هندسة لا إقليدية

سلوك الخطوط مع عمودي مشترك في كل من الأنواع الثلاثة من الهندسات

الهندسة اللاإقليدية في علم الرياضيات تعبر عن الهندسة الاهليليجية وهندسة القطوع الزائدة والتي هي مقابل اللهندسة الإقليدية. الفرق الأساسي بين الهندسة الإقليدية والهندسة اللاإقليدية هو في طبيعة المستقيمات المتوازية. حيث تنص مسلمة إقليدس الخامسة أن في المستوي الثنائي الأبعاد لكل مستقيم l ونقطة A لا تقع على المستقيم l يوجد مستقيم وحيد من A ولايتقاطع مع l. في هندسة القطع الزائد يوجد عدد لانهائي من المستقيمات التي تمر بـ A بدون ان تقطع l بينما في الهندسة الاهليليجية فإن المستقيمين المتوازيين يتقاربان ومن ثم يتقاطعان.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 مبادئ الهندسة اللاإقليدية

الفرق الأساسي بين الهندسة اللاإقليدية والهندسة الإقليدية هو في التعديل على المسلمة الإقليدية الخامسة والتي تعرف باسم مسلمة التوازي. وعليه تقسم إلى هندسة القطع الزائد و الهندسة الاهليليجية ولكل منها افتراضاته وقواعده الرياضية. تلعب الهندسة الاهليليجية دوراً هاماً في النظرية النسبية وفي هندسة الفضاء الزمني. إن المبادئ التي تم تطبيقها على المستويات اللاإقليدية من الممكن مشاهدتها في الفضاء ثلاثي البعد. إن شريط موبيوس وزجاجة كلاين كلاهما أجسام كاملة ذات سطح واحد من المستحيل تمثيلهما في المستوي الإقليدي.

 أشكال الهندسة اللاإقليدية

 هندسة القطع الناقص

أبسط شكل من أشكال الهندسة الاهليليجية هي الكرة حيث تكون المستقيمات عبارة عن دوائر (مثل دائرة خط الاستواء في الكرة الأرضية). في هندسة القطع الناقص فإنه من أجل أي مستقيم l ونقطة A لا تقع على l فإن جميع المستقيمات المارة من A ستتقاطع مع l.

 هندسة القطع الزائد

في هندسة القطع الزائد، من أجل أي مستقيم l ونقطة A لا تقع على المستقيم l يوجد عدد لانهائي من المستقيمات التي تمر بـ A بدون ان تقطع l.

وفي أحد نماذج الهندسة الزائدية يعرَّف المستوى على أنه مجموعة النقاط الواقعة داخلدائرة، ويعرف المستقيم على أنه وتر من الدائرة، وتعرف المستقيمات المتوازية على أنها المستقيمات التي لا تتقاطع. وفي الشكل الذي على اليسار فإن المستقيمات ل ، م ، ك كلها تعد موازية للمستقيم أ ب بالرغم من أنها كلها تتقاطع في نقطة واحدة س.

وتسمى الهندسة الزائدية أحيانًا هندسة لوباتشيفسكي إذ إنها اكتشفت في بداية القرن التاسع عشر الميلادي بوساطة عالم الرياضيات الروسي نيكولاي لوباتشيفسكي.

وهناك نوع أساسي آخر من الهندسة اللا إقليدية يدعى الهندسة الناقصية تستبدل فيها بمسلمة التوازي المسلمة التالية: من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم لا يمكن رسم مستقيم لا يقاطع المستقيم المعلوم. بعبارة أخرى المستقيمات المتوازية لا وجود لها في الهندسة الناقصية.

وفي أحد نماذج الهندسة الناقصية نعرِّف المستقيم على أنه دائرة عظمى على الكرة، حيث الدائرة العظمى هي أي دائرة تنصف الكرة إلى جزأين متساويين. وكل الدوائر العظمى على الكرة تتقاطع. في الكرة التي على اليسار الدائرة العظمى أ ب جـ د تتقاطع مع الدائرة العظمى س جـ ص أ. وتسمى الهندسة الناقصية، أيضًا، هندسة ريمان إذ إنها تطوَّرت في منتصف القرن التاسع عشر الميلادي على يد عالم الرياضيات الألماني جورج فريدريك برنارد ريمان>

وبما أن أحد أهم استخدامات الأشكال والمبادئ الهندسية هو وصف العالم الطبيعي، فلنا أن نتساءل أي نوع من الهندسة ـ الإقليدية أم اللاإقليدية ـ يُقدِّم النموذج الأفضل لذلك. فهنالك حالات يكون التناول اللاإقليدي أكثر ملاءمة لها، مثل نظرية النسبية لأينشتاين. وهنالك حالات أخرى مثل البناء والهندسة والمساحة يكون من الأفضل تناولها بطريقة إقليدية.

 انظر أيضاً

• Affine geometry
• Projective geometry
• Spherical geometry
• Taxicab geometry
• Hyperbolic geometry
• Hyperbolic space

• Elliptic geometry
• Absolute geometry
• Ordered geometry
• Riemannian geometry
• Parallel postulate
• Schopenhauer's criticism of the proofs of the Parallel Postulate

 المصادر

• الموسوعة المعرفية الشاملة
• Anderson, James W. Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005
• Beltrami, Eugenio Teoria fondamentale degli spazî di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255
• Greenberg, Marvin Jay Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4th ed., New York: W. H. Freeman, 2007. ISBN 0716799480
• Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9-24.
• Stewart, Ian Flatterland. New York: Perseus Publishing, 2001. ISBN 0-7382-0675-X (softcover)

 وصلات خارجية

• Roberto Bonola (1912) Non-Euclidean Geometry, Open Court, Chicago.
• MacTutor Archive article on non-Euclidean geometry
• Bootlean Geometry, a humorous cartoon
• Hyperbolic Non-Euclidean World by Tadao Ito (contains many images)
• Non-euclidean geometry على بلانيت ماث