المبرهنة الأساسية للتكامل

صورة توضح كيفية تقسيم السطح تحت المنحنى إلى اجزاء مستطيلة لحساب مجموع الأجزاء.

تقوم المبرهنة الأساسية في التكامل على اثبات أن تابع المساحة الذي يربط بين قيمة x والمساحة المحصورة بين منحني التابع والمحورين الإحداثيين والمستقيم X=x هو تابع أصلي للتابع المكامل أي أن اشتقاقه سيعطي تابع المنحنى نفسه.

ويعتمد برهان ذلك على تقسيم المساحة المحصورة تحت منحنى التابع إلى مستطيلات صغيرة يعتبر مجموعها تقريبا للمساحة المحصورة تحت المنحني المعتبر. تقوم المبرهنة بعد ذلك باستخدام مفهوم النهايات حيث تعتبر أن مجموع مساحات المستطيلات يقترب إلى نهاية تساوي المساحة المحصورة تحت منحني التابع كلما قلصنا قاعدة المستطيلات المساوية لتفاضل المتغير المستقل x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 الصيغ الأساسية

تقول المبرهنة :

I.

لتكن f دالة حقيقية مستمرة معرفة على مجال مغلق [a, b]. إذا كان F دالة معرفة للمتغير x ضمن المجال [a, b] فإن

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

عندئذ :

$F'(x)=f(x)\,$

من أجل كل قيمة ل x في [a, b].

II.

لتكن f دالة حقيقية معرفة على المجال المغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة بحيث تحقق

$f(x)=F'(x)\,$ أيا كانت قيمة x ضمن المجال [a, b]

عندئذ :

$\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

 النتيجة

لتكن f دالة حقيقية معرفة على المجال المغلق [a, b]. إذا كانت F دالة معرفة بحيث تحقق

$f(x)=F'(x)\,$ أيا كانت قيمة x ضمن المجال [a, b]

عندئذ

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt+F(a)$

و

$f(x)={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)dt$.