مبرهنة برون فروبانيوس

مبرهنة پرون-فروبانيوس Perron–Frobenius theorem مبرهنة تتعلق بنظرية المصفوفات. أثبتها اوسكار پرون (1907) و فرديناند گيورگ فروبانيوس (1912) وتقول المبرهنة ما يلي:

• إذا كانت المصفوفة A موجبة أي كل عناصرها أكبر أو تساوي صفر وإذا كانت A غير قابلة للإختزال irreducible أي أن مخطط A شديد التوصيل ( the graph of A is strongly connecteted) فإنه توجد قيمة ذاتية وحيدة أكبر من صفر ويوجد شعاع ذاتي (eigenvector) وحيد يسمى شعاع برون فروبانيوس الذاتي قيمته المطلقة واحد وموجب أي كل عناصره أكبر من الصفر

في هذه الحالة يكون ما يلي:

• • كل القيم الذاتية الأخرى للمصفوفة A في قيمتها المطلقة أصغر من القيمة الذاتية المذكورة أعلاه أو تساويها
  • القيمة الذاتية المذكورة أعلاه ذات تكرر جبري وهندسي يساوي 1 (algebraic and geometric multiplicity 1)
  • كل الأشعة الذاتية الأخرى هي عبارة عن عدد مضروب في شعاع برون-فروبانيوس

كما يمكن القول أنه إذا كانت المصفوفة regular فإن القيم الذاتية الأخرى حتما أصغر من القيمة الذاتية التابعة لشعاع برون فروبانيوس.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 إستعمالات المبرهنة

• سلاسل ماركوف
• ترتيب الصفحات في محركات البحث كمحرك غوغل مثلا

 انظر أيضاً

• Z-matrix (mathematics)
• M-matrix
• P-matrix
• Hurwitz matrix
• Metzler matrix (Quasipositive matrix)
• Positive operator

 الهامش

هذه المقالة عبارة عن بذرة تحتاج للنمو والتحسين؛ فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.