معادلة ويلر-دي‌ويت

معادلة ويلر-دي‌ويت Wheeler–DeWitt equation‏ هي معادلة مجال، وهي جزء من نظرية تحاول الجمع رياضيًا بين أفكار ميكانيكا الكم و النسبية العامة، وهي خطوة نحو نظرية الجاذبية الكمية. في هذا النهج ، يلعب الزمن دوراً مختلفاً عما يفعله في ميكانيكا الكم غير النسبية، مما يؤدي إلى ما يسمى بـ "مشكلة الزمن". وبشكل أكثر تحديدًا، تصف المعادلة نوعاً من القيد الهاملتوني باستخدام المتغيرات القياسية. تولـِّد علاقات الاستبدال الخاصة بها مع قيود التشكل المختلف "مجموعة" برگمان كومار (وهي مجموعة تعدد الأشكال على الغلاف).

 الجاذبية الكمية

هذه هي المعادلة الوحيدة في الفيزياء التي لا تحتوي على متغير الزمن t! الزمن هنا ليس سوى تغير شيء بالنسبة لشيء آخر فقط. معادلة معقدة جداً وكانت من ضمن ما يسمى "نظرية كل شيء" حيث لا وجود للزمن إلا في أوهامنا! طبعاً لازال الجدل قائماً في هذا الموضوع ولا يوجد حسم نهائي.

 الدافع والخلفية

In canonical gravity, spacetime is foliated into spacelike submanifolds. The three-metric (i.e., metric on the hypersurface) is ${\displaystyle{\displaystyle\gamma_{ij}}}$ and given by

${\displaystyle{\displaystyle g_{\mu\nu}\,\mathrm{d}x^{\mu}\,\mathrm{d}x^{\nu}=(-\,N^{2}+\beta_{k}\beta^{k})\,\mathrm{d}t^{2}+2\beta_{k}\,\mathrm{d}x^{k}\,\mathrm{d}t+\gamma_{ij}\,\mathrm{d}x^{i}\,\mathrm{d}x^{j}.}}$

In that equation the Latin indices run over the values 1, 2, 3 and the Greek indices run over the values 1, 2, 3, 4. The three-metric ${\displaystyle{\displaystyle\gamma_{ij}}}$ is the field, and we denote its conjugate momenta as ${\displaystyle{\displaystyle\pi^{kl}}}$. The Hamiltonian is a constraint (characteristic of most relativistic systems)

${\displaystyle{\displaystyle{\mathcal{H}}={\frac{1}{2{\sqrt{\gamma}}}}G_{ijkl}\pi^{ij}\pi^{kl}-{\sqrt{\gamma}}\,{}^{(3)}\!R=0}}$

where ${\displaystyle{\displaystyle\gamma=\det(\gamma_{ij})}}$ and ${\displaystyle{\displaystyle G_{ijkl}=(\gamma_{ik}\gamma_{jl}+\gamma_{il}\gamma_{jk}-\gamma_{ij}\gamma_{kl})}}$ is the Wheeler–DeWitt metric.

Quantization "puts hats" on the momenta and field variables; that is, the functions of numbers in the classical case become operators that modify the state function in the quantum case. Thus we obtain the operator

${\displaystyle{\displaystyle{\widehat{\mathcal{H}}}={\frac{1}{2{\sqrt{\gamma}}}}{\widehat{G}}_{ijkl}{\widehat{\pi}}^{ij}{\widehat{\pi}}^{kl}-{\sqrt{\gamma}}\,{}^{(3)}\!{\widehat{R}}.}}$

Working in "position space", these operators are

${\displaystyle{\displaystyle{\hat{\gamma}}_{ij}(t,x^{k})\to\gamma_{ij}(t,x^{k})}}$

${\displaystyle{\displaystyle{\hat{\pi}}^{ij}(t,x^{k})\to-i{\frac{\delta}{\delta\gamma_{ij}(t,x^{k})}}.}}$

One can apply the operator to a general wave functional of the metric ${\displaystyle{\displaystyle{\widehat{\mathcal{H}}}\Psi[\gamma]=0}}$ where:

${\displaystyle{\displaystyle\Psi[\gamma]=a+\int\psi(x)\gamma(x)dx^{3}+\int\int\psi(x,y)\gamma(x)\gamma(y)dx^{3}dy^{3}+...}}$

 الشكلية الرياضية

 القيد الهاميلتوني

ببساطة ، تقول معادلة ويلر ديويت

${\displaystyle{\displaystyle{\hat{H}}(x)|\psi\rangle=0}}$

 قيد الزخم

We also need to augment the Hamiltonian constraint with momentum constraints

${\displaystyle{\displaystyle{\vec{\mathcal{P}}}(x)\left|\psi\right\rangle=0}}$

associated with spatial diffeomorphism invariance.

 أنظر أيضاً

• ADM formalism
• Diffeomorphism constraint
• Euclidean quantum gravity
• Regge calculus
• Canonical quantum gravity
• Peres metric
• Loop quantum gravity

 المصادر

• Herbert W. Hamber and Ruth M. Williams (2011). "Discrete Wheeler-DeWitt Equation". Physical Review D. 84: 104033. arXiv:1109.2530. Bibcode:2011PhRvD..84j4033H. doi:10.1103/PhysRevD.84.104033. Available at [1].
• Herbert W. Hamber, Reiko Toriumi and Ruth M. Williams (2012). "Wheeler-DeWitt Equation in 2+1 Dimensions". Physical Review D. 86: 084010. arXiv:1207.3759. Bibcode:2012PhRvD..86h4010H. doi:10.1103/PhysRevD.86.084010. Available at [2].