إسقاط مجسم

رسم ثلاثي الأبعاد لإسقاط مجسم من القطب الشمالي إلى مستوى ما تحت الكرة.

في الهندسة، الإسقاط المجسم stereographic projection، هو تخطيط دالة معينة تعكس كرة ما على مستوى. يُعين الإسقاط على الكرة بأكملها، عدا نقطة واحدة: نقطة الإسقاط. عند تعيينها، تكون الدالة ناعمة وتقابلية. يكون الإسقاط المجسم تشكيلياً، مما يعني أنه يحافظ على زوايا التقاء المنحيات. لا يكون الإسقاط المجسم تقايسياً] ولا محافظاً على المساحة: فهو لا يحافظ على المسافات ولا على مساحات الأشكال.

بديهياً، يعتبر الإسقاط المجسم طريقة لتصوير الكرة كمستوى، مع بعض المقاربات التي لا بد منها. لأن الكرة والمستوى يظهران في الكثير من مجالات الرياضيات وتطبيقاتها، لذلك، يستخدم الإسقاط المجسم في مختلف المجالات ومنها التحليل المركب، رسم الخرائط، الجيولوجيا، والتصوير الفوتوغرافي. عملياً، يتم تنفيذ الإسقاط عن طريق الحاسوب أو يدوياً باستخدام نوع معين من ورق الرسم البياني يسمى شبكة التجسيم أو شبكة وولف.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

التاريخ

Illustration by Rubens for "Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles", by François d'Aguilon. It demonstrates how the projection is computed.

التعريف

الصيغة الأولى

Stereographic projection of the unit sphere from the north pole onto the plane

z = 0

, shown here in cross section

تعريفات أخرى

Stereographic projection of the unit sphere from the north pole onto the plane

z = -1

, shown here in cross section

Stereographic projection of a sphere from a point

Q

onto the plane

E

, shown here in cross section

تعميات

مقارنة إسقاط مجسم وبعض الإسقاطات السمتية المتمركزة على 90° ش بنفس المقياس، مرتبة حسب ارتفاع الإسقاط بمضاعفات نصف قطر الأرض. (انقر لمزيد من التفاصيل)

الخصائص

A Cartesian grid on the plane appears distorted on the sphere. The grid lines are still perpendicular, but the areas of the grid squares shrink as they approach the north pole.

A polar grid on the plane appears distorted on the sphere. The grid curves are still perpendicular, but the areas of the grid sectors shrink as they approach the north pole.

The sphere, with various loxodromes shown in distinct colors

شبكة وولف

Wulff net or stereonet, used for making plots of the stereographic projection by hand

The generation of a Wulff net (circular net within the red circle) by a stereographic projection with center C and projection plane

\pi

Illustration of steps 1–4 for plotting a point on a Wulff net

Two points $P 1$ and $P 2$ are drawn on a transparent sheet tacked at the origin of a Wulff net.
The transparent sheet is rotated and the central angle is read along the common meridian to both points $P 1$ and $P 2$ .

تطبيقات في الرياضيات

التحليل المركب

The complex plane and the Riemann sphere above it

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

تصور الخطوط والكرات

Animation of Kikuchi lines of four of the eight <111> zones in an fcc crystal. Planes edge-on (banded lines) intersect at fixed angles.

تصوير آخر

الهندسة الحسابية

The rational points on a circle correspond, under stereographic projection, to the rational points of the line.

استبدال نصف زاوية المماس

تطبيقات في مجالات أخرى

رسم الخرائط

Stereographic projection of the world north of 30°S. 15° graticule.
The stereographic projection with Tissot's indicatrix of deformation.

علوم الكواكب

A stereographic projection of the Moon, showing regions polewards of 60° North. Craters which are circles on the sphere appear circular in this projection, regardless of whether they are close to the pole or the edge of the map.

علم البلورات

A crystallographic pole figure for the diamond lattice in [111] direction

الجيولوجيا

Use of lower hemisphere stereographic projection to plot planar and linear data in structural geology, using the example of a fault plane with a slickenside lineation

التصوير الفوتوغرافي

sculpture by Michele Vedani in Esino Lario, Lombardy, Italy during Wikimania 2016

انظر أيضاً

قائمة إسقاطات الخرائط
أسطرلاب
ساعة فلكية
نموذج قرص پوانكاري، رسم تناظري لمستوى زائدي

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

المصادر

المراجع

Apostol, Tom (1974). Mathematical Analysis (2 ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-00288-4.
Brown, James; Churchill, Ruel (1989). Complex variables and applications. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010905-2. {{cite book}}: Unknown parameter |lastauthoramp= ignored (|name-list-style= suggested) (help)
Casselman, Bill (2014), Feature column February 2014:Stereographic Projection, AMS, http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-2014-02, retrieved on 2014-12-12
German, Daniel (June 2007). "Flattening the Viewable Sphere". "Proceedings of Computational Aesthetics 2007": 23–28, Banff: Eurographics.
Gelfand, I.M.; Minlos, R.A.; Shapiro, Z.Ya. (1963), Representations of the Rotation and Lorentz Groups and their Applications, New York: Pergamon Press
Do Carmo; Manfredo P. (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-212589-7.
Elkins, James (1988). "Did Leonardo Develop a Theory of Curvilinear Perspective?: Together with Some Remarks on the 'Angle' and 'Distance' Axioms". Journal of the Warburg and Courtauld Institutes. The Warburg Institute. 51: 190–196. doi:10.2307/751275. JSTOR 751275.
Oprea, John (2003). Differential geometry and applications. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-065246-6.
Pedoe, Dan (1988). Geometry. Dover. ISBN 0-486-65812-0.
Shafarevich, Igor (1995). Basic Algebraic Geometry I. Springer. ISBN 0-387-54812-2.
Snyder, John P. (1987). Map Projections − A Working Manual, Professional Paper 1395. US Geological Survey.
Snyder, John P. (1989). An Album of Map Projections, Professional Paper 1453. US Geological Survey.
Snyder, John P. (1993). Flattening the Earth. University of Chicago. ISBN 0-226-76746-9.
Spivak, Michael (1999). A comprehensive introduction to differential geometry, Volume IV. Houston, Texas: Publish or Perish. ISBN 0-914098-73-X.

وصلات خارجية

مرئيات

برمجيات

پانوراما مينيپلانت