مستوى (هندسة)

مستويان متقاطعان في فضاء ثلاثي الأبعاد.

في الرياضيات، المستوى، هو سطح منبسط ثنائي الأبعاد يمتد إلى ما لا نهاية. المستوى هو التماثل ثنائي الأبعاد للنقطة (صفرية الأبعاد)، الخط (أحادي الأبعاد) والفضاء ثلاثي الأبعاد. قد تمتد المستويات كفضاءات ثانوية لبعض الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى، مثل جدران الغرفة التي تمتد إلى ما لا نهاية، أو قد تتمتع بوجود مستقل بها، كما في مجموعة الهندسة الإقليدية.

عندما العمل بشكل حصري على الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد، فإن تعريف المستوى هو الفضاء الكامل. الكثير من المهام الأساسية في الرياضيات، الهندسة، حساب المثلثات، نظرية المخططات، والتخطيط المطبق على الفضاء ثنائي الأبعاد، أو بمعنى آخر، في المستوى.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 الهندسة الإقليدية

المقالة الرئيسية: هندسة إقليدية

ثلاثة مستويات متوازية.

 المستويات في الفضاء الإقليمي ثلاثي الأبعاد

 التحديد بواسطة النقاط أو الخطوط المتضمنة

في الفضاء الإقليدي لأي عدد من الأبعاد، يتم تحديد المستوى بشكل فريد بواسطة واحدة من النقاط التالية:

• النقاط الغير خطية الثلاثة.
• خط ونقطة ليست على الخط.
• خطان متميزان لكن متقاطعان.
• خطان متوازيان.

 الخصائص

في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، تتحقق الخصائص الآتية (والتي لا تتحقق إذا كان عدد الأبعاد يتجاوز الثلاثة):

• مستويان قد يكونا متوازيين و قد يكونا متقاطعين في مستقيم ما. لا ثالث لهاتين الحالتين.
• مستقيم ما قد يكون موازياً لمستوى ما، أو قد يكون متقاطعا معه في نقطة، أو قد يكون ضمنه.
• مستقيمان عموديان على نفس المستوى هما مستقيمان متوازيان.
• مستويان عموديان على نفس المستقيم هما مستويان متوازيان.

 تعريف مستوى بثلاث نقط

الوصف المتجهي للمستوى.

كل ثلاث نقط لا تقع على استقامة واحدة تمثل مستوى واحدا. ليكن p₁=(x₁, y₁, z₁), p₂=(x₂, y₂, z₂), و p₃=(x₃, y₃, z₃) ثلاث نقط لا تنتمي إلى نفس المستقيم.

 الطريقة الأولى

المستوى المار بالنقط p₁, p₂, و p₃ يمكن أن يحدد بشكل وحيد بكونه مجموعة جميع النقط (x,y,z) اللائي يحققن معادلات المحدد التالية:

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_{3}\end{vmatrix}}=0.$

 الطريقة الثانية

من أجل تحديد معادلة مستوى على الشكل $ax+by+cz+d=0$, ينبغي حلحلة نظام المعادلات التالي:

$\,ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0$

$\,ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0$

$\,ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0.$

يمكن أن يُحلحل هذا النظام باستعمال قاعدة كرامر بالإضافة إلى التعامل مع العمليات الأساسية للمصفوفات. ليكن

$D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}$.

إذا كان D مختلفا عن الصفر (الأمر كذلك بالنسبة للمستويات اللائي لا يمررن بأصل المَعلم) قيم الأعداد a و b و c يمكن أن يُحسبن كما يلي:

$a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}$

$b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{vmatrix}}$

$c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.$

تتعلق هذه المعادلات بالعدد d. بإعطاء قيمة معينة مختلفة عن الصفر للعددd وبتعويضها في هذه المعادلات سيعطي مجموعة حلول واحدة.

 الطريقة الثالثة

يمكن أن يُحدد هذا المستوى أيضا بنقطة وبالمتجهة العمودية. تعطى متجهة مناسبة لهذا الهدف باستعمال الضرب الاتجاهي

${\mathbf {n}}=({\mathbf {p}}_{2}-{\mathbf {p}}_{1})\times ({\mathbf {p}}_{3}-{\mathbf {p}}_{1}),$

أما بالنسبة للنقطة r₀ فيمكن أن تكون واحدة من النقط الثلاث المعلومات p₁,p₂ أو p₃.

 المستوي والزاوية المزدوجة

انظر أيضاً: زاوية زوجية

الزاوية الزوجية تتشكل بين أي مستويين يتقاطعان.

 انظر أيضاً

• وجه (هندسة)
• سطح (هندسة)
• مستوى نصفي
• مستوى فائق
• تقاطع الخط-المستوى
• مستوى الإحداثيات
• Plane of incidence
• مستوى الدوران
• مسافة بين نقطة ومستوى
• مستوى إسقاط

 الهوامش

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 المصادر

• Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7 
• Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry, I, Boston: Allyn and Bacon, Inc. 

 وصلات خارجية

• قالب:SpringerEOM
• Eric W. Weisstein, Plane at MathWorld.
• "Easing the Difficulty of Arithmetic and Planar Geometry" is an Arabic manuscript, from the 15th century, that serves as a tutorial about plane geometry and arithmetic.