اشتقاق (رياضيات)

يعبر التفاضل عن المعدل الذي تتغير به قيمة y نتيجة تغير قيمة x توجد بينهما علاقة رياضية أو دالة رياضية .و تعرف المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى {f(x عند أي نقطة بشرط وجود هذه المشتقة أو هي السرعة اللحظية أو معدل التغيير اللحظي للدالة . نستخدم الرمز Δ للدلالة على التغير في الكمية . ويكون معدل التغير هو نهاية نسبة تغير y إلى نسبة تغير x :

${\displaystyle{\displaystyle{\frac{\Delta y}{\Delta x}}}}$

عندما Δx تقارب 0 .

يمكن أن نكتب مشتق y بالنسبة ل x : (ترميز لايبنز)

${\displaystyle{\displaystyle{\frac{dy}{dx}}}}$

التعبير الدقيق عن مفهوم الاشتقاق يكون باستخدام مقادير لا متناهية في الصغر:

${\displaystyle{\displaystyle\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}.}}$

المنحنى معبر بالأحمر، ومستقيم الظل معبر بالأسود، ونقطة تماس المنحنى مع المستقيم، يسمى بالعدد المشتق

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 رمز الإشتقاق

يمكن التعبير عن المشتق بعدة صيغ، أبرزها :

• صيغة جوزيف لويس لاغرانج :

${\displaystyle{\displaystyle f^{\prime}\left(x\right)}}$

• صيغة غوتفريد لايبنتز :

${\displaystyle{\displaystyle{\frac{{\mathrm{d}}f}{{\mathrm{d}}x}}}}$ ،والتي تكافئ الصيغة ${\displaystyle{\displaystyle{\frac{{\mathrm{d}}\left(f(x)\right)}{{\mathrm{d}}x}}}}$

• صيغة إسحاق نيوتن :

${\displaystyle{\displaystyle{\dot{x}}={\frac{{\mathrm{d}}x}{{\mathrm{d}}t}}=x^{\prime}(t)}}$ ،تستعمل خاصة في الفيزياء .

• صيغة ليونهارد أويلر :

${\displaystyle{\displaystyle D_{x}f(x)\;}}$

 الاشتقاق الثابت

في التحليل الرياضي ، مشتق ثابت أو تابع ثابت هو الصفر . التابع الثابت هو تابع لا يعتمد على أي متغير مستقل مثل :

f(x) = 7

 مشتقات بعض الدوال المعروفة

الدالة ${\displaystyle{\displaystyle f(x)=\,}}$	المشتقة ${\displaystyle{\displaystyle f^{\prime}(x)=\,}}$	شرط الاشتقاق
${\displaystyle{\displaystyle a\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle 0\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle x\,\in\mathbb{R}}}$
${\displaystyle{\displaystyle ax\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle a\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle x\,\in\mathbb{R}}}$
${\displaystyle{\displaystyle 1\over x\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle-{1\over x^{2}}\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle x\,\in\mathbb{R}^{*}}}$
${\displaystyle{\displaystyle{\sqrt{x}}\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle{1\over 2{\sqrt{x}}}\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle x\,\in\mathbb{R}_{+}^{*}}}$
${\displaystyle{\displaystyle ax^{n}\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle anx^{n-1}\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle n\,\in\mathbb{N}^{*}\quad x\,\in\mathbb{R}}}$
${\displaystyle{\displaystyle ax^{n}\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle anx^{n-1}\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle n\,\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}\quad x\,\in\mathbb{R}^{*}}}$
${\displaystyle{\displaystyle ax^{c}\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle acx^{c-1}\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle c\,\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\quad x\,\in\mathbb{R}^{*+}}}$
${\displaystyle{\displaystyle\cos(x)\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle-\sin(x)\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle x\,\in\mathbb{R}}}$
${\displaystyle{\displaystyle\sin(x)\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle\cos(x)\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle x\,\in\mathbb{R}}}$
${\displaystyle{\displaystyle\tan(x)\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle 1\over\cos^{2}(x)}}$ ou ${\displaystyle{\displaystyle 1+\tan^{2}(x)\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle x\neq{\pi\over 2}+k\pi}}$, ${\displaystyle{\displaystyle k\in\mathbb{Z}}}$
${\displaystyle{\displaystyle\arccos(x)\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle-{1\over{\sqrt{1-x^{2}}}}\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle x\,\in\ ]-1;1[}}$
${\displaystyle{\displaystyle\arcsin(x)\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle{1\over{\sqrt{1-x^{2}}}}\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle x\,\in\ ]-1;1[}}$
${\displaystyle{\displaystyle\arctan(x)\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle{1\over 1+x^{2}}\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle x\,\in\mathbb{R}}}$
${\displaystyle{\displaystyle a^{x}\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle a^{x}\ln a\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle a\,\in\mathbb{R}_{+}^{*}\quad x\,\in\mathbb{R}}}$
${\displaystyle{\displaystyle\ln|x|\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle 1\over x\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle x\,\in\mathbb{R}^{*}}}$
${\displaystyle{\displaystyle\exp{x}\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle\exp{x}\,\!}}$	${\displaystyle{\displaystyle x\,\in\mathbb{R}}}$

 انظر أيضاً

• أمثلة على الاشتقاق