متناقضات زينون

تناقضات زينون (إنگليزية: Zeno's paradoxes)، هي مجموعة من المشكلات الفلسفية ابتكرها الفيلسوف اليوناني زينون من إليا (490-430 ق.م.). أراد زينون من إليا أن يدرب نفسه على الضلال والمشاكسة، وأن يسلي شبابه في الوقت نفسه، فألف كتاباً في المتناقضات وصل إلينا تسع منها.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 خلفية فلسفية

لقد كان هرقليطس يقول إن كل شيء يتغير Panta Rei أما بارمنيدس فيقول إن الأشياء بأجمعها كل واحد أبداً Hen Ta Panta. وهو في بعض الأحيان يقول كما يقول اكسنوفان إن هذا الواحد هو الكون، ويصفه بأنه شبه كرى ومحدود، وكان في بعض الأحيان حين ينظر إليه نظرة فكرية مجردة يرى أن هذا الكائن هو الفكر ويقول: "إن الفكر والكون شيء واحد"(4). وكأنه يريد بهذا أن يفهمنا أن الأشياء لا وجود لها في إدراكنا، وأن البداية والنهاية، والمولد والموت، والتكوين والتدمير، لا تصيب إلا الأشكال والصور، أما الواحد الحق فلا بداية له ولا نهاية، وليس ثمة صيرورة، وليس ثمة إلا وجود، وأن الحركة أيضاً غير حقيقية لأنها تفترض انتقال شي من المكان الذي هو فيه إلى مكان لا يوجد فيه شي أي إلى الفراغ، ولكن الفراغ الذي هو غير كائن لا يمكن أن يكون، إذ ليس ثمة فراغ قط، لأن الواحد يملأ كل ركن وكل شق في العالم، وهو ساكن سكوناً سرمدياً . ولم يكن ينتظر بطبيعة الحال أن يستمع الناس إلى هذه الأقوال كلها وهم صابرون، ويبدو أن السكون البارمنيدي كان الهدف الذي صوبت إليه مئات من الهجمات الميتافيزيقية. وترجع أهمية زينون الإليائي الحصيف تلميذ بارمنيدس إلى محاولته إثبات أن فكرتي التعدد والحركة كانتا من الوجهة النظرية على الأقل مستحيلتين كاستحالة واحد بارمنيدس الثابت القديم الحركة.

 المتناقضات

 متناقضات الحركة

المتناقضات الثلاثة التالية، والتي تعتبر الأقوى والأشهر، وهي أخيل والسلحفاة، والانقسام والسهم.

 أخيل والسلحفاة

في سباق، يستحيل على أسرع راكض أن يتعدى الأبطأ، إذ أن اللاحق يجب عليه أولاً أن يصل إلى النقطة التي يبدأ منها السابق، ولذلك فالأبطأ يحتفظ دوماً بقصب السباق.

— أرسطو، الفيزياء VI:9, 239b15

أولى هذه المتناقضات كما يقول زينون أن الجسم لكي يتحرك إلى نقطة أ لا بد أن يصل إلى ب وهي منتصف طريقه إلى أ، ولكي يصل إلى ب يجب أن يصل أولا إلى ج منتصف طريقه إلى ب، وهكذا إلى ما لا نهاية. وإذ كانت هذه السلسلة التي لا نهاية لها من الحركات تتطلب قدراً لا نهاية له من الزمن، فإن تحرك أي جسم إلى أية نقطة في زمن محدد أمر مستحيل.

 متناقضة الإنقسام

هذا الذي هو في حركة يجب أن يصل لنقطة منتصف الطريق قبل أن يصل إلى الهدف.

— أرسطو، الفيزياء VI:9, 239b10

افترض أن هومر يريد أن يلحق بحافلة متوقفة. قبل أن يستطيع الوصول إلى هناك، فعليه أن يصل إلى منتصف المسافة. وقبل أن يستطيع الوصول لمنتصف المسافة ، عليه أن يصل إلى ربع المسافة. وقبل الوصول إلى ربع المسافة، عليه أن يصل إلى ثمن المسافة؛ وقبل الثمن، واحد على ستة عشر؛ وهلم جراً.

$H-{\frac {B}{8}}-{\frac {B}{4}}---{\frac {B}{2}}-------B$

التسلسل الناتج يمكن تمثيله كالتالي:

$\left\{\cdots ,{\frac {1}{16}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},1\right\}$

يتطلب هذا الوصف أن يكمل المرء عدداً لا نهائي من المهام، الأمر الذي يقول زينون أنه مستحيل.

المتناقضة الثانية هي صورة أخرى من الأولى أن أخيل السريع العدو لا يستطيع أن يدرك السلحفاة البطيئة. وذلك لأنه كلما وصل إلى النقطة التي كانت فيها السلحفاة، تكون السلحفاة في هذه اللحظة نفسها قد انتقلت من هذه النقطة.

 متناقضة السهم

لو أن كل شيء، عندما يشغلون فراغاً متساوياً، يكونوا في سكون، ولو أن أولئك المتحركين دائماً يشغلون نفس المكان عند أي نقطة، لذلك فالسهم الطائر هو في الواقع عديم الحركة.

— أرسطو، الفيزياء VI:9, 239b5

والثالثة أن السهم الطائر في الهواء هو في الحقيقة ساكن غير متحرك، لأنه في كل لحظة من طيرانه لا يكون إلا في نقطة واحدة في الفضاء، أي أنه يكون ساكناً، وحركته منطقياً وميتافيزيقياً غير حقيقية مهما بدا للحواس أنها واقعة فعلاً.

 متناقضات ثلاثة أخر كما أوردهم أرسطو

 متناقضة المكان

وتقوم على المكان، وملخصها كما يقول زينون:

أنه إذا كانت الكثرة الحقيقية، فإن كل واحد من آحادها يشغل مكاناً حقيقياً، وإن هذا المكان هو الآخر لابد وأن يكون موجوداً في مكان، وهذا المكان بدوره سيكون موجوداً في مكان، وهكذا إلى ما لا نهاية له، فالكثرة باطلة والوجود واحد، مستمر إلى الأبد Ad Infinitum.

 متناقضة حبة الشعير

وتقوم هذه المتناقضة على الأثر الكلي، وملخصها:

إذا كان الوجود متكثراً وجب أن يقوم تناسب بين ما تحدثه مجموعة من الأشياء من أثر ما يحدثه أي شيء واحد من هذه المجموعة، لنفرض أنا أخذنا حبة واحدة من الشعير وبذرناها وجدنا أنها لا تحدث صوتاً، في حين أن كيلة من الشعير عند بذرها تحدث صوتاً عالياً، ومعنى ذلك أن الصوت الذي تحدثه كيلة الشعير لا يمكن أن يكون مجموعة أصوات حبات الشعير التي لا وجود لها، ولكن الواقع لا، إذن ليست الكثرة حقيقة وعليه فالوجود واحد.

 متناقضة الصفوف المتحركة

الصفوف المتحركة

عن أرسطو:

... فيما يتعلق بصفين من الأجسام، كل صف يتكون من عدد متساوٍ من الأجسام ذات الحجم المتساوي، ويمر بعضها البعض في مسار السباق أثناء تقدمهما بسرعة متساوية في اتجاهين متعاكسين، حيث يشغل الصف الأول المساحة في الأصل بين الهدف ونقطة الوسط في الدورة والأخرى بين النقطة الوسطى وقائمة البداية. ينطوي هذا ... على استنتاج مفاده أن نصف وقت معين يساوي ضعف ذلك الوقت.

للحصول على وصف موسع لحجج زينو كما قدمها أرسطو، انظر تعليق سمپليكيوس على "على فيزياء أرسطو".

 الحلول المقترحة

 في العصر العتيق الكلاسيكي

بحسب سمپليكيوس، فإن ديوجنيس الكلبي لم يقل شيئًا عند سماع حجج زينون، لكنه عمل على إثبات زيف استنتاجات زينون (انظر solvitur ambulando). لحل أي من مفارقة من مفارقات زينون بشكل كامل، يحتاج المرء إلى إظهار الخطأ في الحجة، وليس الاستنتاجات فقط. عبر التاريخ، اقترح العديد من الحلول، من بين أقدم الحلول المسجلة تلك الخاصة بأرسطو وأرخميدس.

لاحظ أرسطو (384-322 ق.م.) أنه مع تناقص المسافة، يتناقص الوقت اللازم لقطع تلك المسافات أيضاً، وبالتالي يصبح الوقت المطلوب أيضاً صغيراً بشكل متزايد.

ميّز أرسطو أيضًا "الأشياء اللانهائية من حيث القابلية للقسمة" (مثل وحدة المساحة التي يمكن تقسيمها عقليًا إلى وحدات أصغر دائمًا مع بقاء نفسها مكانيًا) من الأشياء (أو المسافات) التي لا نهائية في الامتداد ("فيما يتعلق الأطراف"). كان اعتراض أرسطو على مفارقة السهم أن "الوقت لا يتألف من أجزاء غير قابلة للتجزئة أكثر من أي مقدار آخر يتألف من عناصر غير قابلة للتجزئة". كتب توما الأكويني، في تعليقه على اعتراض أرسطو، "الثوابت ليست أجزاء من الزمن، لأن الوقت لا يتكون من لحظات أكثر من مقدار مكون من نقاط، كما أثبتنا بالفعل. ومن ثم فإنه لا يتبع أن شيئًا ما لا يتحرك في وقت معين، لمجرد أنه لا يتحرك في أي لحظة من ذلك الوقت".

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 في الرياضيات الحديثة

يعتقد بعض علماء الرياضيات والمؤرخين، مثل كارل بوير، أن متناقضات زينون هي مجرد مشكلات رياضية، يوفر لها حساب التفاضل والتكامل حلاً رياضيًا. ظلت العمليات اللانهائية مزعجة من الناحية النظرية في الرياضيات حتى أواخر القرن التاسع عشر. مع تعريف epsilon-delta للحد، قام ڤايرشتراس وكوشي صياغة صارمة للمنطق وحساب التفاضل والتكامل. هذه الأعمال حلّت الرياضيات التي تنطوي على عمليات لا نهائية.

ومع ذلك، يقول بعض الفلاسفة أن متناقضات زينون وتنوعاتها (انظر مصباح طومسون) لا تزال ذات صلة بمشكلات ميتافيزيقية.

في حين أن الرياضيات يمكن أن تحسب أين ومتى سيتفوق أخيل المتحرك على سلحفاة مفارقة زينون، بينما يزعم فلاسفة مثل كيڤن براون وفرانسيس موركروفت بأن الرياضيات لا تتناول النقطة المركزية في حجة زينون، وأن حل المشكلات الرياضية لا يحل كل قضية تثيرها المفارقات. يخلص براون إلى أنه "نظرًا لتاريخ الحلول النهائية، بدءًا من أرسطو وما بعده، فمن المحتمل أن يكون من التهور الاعتقاد بأننا وصلنا إلى النهاية. قد تكون حجج زينون بشأن الحركة، نظرًا لبساطتها وعالميتها، بمثابة أحد صور رورشاخ التي يمكن للأشخاص أن يعرضوا عليها أهم اهتماماتهم الظاهراتية الأساسية (إذا كان لديهم أي منها)".

 هنري برگسون

الاستنتاج البديل ، الذي اقترحه هنري برگسون في كتابه عام 1896 "[المادة والذاكرة]]"، هو أنه في حين أن المسار قابل للقسمة، فإن الحركة ليست كذلك.

 پيتر ليندز

عام 2003، جادل پيتر ليندز بأن جميع مفارقات الحركة لزينون يمكن حلها من خلال استنتاج مفاده أن اللحظات في الوقت والمقادير اللحظية غير موجودة فعليًا. يجادل ليندز بأن كائنًا في حركة نسبية لا يمكن أن يكون له موضع نسبي فوري أو محدد (لأنه إذا كان كذلك، فلا يمكن أن يكون في حالة حركة)، وبالتالي لا يمكن تشريح حركته جزئيًا كما لو كان كذلك، كما تفترضه المتناقضات. يجادل نيك هوگت بأن زينون يفترض الاستناجات عندما يقول إن الأشياء التي تشغل نفس المساحة كما هي في حالة الراحة يجب أن تكون في حالة راحة.

 برتراند رسل

اعتماداً على عمل جورج كانتور، قدم برتراند رسل حلولاً للمتناقضات، التي تُعرف باسم "في-في نظرية الحركة". توافق الحلول على أنه لا يمكن أن تكون هناك حركة "أثناء" لحظة غير محددة، وتؤكد أن كل ما هو مطلوب للحركة هو أن يكون السهم في نقطة ما في وقت واحد، وفي نقطة أخرى في وقت آخر، وفي النقاط المناسبة بين هاتين النقطتين لأوقات التدخل. في هذا العرض، تكون الحركة مجرد تغيير في الموضع بمرور الوقت.

 هرمان ڤايل

هناك حل آخر مقترح هو التشكيك في أحد الافتراضات التي استخدمها زينون في متناقضاته (خاصة الانقسام الثنائي)، وهو أنه بين أي نقطتين مختلفتين في المكان (أو الزمان)، هناك دائمًا نقطة أخرى. بدون هذا الافتراض، لا يوجد سوى عدد محدود من المسافات بين نقطتين، وبالتالي لا يوجد تسلسل لانهائي للحركات، ويتم حل المتناقضة. بحسب هرمان ڤايل، فإن الافتراض القائل بأن الفضاء يتكون من وحدات محدودة ومنفصلة يخضع لمشكلة أخرى، تُعطى من خلال "وسيطة البلاط" أو "مشكلة دالة المسافة". وفقًا لهذا ، فإن طول وتر المثلث القائم الزاوية في مساحة محددة يساوي دائمًا طول أحد الجانبين، على عكس الهندسة. جادل جان پول ڤان بندگم بأنه يمكن حل مفارقة المربعات، وبالتالي يمكن أن يحل هذا تلك المتناقضة.

 التطبيقات

 تأثير زينون الكمي

In 1977, physicists E. C. George Sudarshan and B. Misra discovered that the dynamical evolution (motion) of a quantum system can be hindered (or even inhibited) through observation of the system. This effect is usually called the "تأثير زينون الكمي quantum Zeno effect" as it is strongly reminiscent of Zeno's arrow paradox. This effect was first theorized in 1958.

 سلوك زينوني

In the field of verification and design of timed and hybrid systems, the system behaviour is called Zeno if it includes an infinite number of discrete steps in a finite amount of time. Some formal verification techniques exclude these behaviours from analysis, if they are not equivalent to non-Zeno behaviour. In systems design these behaviours will also often be excluded from system models, since they cannot be implemented with a digital controller.

 في الثقافة الشعبية

A humorous take is offered by Tom Stoppard in his 1972 play Jumpers, in which the principal protagonist, the philosophy professor George Moore, suggests that according to Zeno's paradox, Saint Sebastian, a 3rd Century Christian saint martyred by being shot with arrows, died of fright.

 متناقضات مماثلة

 مدرسة الأسماء

Diagram of Hui Shi's stick paradox

Roughly contemporaneously during the Warring States period (475–221 BCE), ancient Chinese philosophers from the School of Names, a school of thought similarly concerned with logic and dialectics, developed paradoxes similar to those of Zeno. The works of the School of Names have largely been lost, with the exception of portions of the Gongsun Longzi. The second of the Ten Theses of Hui Shi suggests knowledge of infinitesimals:That which has no thickness cannot be piled up; yet it is a thousand li in dimension. Among the many puzzles of his recorded in the Zhuangzi is one very similar to Zeno's Dichotomy:

"If from a stick a foot long you every day take the half of it, in a myriad ages it will not be exhausted."

— Zhuangzi, chapter 33 (Legge translation)

The Mohist canon appears to propose a solution to this paradox by arguing that in moving across a measured length, the distance is not covered in successive fractions of the length, but in one stage. Due to the lack of surviving works from the School of Names, most of the other paradoxes listed are difficult to interpret.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 لويس كارول ودگلس هوفستاتر

What the Tortoise Said to Achilles, written in 1895 by Lewis Carroll, was an attempt to reveal an analogous paradox in the realm of pure logic. If Carroll's argument is valid, the implication is that Zeno's paradoxes of motion are not essentially problems of space and time, but go right to the heart of reasoning itself.^{[بحاجة لمصدر]} Douglas Hofstadter made Carroll's article a centrepiece of his book Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, writing many more dialogues between Achilles and the Tortoise to elucidate his arguments. Hofstadter connects Zeno's paradoxes to Gödel's incompleteness theorem in an attempt to demonstrate that the problems raised by Zeno are pervasive and manifest in formal systems theory, computing and the philosophy of mind.^{[بحاجة لمصدر]}

 انظر أيضاً

• Incommensurable magnitudes
• Infinite regress
• فلسفة المكان والزمان
• Renormalization
• Ross–Littlewood paradox
• Supertask
• آلة زينون
• قائمة المتناقضات

 وصلات خارجية

Wikiquote has a collection of quotations related to:

Aristotle

• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Zeno's Paradoxes" -- by Nick Huggett.
• Brown, Kevin, "Zeno's Paradoxes of Motion," from Reflections on Relativity at MathPages.
• Silagadze, Z . K. "Zeno meets modern science,"
• BBC article on shortest time measured as of 2004: 10⁻¹⁶ seconds.
• Blog "Strange Paths": "Modernity of Zeno's paradoxes."
• Platonic Realms: "Zeno's Paradox of the Tortoise and Achilles."
• Zeno's Paradox: Achilles and the Tortoise by Jon McLoone, Wolfram Demonstrations Project.
• The Dichotomy Paradox a series based solution.
• Zeno's paradoxes-wikinfo [1]
• Zeno's Paradox from PhilosophyArchive

---

This article incorporates material from Zeno's paradox on PlanetMath, which is licensed under the GFDL.