\infty }(x)$ يمكن استردادها من هذا التمثيل عن طريق تحويل فورييه معكوس:

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}$

الدالة المبنية $S(f)$ لذلك يُشار عادةً إلى تحويل فورييه ، على الرغم من أن تكامل فورييه للدالة الدورية غير متقارب عند الترددات التوافقية.

.

• 

  أول أربعة مجاميع جزئية من متسلسلة فورييه لـ موجة مربعة

• 

 التقارب

المقالة الرئيسية: متسلسلة تقارب فورييه

، ثم تتقارب متسلسلة فورييه إلى الالدالة في كل نقطة تقريبًا. يعتمد تقارب متسلسلة فورييه أيضًا على العدد المحدود من القيم القصوى والصغرى في دالة معروفة شعبياً كواحدة من حالة دريكليه لمتسلسلة فورييه. انظر متسلسلة تقارب فورييه. من الممكن تحديد معاملات فورييه لدوال أو توزيعات أكثر عمومية ، في مثل هذه الحالات يكون التقارب في المعيار أو التقارب الضعيف مفيدًا عادةً.في التطبيقات الهندسية ، يُفترض عمومًا أن متسلسلة فورييه تتلاقى في كل مكان باستثناء فترات التوقف ، لأن الدوال التي تمت مواجهتها في الهندسة يتم التصرف بها بشكل جيد أكثر من تلك التي يمكن أن يقدمها علماء الرياضيات كأمثلة مضادة لهذا الافتراض. على وجه الخصوص ، إذا كانت s متواصلة وكان مشتق $s(x)$ ( (الذي قد لا يكون موجودًا في كل مكان) قابلاً للتكامل المربع ، فإن متسلسلة فورييه من $s$ تتقارب تمامًا وبشكل موحد إلى.  إذا كانت الدالة قابلة للتكامل المربع في الفترة الزمنية $[x_{0},x_{0}+P]$,ثم تتقارب متسلسلة فورييه إلى الدالة في كل نقطة تقريبًا. يعتمد تقارب متسلسلة فورييه أيضًا على العدد المحدود من القيم القصوى والصغرى في دالة معروفة شعبياً كواحدة من حالة دريكليه لمتسلسلة فورييه. انظر متسلسلة تقارب فورييه. من الممكن تحديد معاملات فورييه لدوال أو توزيعات أكثر عمومية ، في مثل هذه الحالات يكون التقارب في المعيار أو التقارب الضعيف مفيدًا عادةً.

• 

  أربع مجاميع جزئية (سلسلة فورييه) بأطوال 1 و 2 و 3 و 4 حدود. إظهار كيف يتحسن التقريب لموجة مربعة كلما زاد عدد الحدود. (يمكن رؤية الرسوم المتحركة التفاعلية هنا) here)

• 

  أربع مجاميع جزئية (سلسلة فورييه) بأطوال 1 و 2 و 3 و 4 حدود. يوضح كيف أن التقريب لموجة سن المنشار يتحسن مع زيادة عدد الحدود.

• 

  مثال على التقارب إلى دالة اختيارية إلى حد ما. لاحظ تطور "الرنين" (ظاهرة جيبس) عند الانتقال من / إلى الأقسام العمودية.

 أمثلة

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 مثال 1: متسلسلة فورييه بسيطة

رسم لموجة سن المنشار ، اتصال دوري للدالة الخطية $s(x)=x/\pi$ في الفترة الزمنية $(-\pi ,\pi ]$

رسمة بيانية متحركة من أول خمس متسلسلات متتالية فورييه

نستخدم الآن المعادلة أعلاه لإعطاء توسيع متسلسلة فورييه لدالة بسيطة للغاية. فكر في موجة سن المنشار

$s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,$

$s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .$

في هذه الحالة ، يتم إعطاء معاملات فورييه بواسطة

${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}$

يمكن أن يثبت أن متسلسلة فورييه تتلاقى $s(x)$ في كل نقطة $x$ حيث ان $s$ قابل للتمييز ، وبالتالي:

${\begin{aligned}s(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbb {Z} .\end{aligned}}$

(Eq.7)

عندما $x=\pi$, تتقارب متسلسلة فورييه إلى 0, وهو نصف مجموع الحد الأيمن والأيسر لـ s عند $x=\pi$. هذا هو مثال خاص لنظرية دريكليه لمتسلسلة فورييه.

توزيع الحرارة في صفيحة معدنية باستخدام طريقة فورييه

يقودنا هذا المثال إلى حل لمشكلة بازل.

 مثال 2: دافع فورييه

يبدو توسيع متسلسلة فورييه لدالتنا في المثال 1 أكثر تعقيدًا من المعادلة البسيطة $s(x)=x/\pi$, لذلك ليس من الواضح على الفور لماذا يحتاج المرء إلى متسلسلة فورييه. في حين أن هناك العديد من التطبيقات ، كان دافع فورييه في حل معادلة الحرارة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك لوحة معدنية على شكل مربع يقيس جانبه $\pi$ مترًا ، مع إحداثيات $(x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]$. إذا لم يكن هناك مصدر حرارة داخل اللوحة, a وإذا تم الاحتفاظ بثلاثة من الجوانب الأربعة عند 0 درجة مئوية , في حين جانب الرابع ، المعطى بواسطة $y=\pi$, عند درجة حرارة التدرج$T(x,\pi )=x$ درجة مئوية,بالنسبة إلى $x$ في $(0,\pi )$, يمكن للمرء أن يثبت أن توزيع الحرارة الثابت (أو توزيع الحرارة بعد انقضاء فترة زمنية طويلة) المعطي بواسطة:

$T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.$

هنا sinh هي دالة الجيب الزائدية. يتم الحصول على حل معادلة الحرارة بضرب كل حد لمعادلة 7 $\sinh(ny)/\sinh(n\pi )$. في حين يبدو أن دالة مثالنا$s(x)$ تحتوي على متسلسلة فورييه معقدة بدون داع ، فإن توزيع الحرارة $T(x,y)$ غير بديهي. لا يمكن كتابة الدالة . لا يمكن كتابة الدالة $T$ تعبير مغلق الشكل.هذه الطريقة في حل مشكلة الحرارة أصبحت ممكنة بفضل عمل فورييه.

 تطبيقات أخرى

تطبيق آخر لمتسلسلة فورييه هو حل مشكلة بازل باستخدام نظرية بارسيفال. يعمم المثال ويمكن للمرء حساب (ζ(2n), لأي عدد صحيح موجب n.

 البدايات

كتب جوزيف فورييه: ^{[محل شك]}

$\varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .$

ضرب الطرفين في $\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}$, ثم التكامل من $y=-1$ to $y=+1$ yields:

$a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.$

— جوزيف فورييه، الذاكرة على انتشار الحرارة في الأجسام الصلبة. (1807)

يعطي هذا على الفور أي معامل a_k من المتسلسلة المثلثية (φ(y) لأي دالة لها مثل هذا التوسع. يعمل لأنه إذا كان φ لديه مثل هذا التوسع ، فعندئذٍ (تحت افتراضات التقارب المناسبة) التكامل

${\begin{aligned}a_{k}&=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}$

يمكن أن يتم حلها كل على حدة. ولكن جميع الأطراف التي تنطوي عليها $\cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}$ بالنسبة إلى j ≠ k تختفي عند التكامل من −1 إلى 1 تاركًا الحد kth فقط.

في هذه الأسطر القليلة ، التي هي قريبة من الشكلية الحديثة المستخدمة في متسلسلة فورييه ، أحدث فورييه ثورة في الرياضيات والفيزياء. على الرغم من أن متسلسلة المثلثات المماثلة كانت تستخدم من قبل أويلر ، دالمبرت ، دانيال برنولي وغاوس ، يعتقد فورييه أن هذه المتسلسلة المثلثية يمكن أن تمثل أي دالة اختيارية. بمعنى أن هذا صحيح في الواقع هو قضية خفية إلى حد ما وقد أدت المحاولات على مدى سنوات عديدة لتوضيح هذه الفكرة إلى اكتشافات مهمة في نظريات التقارب ومساحات الدوال والتحليل التوافقي.

عندما قدم فورييه مقالة منافسة لاحقة في عام 1811 ، استنتجت اللجنة (التي تضمنت لاغرانج و لابلاس ومالوس وليجندر ، من بين آخرين): . الطريقة التي يصل بها المؤلف إلى هذه المعادلات ليست معفاة من الصعوبات و . تحليله لدمجها لا يزال يترك شيء ما مرغوب فيه على درجة العمومية وحتى أكثر صرامة. ^{[بحاجة لمصدر]}

 نشأة التحليل التوافقي

منذ وقت فورييه ، تم اكتشاف العديد من الأساليب المختلفة لتحديد وفهم مفهوم متسلسلة فورييه ، وكلها تتسق مع بعضها البعض ، ولكن كل منها يؤكد على جوانب مختلفة من الموضوع. تستند بعض المقاربات الأكثر قوة وأناقة على الأفكار والأدوات الرياضية التي لم تكن متاحة في الوقت الذي أكمل فيه فورييه عمله الأصلي. حدد فورييه في الأصل متسلسلة فورييه للدوال ذات القيمة الحقيقية للدوال الحقيقية ، واستخدم دالات الجيب وجيب التمام كأساس للتحليل.

تم اثبات العديد من التحويلات الأخرى ذات الصلة بـ فورييه منذ ذلك الحين ، لتوسيع الفكرة الأولية لتطبيقات أخرى. يُطلق على هذا المجال العام من البحث أحيانًا اسم التحليل التوافقي. ومع ذلك ، لا يمكن استخدام متسلسلة فورييه إلا للدوال الدورية ، أو للدوال على فترة زمنية محدد (مضغوط).

 ملحقات

 متسلسلة فورييه على مربع

يمكننا أيضًا تحديد متسلسلة فورييه لدوال متغيرين $x$ و $y$ في المربع $[-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]$:

${\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\,\in \,\mathbb {Z} {\text{ (integers)}}}c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={1 \over 4\pi ^{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}$

بصرف النظر عن كونه مفيدًا في حل المعادلات التفاضلية الجزئية مثل معادلة الحرارة ، فإن أحد التطبيقات البارزة لمتسلسلة فورييه على المربع هو في ضغط الصورة. على وجه الخصوص ، يستخدم معيار ضغط الصورة jpeg تحويل جيب التمام المنفصل ثنائي الأبعاد ، وهو تحويل فورييه باستخدام دوال أساس جيب التمام.

 متسلسلة فورييه من دالة - براڤيه شبكية دورية

يتم اثبات شبكة براڤيه ثلاثية الأبعاد على أنها مجموعة متجهات الشكل:

$\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$

حيث $n_{i}$ هي أعداد صحيحةو $\mathbf {a} _{i}$   هي ثلاث متجهات مستقلة خطيا. بافتراض أن لدينا بعض الدوال ،, $f(\mathbf {r} )$, s  ، بحيث يطيع الشرط التالي لأي متجه براڤيه شبكية $\mathbf {R} :f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )$  ، يمكننا عمل متسلسلة منه. يمكن أن يكون هذا النوع من الدوال ، على سبيل المثال ، الجهد الفعال التي يشعر بها إلكترون داخل بلورة دورية. من المفيد عمل متسلسلة فورييه من الجهود عند تطبيق نظرية بلوخ. أولاً ، قد نكتب أي متجه شبكي:

$\mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},$

حيث $a_{i}\triangleq |\mathbf {a} _{i}|.$

وبالتالي يمكننا تحديد دالة جديدة ،

$g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).$

هذه الدالة الجديدة , $g(x_{1},x_{2},x_{3})$,   ، هي الآن دالة لثلاثة متغيرات ، لكل منها دورية a₁, a₂, a₃ على التوالي:

$g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3}).$

إذا كتبنا متسلسلة لـ g على الفترة الزمنية [0, a₁] لـx₁, مكننا تحديد ما يلي::

$h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\triangleq {\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\,dx_{1}$

ثم نكتب:

$g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}$

مزيد من الأيضاح:

${\begin{aligned}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\,dx_{2}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}\right)}\end{aligned}}$

يمكننا الكتابة $g$مرة أخرى مثل:

$g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}$

وأخيرًا بتطبيق نفس الإحداثي الثالث ، نحدد:

${\begin{aligned}h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\frac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}\,dx_{3}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\frac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}}$

نكتب $g$ مثل:

$g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{3}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}$

إعادة ترتيب:

$g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi \left({\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\frac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.$

الآن ، يمكن كتابة كل متجه شبكي متبادل باسم $\mathbf {G} =\ell _{1}\mathbf {g} _{1}+\ell _{2}\mathbf {g} _{2}+\ell _{3}\mathbf {g} _{3}$, حيث $l_{i}$ هي أعداد صحيحة و $\mathbf {g} _{i}$ a  هي متجهات شبكية متبادلة، يمكننا استخدام حقيقة ذلك $\mathbf {g_{i}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{ij}$   لحساب ذلك لأي متجهات شبكية متبادلة اختيارية $\mathbf {G}$   والمتجه الاختياري في الفضاء $\mathbf {r}$, ضربهم القياسي هو:

$\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} =\left(\ell _{1}\mathbf {g} _{1}+\ell _{2}\mathbf {g} _{2}+\ell _{3}\mathbf {g} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {\ell _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\ell _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\ell _{3}}{a_{3}}}\right).$

وهكذا من الواضح أنه في توسعنا ، يكون المجموع في الواقع فوق متجهات شبكية متبادلة:

$f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }h(\mathbf {G} )\cdot e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} },$

حيث

$h(\mathbf {G} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }.$

بفرض

$\mathbf {r} =(x,y,z)=x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},$

يمكننا حل هذا النظام من ثلاث معادلات خطية $x$, $y$, و$z$ فى الحدود $x_{1}$, $x_{2}$ و$x_{3}$من أجل حساب عنصر الحجم في نظام الإحداثيات الديكارتية الأصلي. بمجرد أن يكون لدينا $x$, $y$, و $z$ في حدود من $x_{1}$, $x_{2}$ و $x_{3}$,   ، يمكننا حساب المحدد اليعقوبي:

${\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial z}}\end{vmatrix}}$

والتي بعد إجراء بعض الحسابات وتطبيق بعض الأثباتات غير البسيطة للضرب الأتجاهي يمكن أن تكون مساوية لـ:

${\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}$

((قد يكون من المفيد تبسيط الحسابات ، للعمل في نظام إحداثيات ديكارتية ، حيث يحدث ذلك عندما يكون $\mathbf {a_{1}}$ موازية للمحور x ،, $\mathbf {a_{2}}$ يكمن في مستوىx-y, , $\mathbf {a_{3}}$تحتوي على مكونات من المحاور الثلاثة). المقام هو بالضبط حجم خلية الوحدة البدائية التي تحيط بها ناقلات البدائية الثلاثة

$\mathbf {a_{1}}$, $\mathbf {a_{2}}$ ,و $\mathbf {a_{3}}$. على وجه الخصوص ، نحن نعرف ذلك الآن

$dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}={\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}\cdot dx\,dy\,dz.$

يمكننا الكتابة الآن$h(\mathbf {K} )$   كاتكامل من نظام الإحداثيات التقليدية على حجم الخلية البدائية ، بدلاً من متغيرات$x_{1}$, $x_{2}$ و $x_{3}$ :

$h(\mathbf {G} )={\frac {1}{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}\int _{C}d\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }$

و $C$ هي خلية الوحدة الأولية ، وبالتالي, $\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )$ هو حجم خلية الوحدة الأولية.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 تفسير فضاء هلبرت

المقالة الرئيسية: فضاء هلبرت

بلغة فضاءات هلبرت، فإن فئة الدوال $\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \}$ هو أساس متعامد للفضاء $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ من دوال اقبلة للتكامل تربيعيا في $[-\pi ,\pi ]$. This space is  . هذا الفضاء هو في الواقع فضاء هلبرت مع ضرب داخلي معطى لأي عنصرين$f$ و$g$ بواسطة:

$\langle f,\,g\rangle \;\triangleq \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx.$

يمكن كتابة نتيجة متسلسلة فوريير الأساسية لفضائات هيلبرت على النحو التالي

$f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.$

تشكل الجيوب وجيوب التمام مجموعة متعامدة ، كما هو موضح أعلاه. تكامل الجيب وجيب التمام وضربهما يساوي صفرًا (تتساوى المساحات الخضراء والحمراء ، ويتم إلغاؤها) عندما تكون $m$,او $n$ أو الدوال مختلفة ، و pi فقط إذا $m$ و $n$ متساويان والدالة المستخدمة هي نفسها.

هذا يتوافق تمامًا مع المعادلة الأسية المعقدة الموضحة أعلاه. النسخة مع الجيب وجيب التمام لها ما يبررها أيضا مع تفسير فضاء هيلبرت. في الواقع ، تشكل الجيوب وجيب التمام مجموعة متعامدة:

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,\,$

$\int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1$

حيث( δmn هي دلتا كرونيكر) ، و

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;\,$

علاوة على ذلك ، تكون الجيب وجيب التمام متعامدة مع الدالة الثابتة $1$. أساس متعامد ل$L^{2}([-\pi ,\pi ])$  تتكون من دوال حقيقية من الدوال $1$ و${\sqrt {2}}\cos(nx)$, ${\sqrt {2}}\sin(nx)$ مع n = 1, 2,.  كثافة امتدادها هي نتيجة نظرية ستون فايرشتراس ، ولكنها تتبع أيضًا خصائص النواة الكلاسيكية مثل نواة فيجر.

 الخصائص

 جدول الخصائص الأساسية

يوضح هذا الجدول بعض العمليات الحسابية في المجال الزمني والتأثير المقابل في معاملات متسلسلة فورييه. الرموز:

• $z^{*}$هو مرافق مركب ل $z$.
• $f(x),g(x)$ يحدد $P$-  تعريف الدوال الدورية فى $0<x\leq P$.
• $F[n],G[n]$تحديد معاملات متسلسلة فورييه (الشكل الأسي) من$f$و $g$كما هو محدد في Eq.5.

الخاصية	المجال الزمني	مجال التردد (الشكل الأسي)	ملاحظات	مرجع
الخطية	$a\cdot f(x)+b\cdot g(x)$	$a\cdot F[n]+b\cdot G[n]$	ارقام مركبة $a,b$
الزمن المعكوس‏ /التردد المعكوس	$f(-x)$	$F[-n]$		:p. 610
ترافق الوقت	$f(x)^{*}$	$F[-n]^{*}$		:p. 610
ترافق /انعكاس الوقت	$f(-x)^{*}$	$F[n]^{*}$
الجزء حقيقي في الوقت	$\operatorname {Re} {(f(x))}$	${\frac {1}{2}}(F[n]+F[-n]^{*})$
الجزء التخيلي في الوقت	$\operatorname {Im} {(f(x))}$	${\frac {1}{2i}}(F[n]-F[-n]^{*})$
الجزء حقيقي في التردد	${\frac {1}{2}}(f(x)+f(-x)^{*})$	$\operatorname {Re} {(F[n])}$
الجزء التخيلي في التردد	${\frac {1}{2i}}(f(x)-f(-x)^{*})$	$\operatorname {Im} {(F[n])}$
الأزاحة في الوقت / التعديل في التردد	$f(x-x_{0})$	$F[n]\cdot e^{-i{\frac {2\pi x_{0}}{T}}n}$	عدد حقيقي $x_{0}$	:p. 610
الأزاحة في التردد / التعديل في الوقت	$f(x)\cdot e^{i{\frac {2\pi n_{0}}{T}}x}$	$F[n-n_{0}]\!$	عدد صحيح $n_{0}$	:p. 610

 خصائص التماثل

عندما تتحلل الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة المعقدة إلى الأجزاء الزوجية والفردية ، فهناك أربعة مكونات ، يشار إليها أدناه من خلال RE ، RO ، IE ، و IO. وهناك تعيين واحد لواحد بين المكونات الأربعة لدالة الوقت المعقدة والمكونات الأربعة لتحويل التردد المعقد:

${\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&f&=&f_{_{\text{RE}}}&+&f_{_{\text{RO}}}&+&if_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ f_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&F&=&F_{RE}&+&\overbrace {i\ F_{IO}} &+&i\ F_{IE}&+&F_{RO}\end{array}}$

من هذا ، تظهر علاقات مختلفة ، على سبيل المثال:

• ان التحويل للدالة ذات قيمة حقيقية (f_RE+ f_RO)هو الدالة المتماثلة F_RE+ i F_IO. على العكس من ذلك ، فإن التحويل المتماثل ينطوي على مجال زمني ذو قيمة حقيقية.
• إن التحويل للدالة ذات قيمة تخيلية (i f_IE+ i f_IO) هو دالة متماثلة فردية F_RO+ i F_IE, والعكس صحيح.
• ان التحويل للدالة الزوجية المتماثلة (f_RE+ i f_IO)هو دالة ذات قيمة حقيقية F_RE+ F_RO, والعكس صحيح.
• ان التحويل للدالة المتماثلة الفردية(f_RO+ i f_IE) هو دالة ذات قيمة خيالية i F_IE+ i F_IO, والعكس صحيح.

 مأخوذة ريمان-لبگ

إذا كان $f$ قابلاً للتكامل ، فإن $\lim _{|n|\rightarrow \infty }{\hat {f}}(n)=0$, $\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0$ و $\lim _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=0.$ وتُعرَف هذه النتيجة باسم مأخوذة ريمان-لبگ.

 خاصية المشتقة

نقول أن $f$ تنتمي إلى $C^{k}(\mathbb {T} )$ إذا كانت $f$ هي دالة دورية في 2π في $\mathbb {R}$ التي هي قابلة للتفاضل لعدد $k$ مرات، ومشتقتها من الدرجة k تكون متصلة.

• إذا كان $f\in C^{1}(\mathbb {T} )$ ، فإن معاملات فورييه ${\widehat {f'}}(n)$ للمشتقة $f'$ يمكن التعبير عنها بدلالة معاملات فورييه ${\widehat {f}}(n)$ للدالة $f$ ، من خلال الصيغة ${\widehat {f'}}(n)=in{\widehat {f}}(n)$.
• إذا كانت $f\in C^{k}(\mathbb {T} )$ ، فإن ${\widehat {f^{(k)}}}(n)=(in)^{k}{\widehat {f}}(n)$. وخصوصاً، لما كان ${\widehat {f^{(k)}}}(n)$ يؤول إلى الصفر، فلدينا $|n|^{k}{\widehat {f}}(n)$ تؤول إلى الصفر، وهو ما يعني أن معاملات فورييه تتقارب إلى الصفر بنحو أسرع الأس k للمتغير n.

 مبرهنة پارسيڤال

أذا $f$ ينتمي الي $L^{2}([-\pi ,\pi ])$، فإن $\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx$.

 مبرهنة پلانشرل

اذا كانت $c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots$ هي معاملات و $\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty$ فإنه يوجد دالة فريدة $f\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ بحيث ${\hat {f}}(n)=c_{n}$ لكل $n$.

 مبرهنات الالتفاف

• تنص نظرية الالتفاف الأولى على أنه إذا كان $f$ و $g$ هما في $L^{1}([-\pi ,\pi ])$ ، فإن معاملات متسلسلة فورييه للالتفاف الدوري 2π لكل من $f$ و $g$ تعطيهم:

$[{\widehat {f*_{2\pi }g}}](n)=2\pi \cdot {\hat {f}}(n)\cdot {\hat {g}}(n),$

حيث:

${\begin{aligned}\left[f*_{2\pi }g\right](x)\ &\triangleq \int _{-\pi }^{\pi }f(u)\cdot g[\operatorname {pv} (x-u)]\,du,&&{\big (}{\text{and }}\underbrace {\operatorname {pv} (x)\ \triangleq \operatorname {Arg} (e^{ix})} _{\text{principal value}}\,{\big )}\\&=\int _{-\pi }^{\pi }f(u)\cdot g(x-u)\,du,&&{\text{when }}g(x){\text{ is }}2\pi {\text{-periodic.}}\\&=\int _{2\pi }f(u)\cdot g(x-u)\,du,&&{\text{when both functions are }}2\pi {\text{-periodic, and the integral is over any }}2\pi {\text{ interval.}}\end{aligned}}$

• تنص نظرية الالتفاف الثانية على أن معاملات متسلسلة فورييه لمضروب $f$ و$g$ يتم تقديمها من خلال الالتفاف المنفصل لتسلسل ${\hat {f}}$ و ${\hat {g}}$:

$[{\widehat {f\cdot g}}](n)=[{\hat {f}}*{\hat {g}}](n).$

• التسلسل المزدوج اللانهائي$\left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}$ في $c_{0}(\mathbb {Z} )$ هو تسلسل معاملات فورييه لـ دالة في $L^{1}([0,2\pi ])$ إذا وفقط إذا كانت عبارة عن دمج متسلسلتين في $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$. انظر

 المجموعات المدمجة

المقالة الرئيسية: المحموعة المدمجة, مجموعة لي, and مبرهنة پيتر-ڤايل

واحدة من الخصائص المثيرة للاهتمام في تحويل فورييه التي ذكرناها، هي أنها تحمل التفاف المضروبات النقطية. إذا كانت هذه هي الخاصية التي نسعى إلى الحفاظ عليها ، فيمكن للمرء إنتاج متسلسلة فورييه على أي مجموعة مدمجة. تتضمن الأمثلة النموذجية تلك المجموعات الكلاسيكية المدمجة. هذا يعمم تحويل فورييه إلى جميع المساحات من النموذج (L² G)، حيث تكون G عبارة عن مجموعة مدمجة ، بحيث يحمل الالتفاف تحويل فورييه إلى مضروبات نقطية. تتواجد متسلسلة فورييه وتتقارب بطرق مماثلة للحالة [−π، π].

اضافات بديلةة للمجموعات المدمجة هو مبرهنة پيتر-ڤايل ، التي تثبت نتائج حول تمثيلات المجموعات المدمجة المماثلة لتلك حول المجموعات المحدودة.

 المنطويات الريمانية

المدارات الذرية في الكيمياء توصف جزئياً بتوافقات كروية، التي يمكن استخدامها لانتاج متسلسلة فورييه على كرة.

المقالة الرئيسية: عامل لاپلاس and منطو ريماني

إذا لم يكن المجال عبارة عن مجموعة ، فلا يوجد تلاقي محدد بشكل جوهري. ومع ذلك ، إذا كان $X$منطو ريماني مضغوط, فإن لديه عامل تلابلاس-بلترامي. عامل لابلاس - بلترامامي هو عامل التفاضل الذي يتوافق مع عامل لابلاس لمنطو الريماني $X$. بعد ذلك ، عن طريق القياس ، يمكن للمرء النظر في معادلات الحرارة على $X$. Sمنذ أن وصل فورييه إلى قواعده بمحاولة حل معادلة الحرارة ، فإن التعميم الطبيعي هو استخدام الحلول الذاتية لمشغل لابلاس - بلترامي كقاعدة. عمل هذا على تعميم متسلسلة فورييه على مساحات من النوع $L^{2}(X)$, حيث $X$ مونط ريماني. تتقارب متسلسلة فوريير بطرق مشابهة لـحالة $[-\pi ,\pi ]$ . مثال نموذجي هو أخذ $X$ ليكون المجال بالمقياس المعتاد ، وفي هذه الحالة يتكون قاعدة فورييه من التوافقيات الكروية.

 المجموعات الآبلية المدمجة محلياً

المقالة الرئيسية: ثنائية پونترياگين

التعميم على المجموعات المدمجة التي تمت مناقشتها أعلاه لا يعمم على المجموعة غير المدمجة والمجموعة غير الآبلية. ومع ذلك، هناك تعميم مباشر لمجموعات آبلية المدمجة محليًا (LCA).

هذا يعمم تحويل فورييه إلى $L^{1}(G)$ أو $L^{2}(G)$، حيث $G$ هي مجموعة آبلية مدمجة محلياً. إذا كان $G$ مدمجاً، فسيحصل المرء أيضًا على متسلسلة فورييه والتي تتقارب بشكل مشابه مع الحالة $[-\pi ,\pi ]$، ولكن إذا كان $G$ غير مدمج ، فسيحصل المرء بدلاً من ذلك على تكامل فورييه. ينتج عن هذا التعميم تحويل فورييه المعتاد عندما تكون المجموعة الآبلية المدمجة محليًا هي $\mathbb {R}$.

 جدول متسلسلة فورييه الشائعة.

يتم عرض بعض الأزواج الشائعة من الدوال الدورية ومعاملات متسلسلة فورييه الخاصة بها في الجدول أدناه. ينطبق الرمز التالي:

• $f(x)$ يحدد دالة دورية محددة في $0<x\leq T$.
• $a_{0},a_{n},b_{n}$ تحديد معاملات متسلسلة فورييه (شكل جيب التمام) للدالة الدورية

$f$ كما هو محدد في Eq.4.

المجال الزمني $f(x)$	رسم	شكل مجال التردد (جيب -جيب التمام) ${\begin{aligned}&a_{0}\\&a_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&b_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}$	ملاحظات	مرجع
$f(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{T}}x\right)\right|\quad {\text{for }}0\leq x<T$		${\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {4A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}$	Full-wave rectified sine	:p. 193
$f(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{T}}x\right)&\quad {\text{for }}0\leq x<T/2\\0&\quad {\text{for }}T/2\leq x<T\\\end{cases}}$		${\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{1-n^{2}}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\b_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}$	Half-wave rectified sine	:p. 193
$f(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{for }}0\leq x<D\cdot T\\0&\quad {\text{for }}D\cdot T\leq x<T\\\end{cases}}$		${\begin{aligned}a_{0}=&2AD\\a_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\b_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}$	$0\leq D\leq 1$
$f(x)={\frac {Ax}{T}}\quad {\text{for }}0\leq x<T$		${\begin{aligned}a_{0}=&A\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}$		:p. 192
$f(x)=A-{\frac {Ax}{T}}\quad {\text{for }}0\leq x<T$		${\begin{aligned}a_{0}=&A\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}$		:p. 192
$f(x)={\frac {4A}{T^{2}}}\left(x-{\frac {T}{2}}\right)^{2}\quad {\text{for }}0\leq x<T$		${\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{3}}\\a_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}$		:p. 193

 تقريب وتقارب متسلسلة فورييه

المقالة الرئيسية: تقارب سلسلة فورييه

السؤال المهم للنظرية والتطبيقات هو مسألة التقارب. على وجه الخصوص ، غالبًا ما يكون من الضروري في التطبيقات استبدال المتسلسلة اللانهائية $\sum _{-\infty }^{\infty }$   بواحد محدود,

$f_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}{\hat {f}}(n)e^{inx}.$

هذا يسمى مجموع جزئي. نود أن نعرف ، بأي معنى تتقارب$f_{N}(x)$ إلى $f(x)$ مثل $N\rightarrow \infty$.

 خاصية المربعات الصغرى

نقول أن $p$ هو متعدد الحدود المثلثية من الدرجة$N$ عندما يكون من الشكل

$p(x)=\sum _{n=-N}^{N}p_{n}e^{inx}.$

لاحظ أن $f_{N}$ هو متعدد الحدود المثلثية للدرجة $N$. تفترض نظرية بارسيفال ذلك

نظرية. كثيرات الحدود المثلثية $f_{N}$ هي أفضل متعددة الحدود المثلثية الفريدة من نوعها من الدرجة $N$ تقريبا $f(x)$, بمعنى أنه بالنسبة لأي متعددة الحدود المثلثية $p\neq f_{N}$ من الدرجة $N$, فلدينا

$\|f_{N}-f\|_{2}<\|p-f\|_{2},$

حيث يتم تعريف معيار الفضاء هيلبرت على النحو التالي:

$\|g\|_{2}={\sqrt {{1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }|g(x)|^{2}\,dx}}.$

 التقارب

انظر أيضاً: ظاهرة جيبس

بسبب خاصية المربعات الصغرى ، وبسبب اكتمال قاعدة فورييه ، نحصل على نتيجة تقارب أولية.

نظرية. إذا كان $f$ ينتمي إلى $L^{2}(\left[-\pi ,\pi \right])$, فإن$f_{\infty }$ يقترب الي $f$ في $L^{2}(\left[-\pi ,\pi \right])$, أي,  $\|f_{N}-f\|_{2}$ يقترب الي 0 as $N\rightarrow \infty$.

لقد ذكرنا بالفعل أنه إذا كان $f$ قابل للأشتقاق بشكل مستمر ، فإن,  $(i\cdot n){\hat {f}}(n)$  هو معامل فورييه التاسع للمشتقة $f'$. ويترتب على ذلك ، بشكل أساسي من متنباينة كوشي-شوارز, أن $f_{\infty }$ قابل للجمع المطلق. مجموع هذه المتسلسلة هو دالة مستمرة ، تساوي $f$, نظرًا لأن متسلسلة فورييه تتقارب في المتوسط مع $f$:

نظرية. إذا $f\in C^{1}(\mathbb {T} )$, فإن $f_{\infty }$ يتقارب مع $f$ بشكل منتظم (ومن ثم نقطي ايضا.)

يمكن إثبات هذه النتيجة بسهولة إذا تم افتراض $f$ على أنها $C^{2}$, لأنه في هذه الحالة $n^{2}{\hat {f}}(n)$ يميل إلى الصفر كـ $n\rightarrow \infty$. بشكل أعم ، متسلسلة فورييه قابلة للجمع بشكل مطلق ، وبالتالي تتلاقى بشكل موحد مع $f$, بشرط أن $f$ يستوفي شرط هولدر للحد $\alpha >1/2$. في حالة قابليتها للجمع المطلق, فأن المتباينة تثبت التقارب المنتظم $\sup _{x}|f(x)-f_{N}(x)|\leq \sum _{|n|>N}|{\hat {f}}(n)|$  .

تُعرف العديد من النتائج الأخرى المتعلقة بتقارب متسلسلة فورييه ، بدءًا من النتيجة البسيطة المتوسطة التي تتقارب فيها المتسلسلة في $x$ إذا كان $f$ قابلا للشتقاق في $x$, to إلى نتيجة لينارت كارليسون الأكثر تعقيدًا أن متسلسلة فورييه من دالة $L^{2}$ تتلاقى تقريبًا في كل مكان.

هذه النظريات ، والتغيرات الغير منتظمة منها التي لا تحدد شروط التقارب ، يشار إليها أحيانًا بشكل عام باسم "نظرية فورييه" أو "نظرية فورييه".

 تباعد

نظرًا لأن متسلسلة فورييه تتمتع بخصائص التقارب الجيدة ، فوجئت كثيرًا ببعض النتائج السلبية. على سبيل المثال ، لا يجب أن تتقارب متسلسلة فورييه للدالة T الدورية بشكل نقطي. يعطي مبدأ المحدودية المنتظمة دليلاً بسيطًا غير بناء على هذه الحقيقة.

في عام 1922 ، نشر أندريه كولموجوروف مقالًا بعنوان متسلسلة متباعدة من فورييه ليبسج في كل مكان تقريبًا الذي أعطى فيه مثالًا على دالة ليبسج القابلة للتكامل التي تتباعد متسلسلة فورييه في كل مكان تقريبًا. قام في وقت لاحق ببناء مثال على دالة قابلة للتكامل تتباين متسلسلة فورييه في كل مكان (كاتسنلسون 1976).

 أخطاء

يوضح ما سبق العديد من النظريات المستخدمة في إثبات معادلات تحويل فورييه المعقدة ولكن ليس كلها. بعض الأجزاء المفقودة هي: التماثل , التقارب النقطي ، ومعادلة كوشي (تايلور / تحليلي معقد) ، وقليل من الاساسيات الهامة التي لم يتم ذكرها.

إن إثبات الجزء التحليلي من فورييه (أو استخدام مركب فورييه بجدية) يؤدي إلى مناقشة تفرد الدوال التحليلية (المعقدة) ونظرية الرواسب. قد يكون للتكاملات التي تتضمن f[z] خصائص فردية - في الحقيقة هذا المثال متسلسلة تحليلية "يتم إنشاؤها عن طريق حذف نقطة من المستوى المعقد"": 1/(Z-z). تحتوي بعض برامج الرياضيات على رسم خاص لتصور حيث توجد الفرديات للدالة (أيضًا الفروع وقطع الرسومات البيانية).

تفترض بعض من المعادلة أعلاه أن (f[x]هي دورية 2Pi (أثناء إثباتها) بينما لا يتطلب البعض الآخر ذلك عن كثب ، وهو أمر يجب مراقبته ((قد تتوقف هذه المعادلة الذي تم سحبها من الكتب على البيانات التي تم تقديمها في الفصل)). ربما يكون الدليل المختصر هو 10 صفحات مطبوعة (10 صفحات أخرى ذات مفردات) تتضمن نظريات ، ليما ، وإثبات تطبيقي للمركب المعقد والباقي.

 انظر أيضاً

• مبرهنة تقريب الجمع المثلثي
• نواة ديريكليه
• تحويل فورييه المتقطع
• تحويل فورييه السريع
• مبرهنة فيير
• تحليل فورييه
• متسلسلة فورييه الجيبية والتمام جيبية
• تحويل فورييه
• ظاهرة گيبس
• متسلسلة لورنت - التعويض q = e^ix يحول متسلسلة فورييه إلى متسلسلة لورنت، أو العكس. يتم استخدام هذا في فك متسلسلة q في غير المتغير في j.
• تحويل متعدد الأبعاد
• النظرية الطيفية
• نظرية ستورم-ليوڤيل
• تكاملات مبرهنة البواقي لـ f[z] ، نقاط الانفراد، الأقطاب.

 المصادر

 قراءات إضافية

• William E. Boyce; Richard C. DiPrima (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th ed.). New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-43338-1.
• Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman (2003). The Analytical Theory of Heat. Dover Publications. ISBN 0-486-49531-0. 2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work Théorie Analytique de la Chaleur, originally published in 1822.
• Enrique A. Gonzalez-Velasco (1992). "Connections in Mathematical Analysis: The Case of Fourier Series". American Mathematical Monthly. 99 (5): 427–441. doi:10.2307/2325087. JSTOR 2325087.
• Fetter, Alexander L.; Walecka, John Dirk (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Courier. ISBN 978-0-486-43261-8. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
• Katznelson, Yitzhak (1976). "An introduction to harmonic analysis" (Second corrected ed.). New York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63331-4. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help); Invalid |ref=harv (help)
• Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
• Walter Rudin (1976). Principles of mathematical analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-054235-X.
• A. Zygmund (2002). Trigonometric Series (third ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-89053-5. The first edition was published in 1935.

 وصلات خارجية

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Fourier series", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
•  Hobson, Ernest (1911). "Fourier's Series" . In Chisholm, Hugh (ed.). دائرة المعارف البريطانية. Vol. 10 (eleventh ed.). Cambridge University Press. pp. 753–758. {{cite encyclopedia}}: Cite has empty unknown parameter: |coauthors= (help)
• Eric W. Weisstein, Fourier Series at MathWorld.
• Joseph Fourier – A site on Fourier's life which was used for the historical section of this article at the Wayback Machine (archived ديسمبر 5, 2001)

قالب:PlanetMath attribution