كسر مصري

بردية أحمس الرياضية

الكسر المصري إنگليزية: Egyptian fraction هو مجموع محدود لكسور وحدة معينة، مثل

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}.$

أي أن كل كسر في التعبير له بسط يساوي 1 و مقام عدد صحيح موجب، وتختلف جميع المقامات عن بعضهم البعض. تكون قيمة تعبير من هذا النوع هي عدد كسري موجب a/b؛ على سبيل المثال الكسر المصري أعلى المجاميع إلى 43/48. يمكن تمثيل كل رقم نسبي موجب بكسر مصري. تم استخدام مجاميع من هذا النوع ومجاميع مماثلة أيضاً بما في ذلك 2/3 و3/4 كـ إضافة، كتدوين مهم للأعداد المنطقية من قبل المصريين القدماء، واستمر استخدامها من قبل الحضارات الأخرى في العصور الوسطى. في التدوين الرياضي الحديث، تم استبدال الكسور المصرية بالكسر المبتذل والترميز العشري. ومع ذلك، لا تزال الكسور المصرية موضوعاً للدراسة في نظرية الأعداد والرياضيات الترفيهية، وكذلك في الدراسات التاريخية الحديثة للرياضيات القديمة.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 التطبيقات

بالإضافة إلى استخدامها التاريخي، فإن الكسور المصرية لها بعض المزايا العملية على التمثيلات الأخرى للأعداد الكسرية. على سبيل المثال، يمكن أن تساعد الكسور المصرية في تقسيم الطعام أو الأشياء الأخرى إلى حصص متساوية. على سبيل المثال، إذا أراد المرء تقسيم 5 بيتزا بالتساوي بين 8 أشخاص، فإن الكسر المصري

${\frac {5}{8}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}$

يعني أن كل شخص يحصل على نصف بيتزا بالإضافة إلى ثمن بيتزا آخر، على سبيل المثال عن طريق تقسيم 4 بيتزا إلى 8 أنصاف والبيتزا المتبقية إلى 8 أثمان.

وبالمثل، على الرغم من أنه يمكن للمرء تقسيم 13 بيتزا على 12 أشخاص من خلال إعطاء كل شخص بيتزا واحدة وتقسيم البيتزا المتبقية إلى 12 جزء (ربما تلفها)، يمكن للمرء أن يلاحظ ذلك

${\frac {13}{12}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}$

وقسموا 6 قطع بيتزا إلى أنصاف، و 4 إلى أثلاث و3 الباقية إلى أرباع، ثم أعطوا كل شخص نصف وثلث وربع.

يمكن أن توفر الكسور المصرية حلاً لغز احتراق الحبل، حيث يتم قياس مدة معينة عن طريق إشعال الحبال غير المنتظمة التي تحترق بعد وحدة زمنية. يمكن قياس أي جزء منطقي من وحدة زمنية عن طريق توسيع الكسر إلى مجموع كسور الوحدة ثم حرق حبل لكل جزء من الوحدات $1/x$ بحيث يحتوي دائماً على $x$ يشتعل في نفس الوقت النقاط التي يحترق فيها. بالنسبة لهذا التطبيق، ليس من الضروري أن تكون كسور الوحدة مميزة عن بعضها البعض. ومع ذلك، قد يحتاج هذا الحل إلى عدد لا حصر له من خطوات إعادة الإشعال.

 التاريخ المبكر

للمزيد من المعلومات: الأعداد المصرية and الرياضيات المصرية

تم تطوير تدوين الكسر المصري في الدولة الفرعونية الوسطى. فقد ظهرت في خمسة نصوص مبكرة كسور مصرية هي اللفافة الجلدية الرياضية المصرية وبردية موسكو الرياضية وبردية رايسنر وبرديات الكاهون ولوح أخميم الخشبي. قدم نص لاحق، بردية أحمس الرياضية، طرقاً محسنة لكتابة الكسور المصرية. قام أحمس بكتابة بردية ريند/أحمس وتواريخها من الفترة الفرعونية الانتقالية الثانية؛ يتضمن جدول منشورات الكسور المصرية للأرقام المنطقية 2/n، بالإضافة إلى 84 مسألة من كلمات. تمت كتابة حلول كل مسألة باختصار النسخ، مع التعبير عن الإجابات النهائية لجميع المسائل البالغ عددها 84 في تدوين الكسر المصري. تظهر أيضاً جداول 2/n مماثلة لتلك الموجودة على ورق البردي رايند/أحمس في بعض النصوص الأخرى. ومع ذلك، وكما تُظهر برديات الكاهون، فقد استخدم الكتبة أيضاً الكسر المبتذل في حساباتهم.

 التدوين

لكتابة كسور الوحدة المستخدمة في تدوين الكسر المصري، بالخط الهيروغليفي، وضع المصريون الهيروغليفية

(er, "[one] among" or possibly re, mouth) أعلى رقم لتمثيل عكسي لهذا الرقم. وبالمثل في الكتابة الهيراطية قاموا برسم خط فوق الحرف الذي يمثل الرقم. علي سبيل المثال:

$={\frac {1}{3}}$

$={\frac {1}{10}}$

كان لدى المصريين رموز خاصة لـ 1/2، 2/3، و3/4 والتي تم استخدامها لتقليل حجم الأرقام الأكبر من 1/2 عندما تم تحويل هذه الأرقام إلى سلسلة كسور مصرية. تمت كتابة العدد المتبقي بعد طرح أحد هذه الكسور الخاصة كمجموع من كسور الوحدات المميزة وفقاً لتدوين الكسر المصري المعتاد.

$={\frac {1}{2}}$

$={\frac {2}{3}}$

$={\frac {3}{4}}$

استخدم المصريون أيضاً تدويناً بديلًا تم تعديله من الدولة القديمة للإشارة إلى مجموعة خاصة من الكسور بالشكل 1/2^k (for k = 1, 2, ..., 6) ومجموع هذه الأعداد التي تكون بالضرورة أرقام منطقية ثنائية. سميت هذه "كسور عين حورس" بعد نظرية (فقدت مصداقيتها الآن)أنها كانت تستند إلى أجزاء من رمز عين حورس.

تم استخدامها في الدولة الفرعونية الوسطى بالاقتران مع التدوين اللاحق للكسور المصرية لتقسيم حقعت، مقياس الحجم الأساسي المصري القديم للحبوب والخبز وكميات صغيرة أخرى من الحجم، مثل الموصوفة في لوح أخميم الخشبي. إذا تم ترك أي باقٍ بعد التعبير عن كمية في كسور عين حورس من الحقعت، فسيتم كتابة الباقي باستخدام تدوين الكسر المصري المعتاد كمضاعفات لـ رو، وهي وحدة تساوي 1/320 من حقعت.

 طرق الحساب

درس مؤرخو الرياضيات الحديثون بردية ريند وغيرها من المصادر القديمة في محاولة لاكتشاف الأساليب التي استخدمها المصريون في حساب الكسور المصرية. على وجه الخصوص، ركزت الدراسة في هذا المجال على فهم جداول التوسعات لأرقام النموذج 2/n في بردية رايند/أحمس. على الرغم من أنه يمكن وصف هذه التوسعات عموماً بالهويات الجبرية، إلا أن الأساليب المستخدمة من قبل المصريين قد لا تتوافق بشكل مباشر مع هذه الهويات. بالإضافة إلى ذلك، لا تتطابق المنشورات في الجدول مع أي مطابقة واحدة؛ بدلاً من ذلك، تطابق الهويات المختلفة منشور القواسم الأعداد الأولية و والغير أولية، وأكثر من هوية واحدة تناسب أرقام كل نوع:

• للقواسم الأولية الفردية الصغيرة p، للمنشورات

${\frac {2}{p}}={\frac {1}{\,{\frac {p+1}{2}}\,}}+{\frac {1}{p{\frac {p+1}{2}}}}$

التي كانت مستخدمة.

• بالنسبة للقواسم الأولية الأكبر، يتم توسيع الشكل

${\frac {2}{p}}={\frac {1}{A}}+{\frac {2A-p}{Ap}}$

التي كانت مستخدمة، حيث A رقم به العديد من القواسم (مثل رقم عملي) بين p/2 وp. المصطلح المتبقي 2A − p/Ap من خلال تمثيل الرقم 2A − p/Ap كمجموع قواسم A وتشكيل كسر d/Ap لكل منها المقسوم عليه d في هذا المجموع.كمثال، منشور أحمس 1/24 + 1/111 + 1/296 لـ 2/37 هذا النمط يتناسب مع A = 24 و 2A − p/Ap = 11 = 3 + 8, كـ1/24 + 1/111 + 1/296 = 1/24 + 3/24 × 37 + 8/24 × 37. قد يكون هناك العديد من المنشورات المختلفة من هذا النوع لـ p; ومع ذلك، كما لاحظ ك.س.براون، كان المنشور الذي اختاره المصريون غالباً هو الذي تسبب في أن يكون القاسم الأكبر صغيراً قدر الإمكان، من بين جميع المنشورات التي تناسب هذا النمط.

• بالنسبة إلى القواسم المركبة، يتم تحليلها إلى عوامل p × q، يمكن للمرء أن ينشر 2/pq باستخدام المتطابقة

${\frac {2}{pq}}={\frac {1}{aq}}+{\frac {1}{apq}}\quad {\text{where }}a={\frac {p+1}{2}}$

على سبيل المثال، تطبيق هذه الطريقة ل pq = 21 تعطي p = 3, q = 7, و a = 3 + 1/2 = 2, منتجاً المنشور 2/21 = 1/14 + 1/42 من بردية ريند/أحمس. فضل بعض المؤلفين كتابة هذا التوسيع كـ 2/A × A/pq, حيث A = p + 1; استبدال المصطلح الثاني لهذا المنتج بـ

p/pq + 1/pq, تطبيق قانون التوزيع على الناتج، والتبسيط يؤدي إلى تعبير مكافئ للمنشور الأول الموصوف هنا. يبدو أن هذه الطريقة قد استخدمت للعديد من الأرقام المركبة في بردية ريند، لكن هناك استثناءات، على وجه الخصوص 2/35, 2/91, و2/95.

• يمكن للمرء أيضاً أن ينشر 2/pq كـ 1/pr + 1/qr, حيث r = p + q/2. على سبيل المثال، نشر أحمس 2/35 = 1/30 + 1/42, حيث p = 5, q = 7, و r = 5 + 7/2 = 6.استخدم الكتبة اللاحقون شكلاً أكثر عمومية لهذا التوسيع،

${\frac {n}{pq}}={\frac {1}{pr}}+{\frac {1}{qr}}\quad {\text{where }}r={\frac {p+q}{n}}$

والتي تعمل عندما تكون p + q من مضاعفات n.

• بالنسبة لبعض القواسم المركبة الأخرى، فإن النشر لـ 2/pq له شكل نشر لـ 2/q مع كل مقام مضروب في p. على سبيل المثال، 95 = 5 × 19, و2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114 (كما يمكن إيجاده باستخدام طريقة الأعداد الأولية ذات A = 12)، لذا 2/95 = 1/5 × 12 + 1/5 × 76 + 1/5 × 114 = 1/60 + 1/380 + 1/570. يمكن تبسيط هذا التعبير منذ ذلك الحين 1/380 + 1/570 = 1/228, لكن بردية ريند تستخدم الشكل غير المبسط.
• المنشور النهائي (الأساسي) في بردية رايند، 2/101، لا يناسب أياً من هذه الأشكال، ولكنه يستخدم بدلاً من ذلك منشوراً

${\frac {2}{p}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{6p}}$

يمكن تطبيقه بغض النظر عن قيمة p. وهذا، 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606. تم استخدام منشور ذي صلة أيضاً في اللفافة الجلدية الرياضية المصرية لعدة حالات.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 استخدامات لاحقة

للمزيد من المعلومات: Liber Abaci and Greedy algorithm for Egyptian fractions

استمر استخدام تدوين الكسر المصري في العصر اليوناني وفي العصور الوسطى، على الرغم من الشكاوى في وقت مبكر مثل بطليموس المجسطي حول خراقة التدوين مقارنةً ببدائل مثل تدوين القاعدة 60 البابلية. تمت أيضاً دراسة المسائل ذات الصلة بالتحلل إلى كسور الوحدة في الهند في القرن التاسع بواسطة عالم الرياضيات جاين مهاڤيرا. ويقدم نص مهم للرياضيات الأوروبية في العصور الوسطى، Liber Abaci (1202) لليوناردو من پيزا (المعروف أكثر باسم فيبوناتشي)، نظرة ثاقبة لاستخدامات الكسور المصرية في العصور الوسطى، ويقدم موضوعات لا تزال مهمة في العصر الحديث دراسة رياضية لهذه السلسلة.

الموضوع الأساسي لـ ليبر أباتشي هو العمليات الحسابية التي تتضمن تدوين الكسور العشرية والمألوفة، والتي حلت في النهاية محل الكسور المصرية. استخدم فيبوناتشي نفسه تدويناً معقداً للكسور التي تتضمن دمج من تدوين جذر مختلط مع مجموع الكسور. وتتضمن العديد من الحسابات في جميع أنحاء كتاب فيبوناتشي أرقاماً ممثلة كسور مصرية، وقسماً واحداً من هذا الكتاب كما يوفر قائمة طرق تحويل الكسور المبتذلة إلى كسور مصرية. إذا لم يكن الرقم كسر وحدة بالفعل، فإن الطريقة الأولى في هذه القائمة هي محاولة تقسيم البسط إلى مجموع قواسم المقام؛ هذا ممكن عندما يكون المقام رقم شامل، ويتضمن ليبر أباتشي جداول منشورات من هذا النوع للأرقام العملية 6، 8، 12، 20، 24، 60، و100.

تتضمن الطرق العديدة التالية متطابقات جبرية مثل

${\frac {a}{ab-1}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b(ab-1)}}$

على سبيل المثال، يمثل كسر فيبوناتشي 8/11 بتقسيم البسط إلى مجموع رقمين، كل منهما يقسم واحداً بالإضافة إلى المقام: 8/11 = 6/11 + 2/11. يطبق فيبوناتشي المتطابقة الجبرية أعلاه على كل من هذين الجزأين، مما ينتج عنه التمدد 8/11 = 1/2 + 1/22 + 1/6 + 1/66. يصف فيبوناتشي طرقاً متشابهة للمقامرات التي تقل بمقدار اثنين أو ثلاثة عن رقم مع العديد من العوامل.

في الحالة النادرة التي تفشل فيها جميع هذه الطرق الأخرى، يقترح فيبوناتشي الخوارزمية الشرهة لحساب الكسور المصرية، حيث يختار المرء مراراً وتكراراً جزء الوحدة ذي المقام الأصغر الذي لا يزيد عن الكسر المتبقي المراد توسيعه: أي في طريقة أكثر حداثة، نستبدل كسراً x/y بالنشر

${\frac {x}{y}}={\frac {1}{\,\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil \,}}+{\frac {(-y)\,{\bmod {\,}}x}{y\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil }}$

حيث يمثل ⌈ ⌉ يمثل الدالة العليا؛ بما أن (−y) mod x < x، ينتج عن هذه الطريقة منشور محدود.

يقترح فيبوناتشي التحول إلى طريقة أخرى بعد النشر الأول من هذا القبيل، لكنه يعطي أيضاً أمثلة على تكرار هذا التوسع الشره حتى تم إنشاء توسيع جزء مصري كامل: 4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468 و17/29 = 1/2 + 1/12 + 1/348.

بالمقارنة مع المنشورات المصرية القديمة أو الأساليب الأكثر حداثة، قد تنتج هذه الطريقة منشورات طويلة جداً، ذات قواسم كبيرة، وقد لاحظ فيبوناتشي نفسه صعوبة التوسعات التي تنتجها هذه الطريقة. على سبيل المثال، تتوسع الطريقة الشرهة

${\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+{\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\,225}}$

بينما تؤدي الطرق الأخرى إلى نشر أقصر

${\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}$

يمكن اعتبار متتالية سلڤستر 2، 3، 7، 43، 1807، ... ناتجاً عن نشر شره لانهائي من هذا النوع للرقم 1، حيث نختار في كل خطوة المقام ⌊ y/x ⌋ + 1 بدلاً من ⌈ y/x ⌉، وتُعزى أحياناً خوارزمية فيبوناتشي الشرهة إلى جيمس جوزف سلڤسر.

بعد وصفه للخوارزمية الشرهة، يقترح فيبوناتشي طريقة أخرى، وهي نشر الكسر a/b بالبحث عن رقم c به العديد من المقسومات، مع b/2 < c < b، باستبدال a/b بـ ac/bc, ونشر ac كمجموع قواسم لـ bc، على غرار الطريقة التي اقترحها هلش وبرونز لشرح بعض المنشورات في بردية رايند.

 نظرية الأعداد الحديثة

للمزيد من المعلومات: Erdős–Graham problem, Znám's problem, and Engel expansion

على الرغم من أن الكسور المصرية لم تعد تُستخدم في معظم التطبيقات العملية للرياضيات، فقد واصل منظرو الأعداد الحديثون دراسة العديد من المشكلات المختلفة المتعلقة بها. تتضمن هذه المشكلات تحديد الطول أو الحد الأقصى للمقام في تمثيلات الكسور المصرية، وإيجاد توسعات لأشكال خاصة معينة أو التي تكون فيها جميع القواسم من نوع خاص، وإنهاء الطرق المختلفة لنشر الكسر المصري، وإظهار أن التوسعات موجودة لأي مجموعة كثيفة من الأرقام السلسة بدرجة كافية.

• أثبتت إحدى منشورات پول إردوس الأولى أنه من غير الممكن لـ التقدّم التوافقي أن تشكل تمثيلاً كسرياً مصرياً لعدد صحيح. والسبب هو، بالضرورة، أن مقاماً واحداً على الأقل من التقدم سيكون قابلاً للقسمة على عدد أولي لا يقسم أي مقام آخر. يُثبت الإصدار الأخير من إردوس، بعد ما يقرب من 20 عاماً من وفاته، أن كل عدد صحيح له تمثيل تكون فيه جميع القواسم نتاجاً لثلاثة أعداد أولية.
• تنص حدسية إردوس–گراهام في نظرية الأعداد التجميعية على أنه إذا تم تقسيم الأعداد الصحيحة الأكبر من 1 إلى مجموعات فرعية كثيرة بشكل محدود، فإن إحدى المجموعات الفرعية لها مجموعة فرعية محدودة من نفسها تكون مقلوبة مجموع واحد. أي ، لكل r > 0، وكل أسلوب-r للأعداد الصحيحة أكبر من واحد، هناك مجموعة فرعية أحادية الأسلوب منتهية S من هذه الأعداد الصحيحة مثل

$\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1$

أُثبتت الحدسية في عام 2003 من قبل إرنست كروت الثالث.

• مسألة زنام والرقم الأساسي شبه المثالي مرتبطان ارتباطاً وثيقاً بوجود كسور مصرية من النموذج

$\sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1$

على سبيل المثال، الرقم الأساسي الشبه مثالي 1806 هو حاصل ضرب الأعداد الأولية 2 و3 و7 و43، ويؤدي إلى الكسر المصري 1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806.

• يتم تعريف الكسور المصرية عادةً على أنها تتطلب أن تكون جميع القواسم مميزة، ولكن يمكن تخفيف هذا المطلب للسماح بتكرار القواسم. ومع ذلك، فإن هذا الشكل المريح للكسور المصرية لا يسمح بتمثيل أي رقم باستخدام عدد أقل من الكسور، حيث يمكن تحويل أي توسع مع كسور متكررة إلى كسر مصري بطول متساوٍ أو أصغر من خلال التطبيق المتكرر للبديل

${\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {2}{k+1}}+{\frac {2}{k(k+1)}}$

إذا كانت k فردي, أو ببساطة عن طريق الاستبدال 1/k + 1/k بـ 2/k إذا k زوجي. تم إثبات هذه النتيجة لأول مرة بواسطة Takenouchi (1921).

• أثبت گراهام وجوت أنه من الممكن بالمثل تحويل التوسعات ذات المقامات المتكررة إلى كسور مصرية (أطول)، عن طريق الاستبدال

${\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{k(k+1)}}.$

يمكن أن تؤدي هذه الطريقة إلى منشورات طويلة ذات قواسم كبيرة، مثل::${\frac {4}{5}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{930}}+{\frac {1}{931}}+{\frac {1}{992}}+{\frac {1}{1806}}+{\frac {1}{865\,830}}$

استخدم Botts (1967) في الأصل تقنية الاستبدال هذه لإظهار أن أي رقم منطقي له تمثيلات كسرية مصرية ذات مقامات دنيا كبيرة بشكل عشوائي.

• لكل كسر x/y تمثيل كسر مصري حيث يتم تحديد الحد الأقصى للمقام به

$O\left(y\log y\left(\log \log y\right)^{4}\left(\log \log \log y\right)^{2}\right)$

وتمثيل بشروط على الأكثر

$O\left({\sqrt {\log y}}\right)$

. يجب أن يكون عدد المصطلحات متناسباً على الأقل أحياناً مع log log y; على سبيل المثال هذا صحيح بالنسبة للكسور في المتسلسلة 1/2, 2/3, 6/7, 42/43, 1806/1807, ... التي تشكل قواسمها متسلسلة سلڤستر. لقد تم التخمين أن مصطلحات O(log log y) كافية دائماً. من الممكن أيضاً العثور على تمثيلات يكون فيها كل من المقام الأقصى وعدد المصطلحات صغير.

• ميز Graham (1964) الأعداد التي يمكن تمثيلها بالكسور المصرية حيث تكون جميع القواسم هي القوى n. على وجه الخصوص، يمكن تمثيل الرقم المنطقي q ككسر مصري ذي مقامات مربعة إذا وفقط إذا كان q يقع في أحد الفاصلتين نصف المفتوحة

$\left[0,{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\right)\cup \left[1,{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)$

• أظهر Martin (1999) أن أي رقم منطقي له منشورات كثيفة للغاية، باستخدام كسر ثابت من المقامات حتى N لأي عدد كبير بما فيه الكفاية N.
• منشور إنجل، التي تسمى أحياناً الجداء المصري، هي شكل من أشكال التوسع الجزئي المصري حيث يكون كل مقام مضاعفاً للسابق:

$x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots$

بالإضافة إلى ذلك، تسلسل المضاعفات a_i يجب أن يكون غير متناقص. كل رقم منطقي له توسع إنجل محدود، بينما للأعداد الغير نسبية منشور إنجل لانهائي.

• درس Anshel & Goldfeld (1991) الأرقام التي لها تمثيلات كسرية مصرية متعددة متميزة بنفس عدد المصطلحات ونفس حاصل ضرب القواسم؛ على سبيل المثال، أحد الأمثلة التي يقدمونها هو

${\frac {5}{12}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{20}}$

على عكس قدماء المصريين، فإنهم يسمحون بتكرار القواسم في هذه التوسعات. قاموا بتطبيق نتائجهم لهذه المشكلة على توصيف الجداء الحر من زمرة أبيلية من خلال عدد صغير من المعلمات الرقمية: رتبة مجموعة التحويل الفرعية، عدد المصطلحات في الجداء الحر، ومنتج أوامر العوامل.

• عدد تمثيلات n المختلفة - المصطلح المصري للكسور للرقم واحد محدد أعلى وأسفل بواسطة دالة أسية مزدوجة من n.

 مسائل مفتوحة

للمزيد من المعلومات: Odd greedy expansion and Erdős–Straus conjecture

لا تزال بعض المشكلات البارزة دون حل فيما يتعلق بالكسور المصرية، على الرغم من الجهود الكبيرة التي بذلها علماء الرياضيات.

• تتعلق حدسية إردوس-ستراوس بطول أقصر منشور لكسر من النموذج 4/n. وهل نشر

${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}$

موجودة لكل n؟ من المعروف أن يكون صحيحاً للجميع n < 10¹⁷, وللجميع باستثناء جزء صغير متلاشي من القيم المحتملة لـ n، لكن الحقيقة العامة للحدسية تظل مجهولة.

• من غير المعروف ما إذا كان المنشور الفردي الشره موجود لكل كسر بمقام فردي. إذا تم تعديل طريقة فيبوناتشي الشرهة بحيث تختار دائماً أصغر قاسم "فردي" ممكن، في ظل أي ظروف تنتج هذه الخوارزمية المعدلة منشوراً محدوداً؟ الشرط الضروري الواضح هو أن كسر البداية x/y له مقام فرديy، ومن غير المعروف أن هذا أيضاً شرط كاف . من المعروفأن كل x/y مع y فردية لها منشور في كسور وحدة فردية مميزة، تم إنشاؤها باستخدام طريقة مختلفة عن الخوارزمية الشرهة.
• من الممكن استخدام خوارزميات البحث الشامل للعثور على تمثيل الكسر المصري لرقم معين بأقل عدد ممكن من المصطلحات أو تقليل المقام الأكبر؛ ومع ذلك، يمكن أن تكون هذه الخوارزميات غير فعالة تماماً. لا يزال وجود خوارزميات الزمن الخطي لهذه المشكلات، أو بشكل أكثر عمومية التعقيد التحسيبي لهذه المسائل، غير معروف.

يصف Guy (2004) هذه المسائل بمزيد من التفصيل ويسرد العديد من المسائل المفتوحة الإضافية.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 انظر أيضاً

• List of sums of reciprocals

 المراجع

• Anshel, Michael M.; Goldfeld, Dorian (1991), "Partitions, Egyptian fractions, and free products of finite abelian groups", Proceedings of the American Mathematical Society 111 (4): 889–899, doi:10.1090/S0002-9939-1991-1065083-1 
• Beeckmans, L. (1993), "The splitting algorithm for Egyptian fractions", Journal of Number Theory 43 (2): 173–185, doi:10.1006/jnth.1993.1015 
• Botts, Truman (1967), "A chain reaction process in number theory", Mathematics Magazine 40 (2): 55–65, doi:10.2307/2688508 
• Breusch, R. (1954), "A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512", American Mathematical Monthly 61: 200–201, doi:10.2307/2307234 
• Bruins, Evert M. (1957), "Platon et la table égyptienne 2/n" (in French), Janus 46: 253–263 
• Butler, Steve; Erdős, Paul; Graham, Ron (2015), "Egyptian fractions with each denominator having three distinct prime divisors", Integers 15: Paper No. A51, 9, https://www.math.ucsd.edu/~ronspubs/pre_tres_egyptian.pdf 
• Dick, Lara K.; Ogle, Rebecca (September 2018), "Think like an Egyptian", Ohio Journal of School Mathematics 80: 1–7 
• Erdős, P. (1932), "Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása" (in Hungarian), Mat. Fiz. Lapok 39: 17–24, https://www.renyi.hu/~p_erdos/1932-02.pdf 
• Erdős, Pál (1950), "Az $\textstyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {a}{b}}$ egyenlet egész számú megoldásairól" (in Hungarian), Matematikai Lapok 1: 192–210, https://www.renyi.hu/~p_erdos/1950-02.pdf 
• Eves, Howard (1953), An Introduction to the History of Mathematics, Holt, Reinhard, and Winston, ISBN 0-03-029558-0 
• Gardner, Milo (2002), "The Egyptian Mathematical Leather Roll, attested short term and long term", in Gratton-Guinness, Ivor, History of the Mathematical Sciences, Hindustan Book Co, pp. 119–134, ISBN 81-85931-45-3 
• Gillings, Richard J. (1982), Mathematics in the Time of the Pharaohs, Dover, p. 50, ISBN 978-0-486-24315-3, https://books.google.com/books?id=DoDMIVUIYFwC&pg=PA50 
• Graham, R. L. (1964), "On finite sums of reciprocals of distinct nth powers", Pacific Journal of Mathematics 14 (1): 85–92, doi:10.2140/pjm.1964.14.85, http://www.math.ucsd.edu/~ronspubs/64_07_reciprocals.pdf 
• Graham, Ronald L. (2013), "Paul Erdős and Egyptian fractions", Erdös centennial, Bolyai Soc. Math. Stud., 25, János Bolyai Math. Soc., Budapest, pp. 289–309, doi:10.1007/978-3-642-39286-3_9 
• Guy, Richard K. (2004), "D11. Egyptian Fractions", Unsolved problems in number theory (3rd ed.), Springer-Verlag, pp. 252–262, ISBN 978-0-387-20860-2 
• Hultsch, Friedrich (1895), "Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung: Erste Anhandlung" (in German), Abhandlungen der philologisch-historischen Classe der Königlich-Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Sächsische Akademie der Wissenschaften zu Leipzig Philologisch-Historische Klasse (Leipzig: S. Hirzel) 17 (1) 
• Katz, Victor J., ed. (2007), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton: Princeton University Press 
• Knorr, Wilbur R. (1982), "Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece", Historia Mathematica 9 (2): 133–171, doi:10.1016/0315-0860(82)90001-5 
• Konyagin, S. V. (2014), "Double exponential lower bound for the number of representations of unity by Egyptian fractions", Mathematical Notes 95 (1–2): 277–281, doi:10.1134/S0001434614010295 
• Koshaleva, Olga; Kreinovich, Vladik (2021), "Egyptian fractions as approximators", Mathematical Structures and Modeling 1 (57): 46–59, https://cyberleninka.ru/article/n/egyptian-fractions-as-approximators/viewer 
• Kusuba, Takanori (2004), "Indian rules for the decomposition of fractions", in Burnett, Charles; Hogendijk, Jan P.; Plofker, Kim et al., Studies in the History of the Exact Sciences in honour of David Pingree, Islamic Philosophy Theology and Science: Text and Studies, 54, Leiden: Brill, pp. 497–516 
• Martin, G. (1999), "Dense Egyptian fractions", Transactions of the American Mathematical Society 351 (9): 3641–3657, doi:10.1090/S0002-9947-99-02327-2 
• Ritter, Jim (2002), "Closing the Eye of Horus: the Rise and Fall of 'Horus-Eye Fractions'", in Steele, J.; Imhausen, A., Under One Sky: Astronomy and Mathematics in the ancient Near East, Münster: Ugarit-Verlag, pp. 297–323 
• Robson, E.; Stedall, J., eds. (2009), The Oxford Handbook of the History of Mathematics, Oxford: Oxford University Press 
• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002), Fibonacci's Liber Abaci, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95419-8 
• Stewart, B. M. (1954), "Sums of distinct divisors", American Journal of Mathematics 76 (4): 779–785, doi:10.2307/2372651 
• Stewart, I. (1992), "The riddle of the vanishing camel", Scientific American 266 (June): 122–124, doi:10.1038/scientificamerican0692-122, Bibcode: 1992SciAm.266f.122S 
• Struik, Dirk J. (1967), A Concise History of Mathematics, Dover, pp. 20–25, ISBN 0-486-60255-9 
• Takenouchi, T. (1921), "On an indeterminate equation", Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan, 3rd ser. 3 (6): 78–92, doi:10.11429/ppmsj1919.3.6_78 
• Tenenbaum, G.; Yokota, H. (1990), "Length and denominators of Egyptian fractions", Journal of Number Theory 35 (2): 150–156, doi:10.1016/0022-314X(90)90109-5 
• Vose, M. (1985), "Egyptian fractions", Bulletin of the London Mathematical Society 17: 21, doi:10.1112/blms/17.1.21 
• Wagon, Stan (1999), Mathematica in Action, Springer, pp. 321–329, ISBN 0-387-98684-7 
• Winkler, Peter (2004), "Uses of fuses", Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection, A K Peters, pp. 2, 6, ISBN 1-56881-201-9 </ref>
• Yokota, Hisashi (1988), "On a problem of Bleicher and Erdős", Journal of Number Theory 30 (2): 198–207, doi:10.1016/0022-314X(88)90017-0 

 وصلات خارجية

• Brown, Kevin, Egyptian Unit Fractions, http://www.mathpages.com/home/kmath340/kmath340.htm .
• Eppstein, David, Egyptian Fractions, http://www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/egypt/ .
• Knott, Ron, Egyptian fractions, http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fractions/egyptian.html .
• Eric W. Weisstein, Egyptian Fraction at MathWorld.
• Giroux, André, Egyptian Fractions, http://demonstrations.wolfram.com/EgyptianFractions/  and Zeleny, Enrique, Algorithms for Egyptian Fractions, http://demonstrations.wolfram.com/AlgorithmsForEgyptianFractions/ , The Wolfram Demonstrations Project, based on programs by David Eppstein.