اقتران ريمان الزائي

اقتران ريمان الزائي
The Riemann zeta function ζ(z) plotted with domain coloring.
Basic features
Domain	$\mathbb {C} \setminus \{1\}$
Codomain	$\mathbb {C}$
Specific values
At zero	$-{\frac {1}{2}}$
Limit to +∞	$1$
Value at $2$	${\frac {\pi ^{2}}{6}}$
Value at $-1$	$-{1 \over 12}$
Value at $-2$	$0$

القطب عند $z=1$، وصفران على الخط الحرج.

الدالة زيتا (اِقْتِرانُ ريمان الزَّائِيُّ حسب مجمع اللغة العربية بالقاهرة) دالة خاصّة لها أهمية عظيمة في نظرية الأعداد. تعريفها المشهور الصالح لأجل $\Re (s)>1$

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.$

يمكن تعريفها بصيغ أخرى عدبدة نخص بالذكر منها جداء أويلر

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\mbox{ prime}}}^{\infty }(1-p^{-s}).$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 التعريف

مقال برنارد ريمان، On the number of primes below a given magnitude.

 صيغة الدالة للأعداد الزوجية

هذه الصيغة تنسب لأويلر، وهي تعطي قيمة ζ‏(2k) للأعداد الزوجية:

$\zeta (2k)={\frac {(-1)^{k-1}B_{2k}(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}$

حيث B_2k هي أعداد بيرنولي.

و هذه بعض القيم:

ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, ζ(8) = π⁸/9450

أما بالنسبة للأعداد الفردية, فلا توجد صيغة لحساب زيتا. فقط نعرف قيمة 3 التي هي: ζ(3) = 1,2020569 ،

 انظر أيضاً

• 1 + 2 + 3 + 4 + ···
• Arithmetic zeta function
• Generalized Riemann hypothesis
• Lehmer pair
• Particular values of Riemann zeta function
• Prime zeta function
• Riemann Xi function
• Renormalization
• Riemann–Siegel theta function
• ZetaGrid

 المراجع

• قالب:Dlmf
• Borwein, Jonathan; Bradley, David M.; Crandall, Richard (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF). J. Comp. App. Math. 121 (1–2): 247–296. Bibcode:2000JCoAM.121..247B. doi:10.1016/S0377-0427(00)00336-8.
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (2002). "Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments". J. Comp. App. Math. 142 (2): 435–439. Bibcode:2002JCoAM.142..435C. doi:10.1016/S0377-0427(02)00358-8. MR 1906742.
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1997). "Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms". Proc. Amer. Math. Soc. 125 (9): 2543–2550. doi:10.1090/S0002-9939-97-04102-6.
• Edwards, H. M. (1974). Riemann's Zeta Function. Academic Press. ISBN 0-486-41740-9. Has an English translation of Riemann's paper.
• Hadamard, Jacques (1896). "Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques". Bulletin de la Société Mathématique de France. 14: 199–220. doi:10.24033/bsmf.545.
• Hardy, G. H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press, Oxford.
• Hasse, Helmut (1930). "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe". Math. Z. 32: 458–464. doi:10.1007/BF01194645. MR 1545177. S2CID 120392534. (Globally convergent series expression.)
• Ivic, A. (1985). The Riemann Zeta Function. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-80634-X.
• Motohashi, Y. (1997). Spectral Theory of the Riemann Zeta-Function. Cambridge University Press. ISBN 0521445205.
• Karatsuba, A. A.; Voronin, S. M. (1992). The Riemann Zeta-Function. Berlin: W. de Gruyter.
• Mező, István; Dil, Ayhan (2010). "Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function". Journal of Number Theory. 130 (2): 360–369. doi:10.1016/j.jnt.2009.08.005. hdl:2437/90539. MR 2564902.
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative number theory. I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. Cambridge University Press. Ch. 10. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Newman, Donald J. (1998). Analytic number theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 177. Springer-Verlag. Ch. 6. ISBN 0-387-98308-2.
• Raoh, Guo (1996). "The Distribution of the Logarithmic Derivative of the Riemann Zeta Function". Proceedings of the London Mathematical Society. s3–72: 1–27. arXiv:1308.3597. doi:10.1112/plms/s3-72.1.1.
• Riemann, Bernhard (1859). "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse". Monatsberichte der Berliner Akademie.. In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
• Sondow, Jonathan (1994). "Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series" (PDF). Proc. Amer. Math. Soc. 120 (2): 421–424. doi:10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7.
• Titchmarsh, E. C. (1986). Heath-Brown (ed.). The Theory of the Riemann Zeta Function (2nd rev. ed.). Oxford University Press.
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course in Modern Analysis (4th ed.). Cambridge University Press. Ch. 13.
• Zhao, Jianqiang (1999). "Analytic continuation of multiple zeta functions". Proc. Amer. Math. Soc. 128 (5): 1275–1283. doi:10.1090/S0002-9939-99-05398-8. MR 1670846.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 وصلات خارجية

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Zeta-function", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld — an explanation with a more mathematical approach
• Tables of selected zeros
• Prime Numbers Get Hitched A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers.
• X-Ray of the Zeta Function Visually oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary.
• Formulas and identities for the Riemann Zeta function functions.wolfram.com
• Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers, section 23.2 of Abramowitz and Stegun
• Frenkel, Edward. "Million Dollar Math Problem" (video). Brady Haran. Retrieved 11 March 2014.
• Mellin transform and the functional equation of the Riemann Zeta function—Computational examples of Mellin transform methods involving the Riemann Zeta Function