محدد

(تم التحويل من Determinant)

في الجبر الخطي، المحدد determinant هو دالة رياضية تعتمد على العدد n و يربط قيمة قياسية scalar هي det(A) بكل مصفوفة مربعة n×n .

المعنى الهندسي الأساسي للمحدد هو انه بمثابة عامل المقياس للحجم عندما يعتبر A تحويلا خطيا . المحددات مهمة جدا في التحليل الرياضي (قاعدة الاستبدال) و الجبر الخطي المتعدد multilinear algebra .

يرمز عادة لمحدد مصفوفة ما A بالرمز |A|

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

انواع المحددات

بداية لا يمكن حساب المحدد إلا للمصفوفة المربعة ويكون المحدد بحسب ابعاد المصفوفة فإن كانت المصفوفة المربعة ذات بعد n يكون المحدد من المرتبة n , ويعطي المحدد قيمة عددية للمصفوفة المقابلة


حساب المحددات

  • حساب المحدد من المرتبة الاولى يملك نفس قيمة العنصر الوحيد للمصفوفة المقابلة
  • حساب المحدد من المرتبة الثانية ويكون وفق القانون :

A=

  • حساب المحدد من المرتبة الثالثة :
    • طريقة ساروس :
      طريقة ساروس لحساب محدد من المرتبة الثالثة
    • طريقة النجمة :
      طريقة النجمة

الخطوات : الخطوة الأولى :

نأخذ عناصر القطر الرئيسي ونصل بينها بخط ...

ثم نأخذ العنصر الموجود في الزاوية اليمينية العليا وهو a_13 ونصله بخط مع العنصر a_32

ثم نصل بخط بين العنصرين a_32 و a_21

ثم نصل بين a_21 و a_13 كي نشكل مثلثاً ..


وأيضاً نشكل مثلثاً آخر بنفس الطريقة نصل بين a_31 مع a_12 وبين a_12 مع a_23 ثمَّ بين a_23 مع ئ_31 نأخذ كل 3 عناصر موصولة بخط واحد أو مثلث واحد ونحسب جداءها ونجمع الجداءات

أي (a11 * a22 * a33)+(a13 * a21 * a32)+(a31 * a12 * a23)

الخطوة الثانية : نأخذ عناصر القطر الثانوي ونصل بينها بخط ... ثم نأخذ العنصر الموجود في الزاوية اليسارية العليا وهو a_11 ونصله بخط مع العنصر a_23 ثم نصل بخط بين العنصرين a_23 و a_32 ثم نصل بين a_32 و a_11 كي نشكل مثلثاً ..

ونشكل مثلثاً آخر بنفس الطريقة نصل بين 33 a مع a21 وبين a21 مع a12 ثمَّ بين a12 مع a33 أيضاً نأخذ كل 3 عناصر موصولة بخط واحد أو مثلث واحد ونحسب جداءها ونطرح الجداءات من الناتج السابق أي: - (a13 * a22 * a31) – (a11 * a23 * a32) – (a12 * a21 * a33) بجمع المقدارين ينتج لدينا قيمة المحدد ...

مثال : احسب قيمة المحدد التالي : A=


الحل : بحسب طريقة ساروس نأخذ العمودين الأول والثاني ونضعهما على يمين العمود الثالث .. ثم نكمل الحساب كما في السابق : |A|= 3 + 0 + 6 - 6 - 5 – 0 = - 2

2- طريقة النجمة : ( 3 + 6 + 0 ) + (-6 -5 -0) = -2

  • حساب المحددات من المرتبة n

لتكن A=[a_ij ] مصفوفة مربعة من المرتبة n محددها هو |A| ندعو المحدد |Aij| والناتج من حذف السطر i والعمود j في المحدد |A| بصغير العنصر aij من المصفوفة A وندعو بالمتمم الجبري للعنصر aij من المصفوفة A

إن Aij هي المتممات الجبرية للمصفوفة [A=[a_ij من أجل جميع : i= 1, 2, ……n j = 1,2,…….n

يمكن حساب قيمة المحدد |A| من المرتبة n بنشره وفق عناصر السطر i كما يلي :

|A| = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + ai3 .Ai3 + ……………+ ain. Ain


تعريف: لتكن A مصفوفة مربعة من المرتبة n أي أنَّ :

ندعو الرمز |A| أو det A بمحدد المصفوفة A من المرتبة n ونكتب :

det A = = =

مثال :

=

أنواع المحددات :

  1. المحدد من المرتبة الأولى :

= ===>


  1. المحدد من المرتبة الثانية :


خواص المحددات

1.إن |A|=|At| إي أنه :إذا بدلنا في مواقع الأسطر والأعمدة فإن المحدد للمصفوفة A لا تتغير قيمته أي جعلنا الأسطر أعمدة والأعمدة أسطر فإن قيمة المحدد لا تتغير وكل خاصة صحيحة من أجل الأعمدة صحيحة من أجل الأسطر والعكس صحيح .

مثال :

|A| =

|At| =


2.إذا بدلنا بين موضعي سطرين (أو عمودين ) في المحدد |A| فإن قيمة هذا المحدد لا تتغير ولكـــن :: تكون مخالفة بالإشارة

3.إذا كانت جميع عناصر أحد الأسطر (أو أحد الأعمدة ) في محدد ما تساوي الصفر فإن قيمة هذا المحدد تكون معدومة .

مثال

|A|=

لأن العمود الاول كله اصفار.


4.إذا وُجِدَ في محدد سطرين (أو عمودين) متماثلين فإن قيمة هذا المحدد تكون مساوية للصفر .

5.إذا وُجِدَ في محدد سطران متناسبان (أو عمودان متناسبان) فإن قيمة هذا المحدد تساوي الصفر

مثال

|A|= = 18 - 6 - 18 – 18 + 18 + 6 =0

لوجود سطرين متناسبين


6.محدد مصفوفة مثلثية سفلية ( أو علوية ) يساوي إلى جداء عناصر قطرها الرئيسي


مثال :

|A|=


7.إذا كانت جميع عناصر سطر ما أو عمود ما في محدد عبارة عن مجموع عنصرين فإن هذا المحدد يفرق إلى مجموع محددين .

أي : إذا كان السطر i يكتب بالشكل

فإن المحدد |A| يكتب بالشكل :

محدد1.png


مثال :


A= = = +

8.إذا ضربنا أحد الأسطر{ جميع عناصر هذا السطر } (أو أحد الأعمدة ) في محدد ما بعدد ثابت غير معدوم فإن قيمة هذا المحدد تكون مضروبة بهذا العدد.

مثال :

|A| =

|A| =3*


9.قيمة محدد المصفوفة الواحدية هو الواحد

10.لا تتغير قيمة المحدد إذا أضفنا أو طرحنا إلى أحد عناصر أسطره (أو أحد عناصر أعمدته ) العناصر المقابلة لها من سطر آخر ( أو عمود آخر ) بعد ضربها بعدد ما لا يساوي الصفر .


مثال احسب قيمة المحدد التالي :

الحل : نستخدم الطريقة المباشرة ننشر حسب السطر الثاني لوجود صفر فيه

الحل

انظر أيضاً

الهامش

المراجع

  • Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International 
  • Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
  • Bareiss, Erwin (1968), "Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination", Mathematics of Computation 22 (102): 565–578, doi:10.2307/2004533, https://www.ams.org/journals/mcom/1968-22-103/S0025-5718-1968-0226829-0/S0025-5718-1968-0226829-0.pdf 
  • de Boor, Carl (1990), "An empty exercise", ACM SIGNUM Newsletter 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273, http://ftp.cs.wisc.edu/Approx/empty.pdf 
  • Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra I, Chapters 1-3, Springer, ISBN 9783540642435 
  • Bunch, J. R.; Hopcroft, J. E. (1974). "Triangular Factorization and Inversion by Fast Matrix Multiplication". Mathematics of Computation. 28 (125): 231–236. doi:10.1090/S0025-5718-1974-0331751-8. hdl:1813/6003.
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (3rd ed.), Hoboken, NJ: Wiley, ISBN 9780471452348, OCLC 248917264 
  • Fisikopoulos, Vissarion; Peñaranda, Luis (2016), "Faster geometric algorithms via dynamic determinant computation", Computational Geometry 54: 1–16, doi:10.1016/j.comgeo.2015.12.001 
  • Garibaldi, Skip (2004), "The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions", American Mathematical Monthly 111 (9): 761–778, doi:10.2307/4145188 
  • Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). "A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems" (PDF). Journal of Discrete Algorithms. 10: 98–109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007. Archived (PDF) from the original on 2019-05-05.
  • Harris, Frank E. (2014), Mathematics for Physical Science and Engineering, Elsevier, ISBN 9780128010495 
  • Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, ed., A history of abstract algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4 
  • Kung, Joseph P.S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine (2009), Combinatorics: The Rota Way, Cambridge University Press, ISBN 9780521883894 
  • Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
  • Lombardi, Henri; Quitté, Claude (2015), Commutative Algebra: Constructive Methods, Springer, ISBN 9789401799447 
  • Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8 
  • Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html 
  • Muir, Thomas (1960), A treatise on the theory of determinants, Revised and enlarged by William H. Metzler, New York, NY: Dover 
  • Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3 
  • G. Baley Price (1947) "Some identities in the theory of determinants", American Mathematical Monthly 54:75–90 قالب:Mr
  • Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (2018) [1985]. Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6.
  • Lang, Serge (1985), Introduction to Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (2 ed.), Springer, ISBN 9780387962054 
  • Lang, Serge (1987), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (3 ed.), Springer, ISBN 9780387964126 
  • Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-95385-4.
  • Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall 
  • Rote, Günter (2001), "Division-free algorithms for the determinant and the Pfaffian: algebraic and combinatorial approaches", Computational discrete mathematics, Lecture Notes in Comput. Sci., 2122, Springer, pp. 119–135, doi:10.1007/3-540-45506-X_9, ISBN 978-3-540-42775-9 
  • Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997), Numerical Linear Algebra (1st ed.), Philadelphia: SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9 


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Historical references

وصلات خارجية

هناك كتاب ، Linear Algebra، في معرفة الكتب.