عنصر حيادي

مفهوم رياضي
المسمى العربي	عنصر محايد
المسمى اللاتيني	Neutral Element
الرمز العربي	غير معرف
الرمز اللاتيني	${\displaystyle{\displaystyle e\,}}$
رياضيون	إيڤاريست گ الوا
نظريات ومسلمات	نظرية الزمر
كتب ومراجع

في الرياضيات، العنصر المحايد Identity element، هو لعملية ثنائية معرفة على فئة ما هو العنصر الذي لا يؤثر على ناتج تطبيق هذه العملية مع أي عنصر في هذه الفئة.

لتكن ${\displaystyle{\displaystyle(S,*)\,}}$ بنية جبرية مكونة من فئة ${\displaystyle{\displaystyle S\,}}$ وعملية ثنائية مغلقة عليها ${\displaystyle{\displaystyle*\,}}$ (جبريا تسمى ماغما)؛ فإن العنصر ${\displaystyle{\displaystyle e\in S\,}}$ يدعى محايد يساري إذا حقق ${\displaystyle{\displaystyle e*a=a\,}}$ لأي عنصر ${\displaystyle{\displaystyle a\in S\,}}$. وكذلك يدعى ${\displaystyle{\displaystyle e\in S\,}}$ بالمحايد اليميني إذا حقق ${\displaystyle{\displaystyle a*e=a\,}}$ لكل ${\displaystyle{\displaystyle a\in S\,}}$. أما المحايد الثنائي الاتجاه (أو للاختصار العنصر المحايد) فهو العنصر ${\displaystyle{\displaystyle e\in S\,}}$ إذا حقق ${\displaystyle{\displaystyle e+a=a+e=a\,}}$ لكل ${\displaystyle{\displaystyle a\in S\,}}$.

في الأعداد يسمى العنصر المحايد بالنسبة لعملية الجمع بالمحايد الجمعي ويرمز له بـ ${\displaystyle{\displaystyle 0\,}}$ (صفر). أما العنصر المحايد بالنسبة لعملية الضرب فيدعى بالمحايد الضربي ويرمز له بـ ${\displaystyle{\displaystyle 1\,}}$ (واحد).

 أمثلة

فئة	عملية ثنائية	محايد
الأعداد الحقيقية	عملية الجمع (${\displaystyle{\displaystyle+\,}}$)	الصفر
الأعداد الحقيقية	عملية الضرب (${\displaystyle{\displaystyle\times\,}}$)	الواحد
الأعداد الحقيقية	عملية الأس (${\displaystyle{\displaystyle a^{b}\,}}$)	الواحد (محايد يميني فقط)
مصفوفات من الدرجة ${\displaystyle{\displaystyle m\times n\,}}$	عملية الجمع (${\displaystyle{\displaystyle+\,}}$)	مصفوفة صفرية
مصفوفات مربعة من الدرجة ${\displaystyle{\displaystyle n\times n\,}}$	عملية الضرب (${\displaystyle{\displaystyle\times\,}}$)	المصفوفة المحايدة
الدوال من ${\displaystyle{\displaystyle M\to M\,}}$	التركيب الدالي	دالة محايدة
الدوال من ${\displaystyle{\displaystyle M\to M\,}}$	التلفيف الدالي	دالة النبضة ${\displaystyle{\displaystyle\delta\,}}$
سلاسل حرفية أو قوائم	إضافة	سلسلة حرفية فارغة أو قائمة فارغة
الفئات ${\displaystyle{\displaystyle M_{i}\subset M\,}}$	عملية التقاطع ${\displaystyle{\displaystyle\cap\,}}$	${\displaystyle{\displaystyle M\,}}$
الفئات	عملية الاتحاد ${\displaystyle{\displaystyle\cup\,}}$	الفئة الفارغة ${\displaystyle{\displaystyle\{\}\,}}$ أو ${\displaystyle{\displaystyle\phi\,}}$
المنطق الثنائي	’أو’ منطقية ${\displaystyle{\displaystyle\vee\,}}$	${\displaystyle{\displaystyle\top\,}}$
المنطق الثنائي	’و’ منطقية ${\displaystyle{\displaystyle\wedge\,}}$	${\displaystyle{\displaystyle\bot\,}}$

 أنظر أيضاً

• عنصر معاكس
• معاكس جمعي
• مونويد
• Unital
• شبه زمرة

 المصادر

• M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7, p. 14–15