محدد

في الجبر الخطي، المحدد determinant هو دالة رياضية تعتمد على العدد n و يربط قيمة قياسية scalar هي det(A) بكل مصفوفة مربعة n×n .

المعنى الهندسي الأساسي للمحدد هو انه بمثابة عامل المقياس للحجم عندما يعتبر A تحويلا خطيا . المحددات مهمة جدا في التحليل الرياضي (قاعدة الاستبدال) و الجبر الخطي المتعدد multilinear algebra .

يرمز عادة لمحدد مصفوفة ما A بالرمز |A|

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 انواع المحددات

بداية لا يمكن حساب المحدد إلا للمصفوفة المربعة ويكون المحدد بحسب ابعاد المصفوفة فإن كانت المصفوفة المربعة ذات بعد n يكون المحدد من المرتبة n , ويعطي المحدد قيمة عددية للمصفوفة المقابلة

 حساب المحددات

• حساب المحدد من المرتبة الاولى يملك نفس قيمة العنصر الوحيد للمصفوفة المقابلة
• حساب المحدد من المرتبة الثانية ويكون وفق القانون :

A=${\begin{vmatrix}a11&a12\\a21&a22\end{vmatrix}}\,=a11*a22-a12*a21$

• حساب المحدد من المرتبة الثالثة :
  • طريقة ساروس :
    

    طريقة ساروس لحساب محدد من المرتبة الثالثة
  • طريقة النجمة :
    

    طريقة النجمة

الخطوات : الخطوة الأولى :

نأخذ عناصر القطر الرئيسي ونصل بينها بخط ...

ثم نأخذ العنصر الموجود في الزاوية اليمينية العليا وهو a_13 ونصله بخط مع العنصر a_32

ثم نصل بخط بين العنصرين a_32 و a_21

ثم نصل بين a_21 و a_13 كي نشكل مثلثاً ..

وأيضاً نشكل مثلثاً آخر بنفس الطريقة نصل بين a_31 مع a_12 وبين a_12 مع a_23 ثمَّ بين a_23 مع ئ_31 نأخذ كل 3 عناصر موصولة بخط واحد أو مثلث واحد ونحسب جداءها ونجمع الجداءات

أي (a11 * a22 * a33)+(a13 * a21 * a32)+(a31 * a12 * a23)

الخطوة الثانية : نأخذ عناصر القطر الثانوي ونصل بينها بخط ... ثم نأخذ العنصر الموجود في الزاوية اليسارية العليا وهو a_11 ونصله بخط مع العنصر a_23 ثم نصل بخط بين العنصرين a_23 و a_32 ثم نصل بين a_32 و a_11 كي نشكل مثلثاً ..

ونشكل مثلثاً آخر بنفس الطريقة نصل بين 33 a مع a21 وبين a21 مع a12 ثمَّ بين a12 مع a33 أيضاً نأخذ كل 3 عناصر موصولة بخط واحد أو مثلث واحد ونحسب جداءها ونطرح الجداءات من الناتج السابق أي: - (a13 * a22 * a31) – (a11 * a23 * a32) – (a12 * a21 * a33) بجمع المقدارين ينتج لدينا قيمة المحدد ...

مثال : احسب قيمة المحدد التالي : A=${\begin{vmatrix}1&0&3\\2&1&5\\2&1&3\end{vmatrix}}\,$

الحل : بحسب طريقة ساروس نأخذ العمودين الأول والثاني ونضعهما على يمين العمود الثالث .. ثم نكمل الحساب كما في السابق : |A|= 3 + 0 + 6 - 6 - 5 – 0 = - 2

2- طريقة النجمة : ( 3 + 6 + 0 ) + (-6 -5 -0) = -2

• حساب المحددات من المرتبة n

لتكن A=[a_ij ] مصفوفة مربعة من المرتبة n محددها هو |A| ندعو المحدد |Aij| والناتج من حذف السطر i والعمود j في المحدد |A| بصغير العنصر aij من المصفوفة A وندعو $Aij=(-1)^{i}+j.|A_{(}ij)|$ بالمتمم الجبري للعنصر aij من المصفوفة A

إن Aij هي المتممات الجبرية للمصفوفة [A=[a_ij من أجل جميع : i= 1, 2, ……n j = 1,2,…….n

يمكن حساب قيمة المحدد |A| من المرتبة n بنشره وفق عناصر السطر i كما يلي :

|A| = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + ai3 .Ai3 + ……………+ ain. Ain

---

تعريف: لتكن A مصفوفة مربعة من المرتبة n أي أنَّ : $A=[a_{ij}]_{n}$

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{13}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

ندعو الرمز |A| أو det A بمحدد المصفوفة A من المرتبة n ونكتب :

det A = $\left|a_{ij}\right|_{n}$ = $\left|A\right|_{n}$ = $\left|A\right|$

مثال :

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{13}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\end{vmatrix}}$ = $\left|A\right|$

أنواع المحددات :

1. المحدد من المرتبة الأولى :

$|a_{11}|$ = $|A|_{1}$ ===> $A=[a_{11}]$

1. المحدد من المرتبة الثانية :

---

 خواص المحددات

1.إن |A|=|At| إي أنه :إذا بدلنا في مواقع الأسطر والأعمدة فإن المحدد للمصفوفة A لا تتغير قيمته أي جعلنا الأسطر أعمدة والأعمدة أسطر فإن قيمة المحدد لا تتغير وكل خاصة صحيحة من أجل الأعمدة صحيحة من أجل الأسطر والعكس صحيح .

مثال :

|A| = ${\begin{vmatrix}1&2\\3&2\end{vmatrix}}\,=-4$

|At| =${\begin{vmatrix}1&3\\2&2\end{vmatrix}}\,=-4$

2.إذا بدلنا بين موضعي سطرين (أو عمودين ) في المحدد |A| فإن قيمة هذا المحدد لا تتغير ولكـــن :: تكون مخالفة بالإشارة

3.إذا كانت جميع عناصر أحد الأسطر (أو أحد الأعمدة ) في محدد ما تساوي الصفر فإن قيمة هذا المحدد تكون معدومة .

مثال

|A|=${\begin{vmatrix}0&1&5&1\\0&2&6&1\\0&3&7&1\\0&4&8&1\end{vmatrix}}\,=0$

لأن العمود الاول كله اصفار.

4.إذا وُجِدَ في محدد سطرين (أو عمودين) متماثلين فإن قيمة هذا المحدد تكون مساوية للصفر .

5.إذا وُجِدَ في محدد سطران متناسبان (أو عمودان متناسبان) فإن قيمة هذا المحدد تساوي الصفر

مثال

|A|=${\begin{vmatrix}3&6&9\\1&2&3\\1&2&1\end{vmatrix}}\,$ = 18 - 6 - 18 – 18 + 18 + 6 =0

لوجود سطرين متناسبين

6.محدد مصفوفة مثلثية سفلية ( أو علوية ) يساوي إلى جداء عناصر قطرها الرئيسي

مثال :

|A|=${\begin{vmatrix}1&1&5&1\\0&2&6&1\\0&0&7&1\\0&0&0&1\end{vmatrix}}=14$

7.إذا كانت جميع عناصر سطر ما أو عمود ما في محدد عبارة عن مجموع عنصرين فإن هذا المحدد يفرق إلى مجموع محددين .

أي : إذا كان السطر i يكتب بالشكل $x1+y1x2+y2x3+y3xn+yn$

فإن المحدد |A| يكتب بالشكل :

مثال :

A=${\begin{vmatrix}1&2&5\\0&5&12\\-1&3&7\end{vmatrix}}\,$ =${\begin{vmatrix}1&2&5\\-1+1&3+2&7+5\\-1&3&7\end{vmatrix}}\,$ =${\begin{vmatrix}1&2&5\\-1&3&7\\-1&3&7\end{vmatrix}}\,$ + ${\begin{vmatrix}1&2&5\\1&2&5\\-1&3&7\end{vmatrix}}\,$

8.إذا ضربنا أحد الأسطر{ جميع عناصر هذا السطر } (أو أحد الأعمدة ) في محدد ما بعدد ثابت غير معدوم فإن قيمة هذا المحدد تكون مضروبة بهذا العدد.

مثال :

|A| =${\begin{vmatrix}3&9&18\\2&4&7\\8&1&1\end{vmatrix}}\,$

|A| =3* ${\begin{vmatrix}1&3&6\\2&4&7\\8&1&1\end{vmatrix}}\,$

9.قيمة محدد المصفوفة الواحدية هو الواحد

10.لا تتغير قيمة المحدد إذا أضفنا أو طرحنا إلى أحد عناصر أسطره (أو أحد عناصر أعمدته ) العناصر المقابلة لها من سطر آخر ( أو عمود آخر ) بعد ضربها بعدد ما لا يساوي الصفر .

مثال احسب قيمة المحدد التالي :

${\begin{vmatrix}2&4&-1&5\\3&0&-3&1\\-1&1&4&3\\1&-5&2&1\end{vmatrix}}\,$

الحل : نستخدم الطريقة المباشرة ننشر حسب السطر الثاني لوجود صفر فيه

 انظر أيضاً

• Cauchy determinant
• Cayley–Menger determinant
• Dieudonné determinant
• Slater determinant
• Determinantal conjecture

 المراجع

انظر أيضاً: Linear algebra § Further reading

• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International 
• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
• Bareiss, Erwin (1968), "Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination", Mathematics of Computation 22 (102): 565–578, doi:10.2307/2004533, https://www.ams.org/journals/mcom/1968-22-103/S0025-5718-1968-0226829-0/S0025-5718-1968-0226829-0.pdf 
• de Boor, Carl (1990), "An empty exercise", ACM SIGNUM Newsletter 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273, http://ftp.cs.wisc.edu/Approx/empty.pdf 
• Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra I, Chapters 1-3, Springer, ISBN 9783540642435 
• Bunch, J. R.; Hopcroft, J. E. (1974). "Triangular Factorization and Inversion by Fast Matrix Multiplication". Mathematics of Computation. 28 (125): 231–236. doi:10.1090/S0025-5718-1974-0331751-8. hdl:1813/6003.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (3rd ed.), Hoboken, NJ: Wiley, ISBN 9780471452348, OCLC 248917264 
• Fisikopoulos, Vissarion; Peñaranda, Luis (2016), "Faster geometric algorithms via dynamic determinant computation", Computational Geometry 54: 1–16, doi:10.1016/j.comgeo.2015.12.001 
• Garibaldi, Skip (2004), "The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions", American Mathematical Monthly 111 (9): 761–778, doi:10.2307/4145188 
• Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). "A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems" (PDF). Journal of Discrete Algorithms. 10: 98–109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007. Archived (PDF) from the original on 2019-05-05.
• Harris, Frank E. (2014), Mathematics for Physical Science and Engineering, Elsevier, ISBN 9780128010495 
• Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, ed., A history of abstract algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4 
• Kung, Joseph P.S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine (2009), Combinatorics: The Rota Way, Cambridge University Press, ISBN 9780521883894 
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
• Lombardi, Henri; Quitté, Claude (2015), Commutative Algebra: Constructive Methods, Springer, ISBN 9789401799447 
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8 
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html 
• Muir, Thomas (1960), A treatise on the theory of determinants, Revised and enlarged by William H. Metzler, New York, NY: Dover 
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3 
• G. Baley Price (1947) "Some identities in the theory of determinants", American Mathematical Monthly 54:75–90 قالب:Mr
• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (2018) [1985]. Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6.
• Lang, Serge (1985), Introduction to Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (2 ed.), Springer, ISBN 9780387962054 
• Lang, Serge (1987), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (3 ed.), Springer, ISBN 9780387964126 
• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-95385-4.
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall 
• Rote, Günter (2001), "Division-free algorithms for the determinant and the Pfaffian: algebraic and combinatorial approaches", Computational discrete mathematics, Lecture Notes in Comput. Sci., 2122, Springer, pp. 119–135, doi:10.1007/3-540-45506-X_9, ISBN 978-3-540-42775-9 
• Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997), Numerical Linear Algebra (1st ed.), Philadelphia: SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Historical references

• Bourbaki, Nicolas (1994), Elements of the history of mathematics, Springer, doi:10.1007/978-3-642-61693-8, ISBN 3-540-19376-6 
• Cajori, Florian (1993), A history of mathematical notations: Including Vol. I. Notations in elementary mathematics; Vol. II. Notations mainly in higher mathematics, Reprint of the 1928 and 1929 originals, Dover, ISBN 0-486-67766-4 
• Bézout, Étienne (1779), Théorie générale des equations algébriques, Paris, https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k106053p.image 
• Cayley, Arthur (1841), "On a theorem in the geometry of position", Cambridge Mathematical Journal 2: 267–271 
• Cramer, Gabriel (1750), Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, Genève: Frères Cramer & Cl. Philibert, doi:10.3931/e-rara-4048 
• Eves, Howard (1990), An introduction to the history of mathematics (6 ed.), Saunders College Publishing, ISBN 0-03-029558-0 
• Grattan-Guinness, I., ed. (2003), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, 1, Johns Hopkins University Press, ISBN 9780801873966 
• Jacobi, Carl Gustav Jakob (1841), "De Determinantibus functionalibus", Journal für die reine und angewandte Mathematik 1841 (22): 320–359, doi:10.1515/crll.1841.22.319, https://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002142724&physid=phys325#navi 
• Laplace, Pierre-Simon, de (1772), "Recherches sur le calcul intégral et sur le systéme du monde", Histoire de l'Académie Royale des Sciences (Paris) (seconde partie): 267–376, https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77596b/f374 

 وصلات خارجية

• قالب:SpringerEOM
• Eric W. Weisstein, Determinant at MathWorld.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Matrices and determinants", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews .
• Determinant Interactive Program and Tutorial
• Linear algebra: determinants. Archived 2008-12-04 at the Wayback Machine Compute determinants of matrices up to order 6 using Laplace expansion you choose.
• Determinant Calculator Calculator for matrix determinants, up to the 8th order.
• Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
• Determinants explained in an easy fashion in the 4th chapter as a part of a Linear Algebra course.