نموذج الإلكترون الحر

في فيزياء الجوامد نموذج الإلكتورن الحر (بالإنجليزي: Free electron model) هو نموذج يدرس سلوك الكترونات التكافؤ في البلورات,

وضع هذا النموذج سمرفيلد بحيث يجمع بين نموذج درود الكلاسيكي وإحصاء فيرمي ديراك.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 طاقة الإلكترونات الحرة والدالة الموجية

انتقال الموجة باتجاه محور س

عندما تكون الطاقة الكامنة للجسيمات الحرة هي $V({\mathbf {r}})=0$ تكون معادلة شرودنجر للإلكترون الحر

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ({\mathbf {r}},t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\mathbf {r}},t)$

حل الدالة الموجية المعتمدة على الزمن $\Psi ({\mathbf {r}},t)$ هو

$\Psi ({\mathbf {r}},t)=\psi ({\mathbf {r}})e^{-i\omega t}$

عندما تكون الطاقة

$E=\hbar \omega$

$\psi _{\mathbf {k}}({\mathbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}e^{i{\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}}$

عندما يكون متجه موجي ${\mathbf {k}}$. $\Omega _{r}$ يساوي المساحة التي يتواجد فيها الإلكترون , بالتالي تكون الطاقة الحركية للإلكترون

$E=-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$

فيكون حل الدالة الموجية بالنسبة للمحاور في معادلة شرودنجر هي

$\Psi ({\mathbf {r}},t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}e^{i{\mathbf {k}}\cdot {\mathbf {r}}-i\omega t}$