مبرهنة آبل

هذا المقال هو عن مبرهنة آبل عن المتسلسلة الأسية. إذا كنت تريد مبرهنة آبل عن المنحنيات الجبرية، انظر خريطة آبل-جاكوبي. إذا كنت تريد مبرهنة آبل عن عدم إمكانية حل المعادلة من الدرجة الخامسة، انظر مبرهنة آبل-روفيني. إذا كنت تريد مبرهنة آبل عن المعادلات التفاضلية الخطية، انظر مطابقة آبل.

في الرياضيات، مبرهنة آبل للمتسلسلات الأسية تربط نهاية متسلسلة أسية بمجموع معاملاتها. وهي مسماة على اسم عالم الرياضيات النرويجي نيلز هنريك آبل.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 المبرهنة

افترض أن a = {a_k: k ≥ 0} هي أي تسلسل من الأعداد الحقيقية أو المركبة وافترض أن

$G_{a}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}\!$

هي المتسلسلة الأسية وعواملها هي a. افترض أن المتسلسلة $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\!$ تتقارب. إذاً

$\lim _{z\rightarrow 1^{-}}G_{a}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k},\qquad (*)\!$

حيث المتغير z يـُفترض أن يكون حقيقياً، أو، بصورة أعم، يقع ضمن أي زاوية شتولتس، أي منطقة من قرص الوحدة المفتوح حيث

$|\Im (z)|\leq M(1-\Re (z))\,$

لبعض M. التخلي عن هذا التقييد قد يؤدي إلى عدم صحة التساوي.

في الحالة الخاصة التي يكون فيها كل المعاملات a_i حقيقية و a_k ≥ 0 لجميع k، في تلك الحالة تكون المعادلة المذكورة أعلاه $(*)$ سارية أيضاً حين تكون المتسلسلة $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\!$ غير متقاربة. أي أنه في تلك الحالة، جانبا الصيغة يساويا +∞.

 نتيجة مباشرة

كنتيجة مباشرة لهذه المبرهنة، إذا كانت z هي أي عدد مركب غير صفري تتقارب به المتسلسلة $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}\!$، إذاً

$\lim _{t\to 1^{-}}G_{a}(tz)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}\!$

حيث تؤخذ النهاية من اليسار.

 التطبيقات

أهمية مبرهنة آبل تنبع من أنها تتيح لنا العثور على نهاية لمتسلسلة أسية حين يقترب متغيرها (z) من 1 من الأسفل، حتى في حالات نصف قطر التقارب، R، للمتسلسلة الأسية يساوي 1، ولا نستطيع التأكد إذا ما كانت النهاية يجب أن تكون محدودة. انظر على سبيل المثال المتسلسلة ثنائية الحدود.

G_a(z) تسمى الدالة المولدة للتسلسل a. مبرهنة آبل كثيراً ما تفيد في التعامل مع الدوال المولـِّدة لتسلسلات ذات قيمة حقيقية غير سالبة، مثل الدوال المولدة للاحتمالات. وخصوصاً، فإنها تفيد في نظرية عمليات گالتون-واتسون.

 مفاهيم ذات صلة

المتناقضات لمبرهنة مثل مبرهنة آبل تسمى مبرهنات توبرية: وليس هناك متناقضة محددة، بل نتائج مشروطة على افتراضات معينة. مجال المتسلسلات المتباعدة، وطرق جمعهم، يحتوي العديد من المبرهنات من النوع الآبلي و من النوع التوبري.

 وصلات خارجية

• قالب:PlanetMath (a more general look at Abelian theorems of this type)
• قالب:SpringerEOM