في الديناميكا الحرارية ، العملية الكظمية أو الأديباتيكية[1] Adiabatic هو الإجراء الديناميكي الحراري التي لا يوجد فيها تبادل حراري بين المنظومة والوسط المحيط. أي أنه معزول حرارياً.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
الغاز المثالي (الحالة الانعكاسية فقط) للمواد البسيطة، وأثناء عملية كظومة يحصل فيها تزايد في الحجم، ينبغي أن تتناقص الطاقة الداخلية للمادة العاملة.
تعطى المعادلة الرياضية لغاز مثالي تحت تأثير عملية انعكاسية بالعلاقة:
P
V
γ
=
constant
{\displaystyle PV^{\gamma }=\operatorname {constant} \qquad }
حيث P الضغط, V الحجم المولي النوعي, و
γ
=
C
P
C
V
=
α
+
1
α
,
{\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}={\frac {\alpha +1}{\alpha }},}
C
P
{\displaystyle C_{P}}
الحرارة النوعية لضغط ثابت,
C
V
{\displaystyle C_{V}}
معامل أديباتي .
α
{\displaystyle \alpha }
درجات الحرية مقسومة على 2 (3/2 للغاز أحادي الذرة, 5/2 للغاز ثنائي الذرة).
بالنسبة لغاز مثالي أحادي الذرة,
γ
=
5
/
3
{\displaystyle \gamma =5/3\,}
النيتروجين ، والأكسجين ، المكونات الرئيسية في الغلاف الجوي للأرض أو الهواء .
γ
=
7
/
5
{\displaystyle \gamma =7/5\,}
غازات بوز-أينشتاين أو غازات فيرمي .
للعمليات الكظومة الانعكاسية, يكون التعبير التالي صحيحا أيضا
P
γ
−
1
T
−
γ
=
constant
{\displaystyle P^{\gamma -1}T^{-\gamma }=\operatorname {constant} }
V
T
α
=
constant
{\displaystyle VT^{\alpha }=\operatorname {constant} }
حيث T الحرارة المطلقة.
يمكن كتابة هذا أيضا بالصورة
T
V
γ
−
1
=
constant
{\displaystyle TV^{\gamma -1}=\operatorname {constant} }
اشتقاق الصيغة المتصلة يقتضي تعريف العملية الأديباتية بأن الانتقال الحراري للنظام هو صفر،
Q
=
0
{\displaystyle Q=0}
لـالقانون الأول للثرموديناميكا ,
(1)
d
U
+
δ
W
=
δ
Q
=
0
,
{\displaystyle {\text{(1)}}\qquad dU+\delta W=\delta Q=0,}
حيث أن dU هي التغير في الطاقة الداخلية للنظام وδW هو الشغل المبذول بواسطة النظام.
إن أي شغل مبذول (δW ) يجب أن يتم على حساب الطاقة الداخلية U ، بما أنه لاتوجد حرارة داخلة إلى النظام من المحيط. يعرف شغل الضغط-الحجم δW للنظام بأنه
(2)
δ
W
=
P
d
V
.
{\displaystyle {\text{(2)}}\qquad \delta W=P\,dV.}
لكن، P لا تبقى ثابتة أثناء العملية الكظومة وإنما تتغير مع تغير V .
يكون من الأفض معرفة كيفية ارتباط dP وdV أثناء انجاز العملية الكظومة.
تعطى الطاقة الداخلية لغاز مثالي بالعلاقة
(3)
U
=
α
n
R
T
,
{\displaystyle {\text{(3)}}\qquad U=\alpha nRT,}
حيث R هو ثابت الغاز العام وn عدد المولات في النظام (ثابت).
بمفاضلة المعادلة (3) وباستعمال قانون الغاز المثالي ،
P
V
=
n
R
T
{\displaystyle PV=nRT}
(4)
d
U
=
α
n
R
d
T
=
α
d
(
P
V
)
=
α
(
P
d
V
+
V
d
P
)
.
{\displaystyle {\text{(4)}}\qquad dU=\alpha nR\,dT=\alpha \,d(PV)=\alpha (P\,dV+V\,dP).}
المعادلة (4) يعبر عنها غالبا
d
U
=
n
C
V
d
T
{\displaystyle dU=nC_{V}\,dT}
C
V
=
α
R
{\displaystyle C_{V}=\alpha R}
والان بتعويض المعادلات (2) و(4) في المعادلة (1) نحصل على
−
P
d
V
=
α
P
d
V
+
α
V
d
P
,
{\displaystyle -P\,dV=\alpha P\,dV+\alpha V\,dP,}
بالتبسيط:
−
(
α
+
1
)
P
d
V
=
α
V
d
P
,
{\displaystyle -(\alpha +1)P\,dV=\alpha V\,dP,}
وبقسمة كلا الطرفين على PV :
−
(
α
+
1
)
d
V
V
=
α
d
P
P
.
{\displaystyle -(\alpha +1){dV \over V}=\alpha {dP \over P}.}
بعد مكاملة كلا الطرفين من
V
0
{\displaystyle V_{0}}
P
0
{\displaystyle P_{0}}
ln
(
P
P
0
)
=
−
α
+
1
α
ln
(
V
V
0
)
.
{\displaystyle \ln \left({P \over P_{0}}\right)={-{\alpha +1 \over \alpha }}\ln \left({V \over V_{0}}\right).}
برفع كلا الطرفين للأس,
(
P
P
0
)
=
(
V
V
0
)
−
α
+
1
α
,
{\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V \over V_{0}}\right)^{-{\alpha +1 \over \alpha }},}
وبعزل الإشارة السالبة لبيان أن
(
P
P
0
)
=
(
V
0
V
)
α
+
1
α
.
{\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V_{0} \over V}\right)^{\alpha +1 \over \alpha }.}
لذا,
(
P
P
0
)
(
V
V
0
)
α
+
1
α
=
1
{\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)\left({V \over V_{0}}\right)^{\alpha +1 \over \alpha }=1}
و
P
V
α
+
1
α
=
P
0
V
0
α
+
1
α
=
P
V
γ
=
constant
.
{\displaystyle PV^{\alpha +1 \over \alpha }=P_{0}V_{0}^{\alpha +1 \over \alpha }=PV^{\gamma }=\operatorname {constant} .}
اشتقاق الصيغة المتقطعة يكون التغير في الطاقة الداخلية لنظام ما، مقاسا من الحالة 1 إلى الحالة 2 مساويا لـ:
(1)
Δ
U
=
α
R
n
2
T
2
−
α
R
n
1
T
1
=
α
R
(
n
2
T
2
−
n
1
T
1
)
{\displaystyle {\text{(1)}}\qquad \Delta U=\alpha Rn_{2}T_{2}-\alpha Rn_{1}T_{1}=\alpha R(n_{2}T_{2}-n_{1}T_{1})}
في الوقت يكون الشغل المبذول بواسطة التغير في الضغط الحجمي نتيجة لهذه العملية مساويا لـ:
(2)
W
=
∫
V
1
V
2
P
d
V
{\displaystyle {\text{(2)}}\qquad W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV}
بما أننا بصدد عملية كظومة، ينبغي أن تكون المعادلة التالية صحيحة
(3)
Δ
U
+
W
=
0
{\displaystyle {\text{(3)}}\qquad \Delta U+W=0}
من الاشتقاق السابق,
(4)
P
V
γ
=
constant
=
P
1
V
1
γ
{\displaystyle {\text{(4)}}\qquad PV^{\gamma }={\text{constant}}=P_{1}V_{1}^{\gamma }}
بإعادة الترتيب (4) نحصل على
P
=
P
1
(
V
1
V
)
γ
{\displaystyle P=P_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }}
بالتعويض في (2)
W
=
∫
V
1
V
2
P
1
(
V
1
V
)
γ
d
V
{\displaystyle W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}P_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }\,dV}
بالتكامل،
W
=
P
1
V
1
γ
V
2
1
−
γ
−
V
1
1
−
γ
1
−
γ
{\displaystyle W=P_{1}V_{1}^{\gamma }{\frac {V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }}{1-\gamma }}}
بالتعويض
γ
=
α
+
1
α
{\displaystyle \gamma ={\frac {\alpha +1}{\alpha }}}
W
=
−
α
P
1
V
1
γ
(
V
2
1
−
γ
−
V
1
1
−
γ
)
{\displaystyle W=-\alpha P_{1}V_{1}^{\gamma }\left(V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }\right)}
باعتبار,
W
=
−
α
P
1
V
1
(
(
V
2
V
1
)
1
−
γ
−
1
)
{\displaystyle W=-\alpha P_{1}V_{1}\left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)}
باستخدام قانون الغاز المثالي وبافتراض كمية مولية ثابتة (كما هو الحال عادة في الحالات العملية)،
W
=
−
α
n
R
T
1
(
(
V
2
V
1
)
1
−
γ
−
1
)
{\displaystyle W=-\alpha nRT_{1}\left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)}
من الصيغة المتصلة،
P
2
P
1
=
(
V
2
V
1
)
−
γ
{\displaystyle {\frac {P_{2}}{P_{1}}}=\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{-\gamma }}
أو
(
P
2
P
1
)
−
1
γ
=
V
2
V
1
{\displaystyle \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{-1 \over \gamma }={\frac {V_{2}}{V_{1}}}}
وبالتعويض في التعبير السابق
W
{\displaystyle W}
W
=
−
α
n
R
T
1
(
(
P
2
P
1
)
γ
−
1
γ
−
1
)
{\displaystyle W=-\alpha nRT_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}
بتعويض هذا التعبير و(1) في (3) نحصل على
α
n
R
(
T
2
−
T
1
)
=
α
n
R
T
1
(
(
P
2
P
1
)
γ
−
1
γ
−
1
)
{\displaystyle \alpha nR(T_{2}-T_{1})=\alpha nRT_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}
بالتبسيط،
T
2
−
T
1
=
T
1
(
(
P
2
P
1
)
γ
−
1
γ
−
1
)
{\displaystyle T_{2}-T_{1}=T_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}
بالتبسيط،
T
2
T
1
−
1
=
(
P
2
P
1
)
γ
−
1
γ
−
1
{\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}-1=\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1}
بالتبسيط،
T
2
=
T
1
(
P
2
P
1
)
γ
−
1
γ
{\displaystyle T_{2}=T_{1}\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}}
انظر أيضا مراجع
^ منهج الفيزياء للصف الثالث الثانوي - الفصل الدراسي الأول -ط 2008- التعليم السعودي
مقالة مفصلة: عملية كظومة قابلة للعكس
