أقل التربيعات

المواءمة الإحصائية ajustement statistique عملية هدفها الوصول إلى تمثيل بياني لسلسلة إحصائية من الثنائيات المرتبة (س،ع) لقيم متغيرين ملاحظين «س،ع» أو إلى الصيغة التي تميز المظهر الأساسي للعلاقة بين هذين المتغيرين، وذلك بعد حذف التجاوزات العرضية أو تلك التي تُرد إلى عوامل خارجة عن نطاق الظاهرة المدروسة.

The result of fitting a set of data points with a quadratic function.

فالعلاقة بين قياس المتغير «س» وقياس متغير آخر «ع» لظاهرة ما تعرَّف، في الحالة العامة، بسلسلة إحصائية ذات متغيرين (س،ع) توافق، في التمثيل البياني، مجموعة من النقط ذات الإحداثيات (س،ع). فالسلسلة الزمنية مثلاً لا تقدم سوى متتالية من الصور الآنية للظاهرة حتى لو كانت التغيرات تتم باستمرار، كما في العلاقة بين درجة الحرارة والزمن في مكان ما. كذلك فإن ملاحظة توزيع أطوال جماعة من البالغين لا تعطي سوى مجموعة من الثنائيات (س،ع) حيث يكون «ع» عدد الأشخاص ذوي الطول «س».

والتمثيل البياني للعلاقة القائمة بين المتغيرين هو، بوجه عام، خط منكسر يصل بين النقط «س،ع» مع بعض الشاذات التي تناقض الحدس في أن الظاهرة تتغير باستمرار، ويعزى هذا الشذوذ إلى أسباب عدة هي: أخطاء الملاحظة أو القياس، وتقلبات العينات (إذ إن الوحدات الإحصائية الملاحظة لا تمثل دائماً على نحو تام المجتمع الإحصائي الذي أُخذت منه)، وعوامل طارئة أو ثانوية في الارتباط المطلوب توضيحه (أي تأثير متغير آخر غير «س» المعتبر في الدراسة).

إن قبول الاستمرار في ارتباط الظواهر يقود إلى محاولة حذف المشاهدات التي يمكن افتراضها. بمحاكمة عقلية، غريبة عن الظاهرة، من أجل هذا يتم اختيار قيم «عَ» جديدة بدل قيم «ع» الملاحظة وذلك لتحقق، ما أمكن، هذا الافتراض. وتعرف هذه العملية باسم المواءمة (الملاءمة أو التوفيق)، كما تعرف في حالات معينة باسم التمليس أو التمهيد.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 التحقيقات العملية

 المواءمة الميكانيكية

تستخدم هذه الطريقة، بوجه خاص، لتمليس سلاسل إحصائية ذات متغيرين (س،ع) عندما تشكل قيم «س» متتالية حسابية (السلاسل الزمنية بفروق متساوية). ويتم ذلك بأن توضع بدلاً من كل قيمة لـ «ع» من السلسلة قيمة أخرى «عَ س» محسوبة بدلالة «ع س» وبعض القيم المجاورة لها من هذا الجانب أو ذاك. إن اختيار النظام المتبنى من أجل حساب «ع» يعتمد على الفرضية، التي قبلت حول شكل التغيرات الفعلية «ع» في جوار قيمة «س» الخاصة الملاحظة. وإذا كان هذا التغير، على وجه التقريب، خطياً، بغض النظر عن تغيرات عشوائية، موجبة أو سالبة، فإن حساب القيمة «عَ» الذي يتعلق بمحصلة عدد من هذه التأثيرات العشوائية يسعى إلى التقليص من تأثيرها وهذا ما يقود إلى استخدام طريقة التمليس بوساطة المتوسطات المتحركة (البسيطة أو المثقّلة)، فتستبدل بكل مجموعة مشاهدات متعاقبة من الثنائيات (س،ع) ثنائية (سَ،عَ) يكون فيها «سَ» وسط قيم «س»، ويكون «عَ» المتوسط الحسابي لقيم «ع» المقابلة.

 المواءمة البيانية

تحدد النقط[ق (س،ع)] الموافقة لقيم السلسلة الإحصائية ذات المتغيرين، ثم يرسم خط مستمر يصل بين النقط ق(س،ع) تاركاً بعض النقط فوقه وأخرى تحته على نحو يكون فيه بعدها عن الخط المضلعي الذي تحدده النقط المذكورة أصغرياً ما أمكن ذلك. وعلى الرغم من العامل الذاتي في الإنشاء البياني، فإن الطريقة البيانية تسمح بتجاهل النقط العرضية التي تعود لأسباب خارجة عن نطاق العلاقة التي يُراد إظهارها.

 المواءمة التحليلية

تفترض هذه الطريقة اختياراً مسبقاً لنموذج رياضي من الشكل [ع=تا(س)] تتحقق من أجله هذه الملاحظات بصورة مرضية. وينبع هذا الاختيار، سواء كان لأسباب بيانية أو بواعث تقنية، من طبيعة الظاهرة. وتعين الثوابت التي تحدد هذه الدالة [ع=تا(س)] بصورة توصل إلى أفضل توافق بين النتائج الملاحظة «ع س» والمحسوبة [ع=تا(س)].

ثمة طرائق مختلفة يمكن أن تستخدم لرد مجموعة الفروق [ع س- تا(س)] إلى أقل قدر ممكن. وتستخدم غالباً طريقة المربعات الأصغرية، وتعين فيها ثوابت الدالة [ع=تا(س)] بشرط يكون فيه مجموع مربعات الفروق أصغرياً،أي يكون المقدار

تتّسم كل من هذه الطرائق بخصائص معينة، فطريقة «المتوسطات المتحركة» هي ما تمتاز به المواءمة الميكانيكية. وتلاحظ المحاكمة العقلية والمهارة في الرسم في المواءمة البيانية،

 أنظر أيضاً

• L₂ norm
• Least absolute deviation
• Measurement uncertainty
• Root mean square
• Squared deviations
• Iteratively re-weighted least squares
• Total least squares
• Levenberg-Marquardt algorithm
• Regression analysis
• Partial least squares regression

 المصادر

الموسوعة العربية

• Å. Björck, Numerical Methods for Least Squares Problems, SIAM, 1996 [1].
• C.R. Rao, H. Toutenburg, A. Fieger, C. Heumann, T. Nittner and S. Scheid, Linear Models: Least Squares and Alternatives, Springer Series in Statistics, 1999.
• T. Kariya, H. Kurata, Generalized Least Squares, Wiley, 2004.
• J. Wolberg, Data Analysis Using the Method of Least Squares: Extracting the Most Information from Experiments, Springer, 2005.

 وصلات خارجية

• MIT Linear Algebra Lecture on Least Squares, from MIT OpenCourseWare
• Derivation of quadratic least squares
• Power Point Statistics Book -- Excellent slides providing an introductory regression example (University of Texas at Arlington)