تصادم مرن

تتصادم جزيئات الهواء عادة تصادما مرنا .

في التصادم المرن تكون طاقة الحركة الكلية بعد التصادم مساوية لطاقة الحركة الكلية قبل التصادم . فالتصادم المرن يحدث فقط عندما لا يتحول أي جزء من طاقة الحركة خلال التصادم إلى طاقة من نوع آخر. وخلال التصادم تتحول طاقة الحركة أولا إلى طاقة وضع مصحوبة بقوة رد فعل طاردة بين الأجسام ، وبعدها تتحول ثانيا إلى طاقة حركة منقسمة على الأجسام بحسب كتلة كل منها . ويعتبر تصادم جزيئات الهواء من جزيئات أكسجين وجزيئات نيتروجين نوعا للتصادم المرن .

ولكن من أجل الحفاظ على دقة القول فعند اصتدام الجزيئات أو الذرات في الحالة الغازية أو السائلة قليلا ما يحدث التصادم المرن المثالي ، فبعض من طاقة الحركة تأخذها بعض الجزيئات كطاقة دورانية أو طاقة اهتزازية بحسب ما لها من إمكانيات ( إمكانيات الجزيئ للحركة الانتقالية ، أو الحركة الدورانية أو الحركة الاهتزازية ، تُسمي درجة حريته degree of freedom ) . ففي حالة الغازات تعتبر نصف التصادمات غير مرنة وهذا معناه أن جزءا من طاقة الحركة الابتدائية تتحول إلى أنواع أخرى من الطاقة .

وفي حياتنا العادية يندر أن يحدث التصادم المرن ، اللهم إلا في حالة اللعب بالكرة أو لعب البلياردو ، فهذا النوع من التصادم يعتبر تصادما مرنا.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 المعادلات

 النيوتونية أحادية البعد (التصادم المستقيم)

Professor Walter Lewin explaining one-dimensional elastic collisions

نعني بالتصادم أحادي المحور أن التصادم يحدث هنا على خط مستقيم بدون حدوث أي زوايا تتخذها الأجسام بعد الاصتدام . نفرض أن لدينا جسمان 1 و 2 وكتلة كل منهما m والسرعة u قبل التصادم و v بعد التصادم. فتتساوى طاقة الحركة قبل وبعد التصادم ، وكذلك يتساوى كمية التحرك قبل وبعد التصادم . وطبقا للمعادلة العامة لنيوتن لكمية الحركة والتي تنص على:

m1v1 + m2v2 = 'm1v1 + 'm2v2

إذا ً بالمثل ، فطاقة الحركة قبل وبعد التصادم يجب أن تكون متساويتان ، أي أن:

${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

وكمية التحرك الكلية تكون متساوية قبل وبعد التصادم ، أي أن:

$\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}.$

يمكن حل تلك المعادلتين للحصول على $\ v_{1}$ و $\ v_{2}$. ولكن ذلك قد يكون مرهقا . ويمكننا تلافي تلك الصعوبة باختيار سرعة أحد الجسمين صفرا ، أي أننا نضع $\ v_{1}$ = 0 أو $\ v_{2}$ = 0 وهذه العملية تعادل تغيير مختبر المشاهدة . ولكن النتيجة لا تتغير بتغير مختبر المشاهدة ، إذ يمكننا بعد الحصول على إحدى السرعات الرجوع إلى مختبرنا الأول لحساب السرعة الثانية .

فبمجرد وضع إحدى السرعتين = 0 يمكننا حل المعادلتين بسهولة ، فنحصل على:

$v_{1}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$ , $v_{2}={\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}$

وبالتالي :

$\ v_{1}=u_{1}$ , $\ v_{2}=u_{2}$.

وإلى هنا تبدو تلك المعادلة الأخيرة كما لو لم يحدث تصادم على الإطلاق ، ولكن لنتريث قليلا ،

وعلى سبيل المثال، إذا كانت لدينا كرتان مختلفتي الكتلة Ball 1 و Ball 2 ومختلفتي السرعة ، قبل التصادم:

Ball 1: mass = 3 kg, v = 4 m/s

Ball 2: mass = 5 kg, v = −6 m/s

وبعد التصادم :

Ball 1: v = −8.5 m/s

Ball 2: v = 1.5 m/s

(ملحوظة : السرعة من القيم المتجهة . لهذا إذا تحركت الأولي من اليمين إلي السار فتكون القيمة المتجهة لسرعتها موجبة ، أما الكرة التي تتحرك من اليسار إلي اليمين فتكون سرعتها المتجهة سالبة.)

نستخلص من القيم قبل التصادم وبعده المعادلة :

$\ v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}$

شرح الحل:

باستعمال معادلة طاقة الحركة نحصل على :

$\ m_{1}(v_{1}^{2}-u_{1}^{2})=m_{2}(u_{2}^{2}-v_{2}^{2})$

$\Rightarrow m_{1}(v_{1}-u_{1})(v_{1}+u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})(u_{2}+v_{2})$

وبالنسبة إلى معادلة كمية التحرك نحصل على:

$\ m_{1}(v_{1}-u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})$

وبقسمة معادلة طاقة الحركة على معادلة كمية التحرك ، نحصل على:

$\ v_{1}+u_{1}=u_{2}+v_{2}$

$\Rightarrow v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}$

ونجد النتائج الآتية:

• تنعكس السرعة النسبية لإحدي الكرات بالنسبة للكرة الأخرى بعد الاصتدام ،

• متوسط كمية تحرك كل كرة قبل وبعد التصادم متساوية .

(هذا مع إهمال قوى الاحتكاك !)

تصادم مرن لجسمين متساويا الكتلة

وكما كان متوقعا ، فالحل لا يتغير إذا قمنا بإضافة ثابت إلى جميع السرعات قبل وبعد الاصتدام . وهذا يعادل إمكانية اختيار مختبر متحرك ( أو مشاهد متحرك ) بسرعة ثابتة ، فهذا لا يؤثر على النتيجة ، وبذلك يتحقق قانوني إنحفاظ طاقة الحركة و إنحفاظ كمية الحركة.

تصادم مرن لجسمين في مختبر متحرك بسرعة ثابتة

 ثنائية الأبعاد

For the case of two non-spinning colliding bodies in two dimensions, the motion of the bodies is determined by the three conservation laws of momentum, kinetic energy and angular momentum. The overall velocity of each body must be split into two perpendicular velocities: one tangent to the common normal surfaces of the colliding bodies at the point of contact, the other along the line of collision. Since the collision only imparts force along the line of collision, the velocities that are tangent to the point of collision do not change. The velocities along the line of collision can then be used in the same equations as a one-dimensional collision. The final velocities can then be calculated from the two new component velocities and will depend on the point of collision. Studies of two-dimensional collisions are conducted for many bodies in the framework of a two-dimensional gas.

Two-dimensional elastic collision

In a center of momentum frame at any time the velocities of the two bodies are in opposite directions, with magnitudes inversely proportional to the masses. In an elastic collision these magnitudes do not change. The directions may change depending on the shapes of the bodies and the point of impact. For example, in the case of spheres the angle depends on the distance between the (parallel) paths of the centers of the two bodies. Any non-zero change of direction is possible: if this distance is zero the velocities are reversed in the collision; if it is close to the sum of the radii of the spheres the two bodies are only slightly deflected.

Assuming that the second particle is at rest before the collision, the angles of deflection of the two particles, $\theta _{1}$ and $\theta _{2}$, are related to the angle of deflection $\theta$ in the system of the center of mass by

$$\tan \theta _{1}={\frac {m_{2}\sin \theta }{m_{1}+m_{2}\cos \theta }},\qquad \theta _{2}={\frac {{\pi }-{\theta }}{2}}.$$

The magnitudes of the velocities of the particles after the collision are:

$${\begin{aligned}v'_{1}&=v_{1}{\frac {\sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos \theta }}{m_{1}+m_{2}}}\\v'_{2}&=v_{1}{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\sin {\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}$$

 Two-dimensional collision with two moving objects

The final x and y velocities components of the first ball can be calculated as:

$${\begin{aligned}v'_{1x}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\cos(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\cos(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\\[0.8em]v'_{1y}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\sin(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\sin(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}),\end{aligned}}$$

where v₁ and v₂ are the scalar sizes of the two original speeds of the objects, m₁ and m₂ are their masses, θ₁ and θ₂ are their movement angles, that is, $v_{1x}=v_{1}\cos \theta _{1},\;v_{1y}=v_{1}\sin \theta _{1}$ (meaning moving directly down to the right is either a −45° angle, or a 315° angle), and lowercase phi (φ) is the contact angle. (To get the x and y velocities of the second ball, one needs to swap all the '1' subscripts with '2' subscripts.)

This equation is derived from the fact that the interaction between the two bodies is easily calculated along the contact angle, meaning the velocities of the objects can be calculated in one dimension by rotating the x and y axis to be parallel with the contact angle of the objects, and then rotated back to the original orientation to get the true x and y components of the velocities.

In an angle-free representation, the changed velocities are computed using the centers x₁ and x₂ at the time of contact as

$${\begin{aligned}\mathbf {v} '_{1}&=\mathbf {v} _{1}-{\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2},\,\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\rangle }{\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}),\\\mathbf {v} '_{2}&=\mathbf {v} _{2}-{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1},\,\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\rangle }{\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1})\end{aligned}}$$

where the angle brackets indicate the inner product (or dot product) of two vectors.

 Other conserved quantities

In the particular case of particles having equal masses, it can be verified by direct computation from the result above that the scalar product of the velocities before and after the collision are the same, that is $\langle \mathbf {v} '_{1},\mathbf {v} '_{2}\rangle =\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle .$ Although this product is not an additive invariant in the same way that momentum and kinetic energy are for elastic collisions, it seems that preservation of this quantity can nonetheless be used to derive higher-order conservation laws.

 انظر أيضا

• تصادم
• تصادم غير مرن
• Coefficient of restitution

 المراجع

 المراجع العامة

• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1976). Mechanics (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8.
• Raymond, David J. "10.4.1 Elastic collisions". A Radically Modern Approach to Introductory Physics. Vol. 1: Fundamental Principles. Socorro, New Mexico: New Mexico Tech Press. ISBN 978-0-9830394-5-7.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2014). "9: Linear Momentum and Collisions". Physics for scientists and engineers with modern physics (9th ed.). Boston. ISBN 978-1-133-95405-7.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 وصلات خارجية

• Rigid Body Collision Resolution in three dimensions including a derivation using the conservation laws