الوتر المهتز

الاهتزاز، وهي أمواج مستقرة في وتر. النغمات الأساسية وأول 5 فوق نغمات في وتر متناغم.

ينشأ الاهتزاز vibration في وتر string مرن ومشدود ومثبت من إحدى نهايتيه أو كلتيهما نتيجة اضطراب طولاني أو عرضاني يَحدث فيه فيخرجه عن وضع توازنه. ينتشر هذا الاضطراب عبر الوتر مع الزمن على شكل موجة، وتخضع الجسيمات المكونة له لانزياحات مختلفة تحددها طبيعة الموجة.

تعطى سرعة انتشار موجة الاضطراب ـ وهي تتعلق بالخصائص الميكانيكية للوتر فقط ـ بالعلاقة:

$v={\sqrt {T \over \mu }}.$

حيث T هي التوتر (قوة الشد) المطبق على الوتر، و μ كتلة واحدة الطول منه. فإذا كانت كتلته m وطوله L فإن

                        μ = m/L.

إذا أُحدث اضطراب طولاني أو عرضاني عند إحدى نهايتي الوتر، لتكن النهاية الواقعة عند x = 0، وكان على شكل موجة جيبية سعتها A وتواترها الزاوي ω = 2π f حيث f التواتر معطاة بالعلاقة:

(2) y (x = 0, t) = A sin ωt

حيث t الزمن و y الانزياح فإن هذا الاضطراب ينتشر في الوتر ويصل إلى نقطة منه تبعد مسافة x عن المبدأ بعد زمن قدره ، وتعطى معادلة انزياح هذه النقطة في اللحظة t بالعلاقة:

(3) y (x, t) = A sin (ω t ± κ x)

حيث تدل إشارة (-) إلى انتقال نحو اليمين، وإشارة (+) إلى انتقال نحو اليسار. أما الثابتة k فهي العدد الموجي wave number وتساوي حيث λ طول موجة الاهتزاز. وتجدر الإشارة هنا إلى أن الذي ينتقل بتلك السرعة هو الاضطراب أما جزيئات الوتر فتتحرك في مواضعها للأعلى وللأسفل أو ذهاباً وإياباً. وتعطي المعادلة (3) تغير الانزياح y لنقطة معينة x من الوتر بدلالة الزمن، أو التغير في لحظة معينة t لأي نقطة من الوتر.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 الأمواج المستقرة في وتر مشدود مثبت من نهايتيه

عندما تصل الموجة إلى نقطة تثبيت الوتر في نهايته تنعكس هناك وترجع منتشرة على الوتر بالاتجاه المعاكس. ففي كل نقطة من الوتر تبعد مسافة x عن المبدأ تؤثر موجتان، موجة منتقلة نحو نقطة الربط وموجة منعكسة عندها، فتتراكب الموجتان وتتداخلان وتنشأ موجة مستقرة ويصبح الوتر على شكل المغزل (أو المغازل).

توجد على الوتر نقاط تنعدم فيها الحركة تسمى العُقَد nodes كما توجد بين العُقَد نقاط تكون سعة الحركة فيها أعظمية تسمى البطون antinodes (الشكل 1).

ولاشتقاق صيغة دالة الموجة المستقرة تجمع الدالتان y1(x, t) و y2(x, t) للموجتين اللتين لهما سعة واحدة ودور واحد وطول موجي واحد وتنتشران في اتجاهين متعاكسين، وممثلتان بالمعادلة (3). فالمعادلة y1(x, t) = A sin (ωt + κx) تمثل موجة واردة تنتقل إلى اليسار على المحور x+، وعندما تصل إلى النقطة x تساوي الصفر تنعكس. والمعادلة y2(x, t) = -A sin (ωt – κx) تمثل موجة منعكسة تنتشر إلى يمين النقطة x = الصفر. والدالة y (t, x) هي حاصل جمع الدالتين:

(4) y (x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = (2A sin κx) cos ωt

وهي معادلة موجة مستقرة في وتر مثبت عند الطرف x = الصفر. تحدث العقد من أجل sin κx = 0، ويحدث هذا من أجل κx = 0, π, 2π, 3π,....

ولما كان فإن مواضع العقد الممكنة هي:

أو بدلالة λ:

ويُبَيّن الشكل (2) تشكل الموجات المستقرة من أجل قيم n المساوية 1 و 2 و 3 و 4.

 التواتر الأساسي والتوافقيات والأنماط

عند نقر وتر طوله محدد L ومثبت من نهايتيه بإحكام ـ شأن الأوتار في معظم الآلات الموسيقية الوترية ـ تنتج موجة مستقرة. تولِّد هذه الموجةُ المستقرة موجةً صوتية في الهواء تواترها هو تواتر تجاوب الوتر، الذي يتعين بخواص الوتر. ينبغي أن يكون للموجة المستقرة التي تنشأ في الوتر عقدتان في طرفيه المثبتين. وهذا ما يحدّ من الاهتزازات المحتملة. فطول الموجة يجب أن يكون مساوياً ، وهذا يوافق من أجل n =1 صوتاً صادراً عن الوتر تواتره ، وهو ما يعرف بالتواتر الأساسي fundamental frequency (الشكل 2) حيث تتشكل عقدة عند كل من الطرفين وبطن في المنتصف. يمثل هذا واحداً من أنماط اهتزاز الوتر، وبالرجوع إلى المعادلة (1) يعطى التواتر الأساسي بالعلاقة:

يهتز الوتر المثالي بالتواتر الأساسي ومضاعفاته التي تدعى كل التوافقيات التابعة لذلك التواتر. وتكون مواضع العقد والبطون معاكسة لمثيلاتها التي تحدث في عمود الهواء المفتوح [المزمار]. وتشير المعادلة (5) التي تعطي مواضع تشكل العقد في الوتر إلى أنه توجد أنماط أخرى مسموح بها.

الشكل (3) التواتر الأساسي وتواترات التوافقيات الست الأولى لوتر مثبت من طرفيه

ويبين الشكل (3) أمواجاً مستقرة عديدة تدعى التوافقيات harmonics (المدروجات) وهي الموافقة لقيم الأطوال الموجية التي يمكن الحصول عليها على الوتر المثبت من طرفيه، وهي:

ومنها تستنتج تواترات كل التوافقيات الخاصة بالوتر وهي:

 طبقة الصوت

تتحدد طبقة الصوت الذي يصدره وتر مهتز بتواتر تجاوبه الذي يتعين بطوله وكتلته وبقوة الشد. كما تشير إلى ذلك المعادلتان (6) و (8). تتغير الطبقة بطرق مختلفة مع هذه الوسطاء المختلفة كما هو موضح في الأمثلة الآتية: إذا كان الوتر يبدأ بطبقة تواترها = 100 هرتز فمضاعفة الطول تخفِّض الطبقة إلى النصف، أي تجعلها 50 هرتز. وإذا تضاعفت قوة الشد أربع مرات فتصبح الطبقة 200 هرتز. أما إذا تضاعفت كتلته (مع بقاء طوله ثابتاً) فسيكون تواتره 50 هرتز. وهكذا فإن زيادة التواتر بمقدار ثُمانية واحدة (أي أوكتاف واحد) يتطلب مضاعفة قوة الشد أربع مرات. فمن أجل قوة شد To مطبقة على وتر معروف الطول والكتلة، يصدر صوتاً تواتره fo.

ويلخص الجدول (1) قوى الشد اللازمة لرفع طبقة الوتر بمقدار ثمانية واحدة (أوكتاف واحد) أو أكثر فوق f0.

قوة الشد الابتدائية To التواتر الابتدائي Fo

مقدار زيادة الطبقة قوة الشد اللازمة التواتر الناتج ثُمانية واحدة (أوكتاف واحد) x4To x2fo ثُمانيتان x10To X4fo ثلاث ثُمانيات x64To x8fo أربع ثُمانيات x256To x16fo خمس ثُمانيات x1024To x232fo الجدول (1)

 أمثلة حقيقية

انظر أيضاً: Guitar tunings, 12 equal temperament, and A440 (pitch standard)

يمتلك مستخدم ويكيبيديا جيتار كهربائي من نوع جاكسون Professional Soloist XL مسافة من القطعة الأخيرة من الجيتار - إلى - الجسر (المقابلة لـ $L$ أعلاه) 25⁵⁄₈ بوصة والنوع D'Addario XL من النيكل الملفوف Super-light-gauge EXL -120 حيث تكون أوتار الجيتار كهربائي بمواصفات الشركة المصنعة التالية:

مواصفات الشركة المصنعة لـ D'Addario EXL-120

رقم الوتر	السماكة [بوصة] ($d$)	التوتر الموصى به [رطل] ($T$)	$\rho$ [g/cm3]
1	0.00899	13.1	7.726 (سبيكة صلب)
2	0.0110	11.0	"
3	0.0160	14.7	"
4	0.0241	15.8	6.533 (سبائك الصلب النيكل الملفوف)
5	0.0322	15.8	"
6	0.0416	14.8	"

بالنظر إلى المواصفات المذكورة أعلاه، ما هي الترددات الاهتزازية المحسوبة ($f$) للتوافقيات الأساسية للأوتار أعلاه إذا كانت الأوتار مثبتة وفقاً للتوترات التي أوصت بها الشركة المصنعة؟

للإجابة عن هذا السؤال، يمكننا البدء بالصيغة الواردة في القسم السابق بـ $n=1$:

$f={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}$

يمكن التعبير عن الكثافة الخطية $\mu$ من حيث الكثافة المكانية (الكتلة/الحجم) $\rho$ عبر العلاقة $\mu =\pi r^{2}\rho =\pi d^{2}\rho /4$, حيث $r$ هو نصف قطر الوتر و$d$ هو القطر (المعروف بالسماكة) في الجدول أعلاه:

$f={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {T}{\pi d^{2}\rho /4}}}={\frac {1}{2Ld}}{\sqrt {\frac {4T}{\pi \rho }}}={\frac {1}{Ld}}{\sqrt {\frac {T}{\pi \rho }}}$

لأغراض الحساب، يمكننا استبدال التوتر $T$ أعلاه، عبر قانون نيوتن الثاني (القوة = الكتلة والأزمنة؛ التسارع)، التعبير $T=ma$، حيث $m$ هي الكتلة التي سيكون لها، على سطح الأرض، الوزن المكافئ المقابل لقيم التوتر $T$ في الجدول أعلاه، كما هو مرتبط من خلال التسارع القياسي بسبب الجاذبية على سطح الأرض، $g_{0}=980.665$ cm/s². (يعتبر هذا الاستبدال مناسباً هنا نظراً لأن توترات التوتر التي قدمتها الشركة المصنعة أعلاه هي في رطل من القوة، والتي يمكن تحويلها بسهولة إلى كتل مكافئة بالكيلوغرام عبر عامل التحويل المألوف 1 lb. = 453.59237 g.) ثم تصبح الصيغة أعلاه صراحة:

$f_{\mathrm {Hz} }={\frac {1}{L_{\mathrm {in} }\times 2.54\ \mathrm {cm/in} \times d_{\mathrm {in} }\times 2.54\ \mathrm {cm/in} }}{\sqrt {\frac {T_{\mathrm {lb} }\times 453.59237\ \mathrm {g/lb} \times 980.665\ \mathrm {cm/s^{2}} }{\pi \times \rho _{\mathrm {g/cm^{3}} }}}}$

ينتج عن استخدام هذه الصيغة لحساب $f$ للسلسلة رقم. 1 أعلاه:

$f_{1}={\frac {1}{25.625\ \mathrm {in} \times 2.54\ \mathrm {cm/in} \times 0.00899\ \mathrm {in} \times 2.54\ \mathrm {cm/in} }}{\sqrt {\frac {13.1\ \mathrm {lb} \times 453.59237\ \mathrm {g/lb} \times 980.665\ \mathrm {cm/s^{2}} }{\pi \times 7.726\ \mathrm {g/cm^{3}} }}}\approx 330\ \mathrm {Hz}$

يؤدي تكرار هذا الحساب لجميع الأوتار الستة إلى الترددات التالية. تظهر بجانب كل تردد النوتة الموسيقية (في تدوين النغمة العلمية) في ضبط الجيتار القياسي التي يكون ترددها أقرب ما يكون، مما يؤكد أن توتير الأوتار أعلاه عند التوترات الموصى بها من الشركة المصنعة ينتج بالفعل في النغمات القياسية للجيتار:

التوافقيات الأساسية كما تم حسابها بواسطة صيغ اهتزاز الوتر أعلاه

رقم الوتر	التردد المحسوب [هرتز]	التدوين الأقرب في ضبط A440 12-TET
1	330	E4 (= 440 ÷ 25/12 ≈ 329.628 Hz)
2	247	B3 (= 440 ÷ 210/12 ≈ 246.942 Hz)
3	196	G3 (= 440 ÷ 214/12 ≈ 195.998 Hz)
4	147	D3 (= 440 ÷ 219/12 ≈ 146.832 Hz)
5	110	A2 (= 440 ÷ 224/12 = 110 Hz)
6	82.4	E2 (= 440 ÷ 229/12 ≈ 82.407 Hz)

 انظر أيضاً

• Fretted instruments
• Musical acoustics
• Vibrations of a circular drum
• Melde's experiment
• 3rd bridge (الرنين التوافقي على أساس تقسيمات وتر متساوية)
• String resonance
• Reflection phase change

 المصادر

• محمد قعقع. "الوتر المهتز". الموسوعة العربية.
• Molteno, T. C. A.; N. B. Tufillaro (September 2004). "An experimental investigation into the dynamics of a string". American Journal of Physics. 72 (9): 1157–1169. Bibcode:2004AmJPh..72.1157M. doi:10.1119/1.1764557.
• Tufillaro, N. B. (1989). "Nonlinear and chaotic string vibrations". American Journal of Physics. 57 (5): 408. Bibcode:1989AmJPh..57..408T. doi:10.1119/1.16011.

Specific

 وصلات خارجية

• "The Vibrating String" by Alain Goriely and Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project.