علاقات كرامرز-كرونيگ

فى علمي الرياضيات والفيزياء تصف علاقات كرامرز-كرونيگ العلاقة بين الجزء الحقيقي والتخيلي في تصنيف معين من الدوال التى لها قيم معقدة. العلاقات مسماة على شرف رالف كرونيگ وهندريك أنتوني كرامرز. وفي الرياضيات، تُعرف تلك العلاقات بأسماء مبرهنة سوخوتسكي-پلملي وتحول هيلبرت.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 الصياغة

متطلبات الدالة $f(\omega )$ التى سوف يتم التطبيق عليها يمكن أن تفسر كما لو كانت نفس المعادلة تمثل تحول فوريير للعمليات الفيزيائية الخطية والغير نظامية. فلو كتبنا:

كونتور تكاملي لاشتقاق علاقات كرامرز-كرونيگ.

$f(\omega )=f_{1}(\omega )+if_{2}(\omega )$,

حيث $f_{1}$, و $f_{2}$ هى قيم حقيقة دوال "لها تصرف جيد"، وعندها تصبح العلاقة:

$f_{1}(\omega )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega 'f_{2}(\omega ')d\omega '}{\omega ^{2}-\omega '^{2}}}$

$f_{2}(\omega )=-{\frac {2\omega }{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {f_{1}(\omega ')d\omega '}{\omega ^{2}-\omega '^{2}}}$.

وترتبط علاقة كرامرز-كرونيگ بتحول هيلبرت، وغالبا ما تطبق على سماحية( $\epsilon (\omega$ المواد. وعموما, يجب ملاحظة أنه في هذه الحالة يكون:

$f(\omega )=\chi (\omega )=\epsilon (\omega )/\epsilon _{0}-1$,

حيث $\chi (\omega )$ هى القابلية الكهربية للمادة. ويمكن تفسير هذه القابلية مثل تحول فوريير للإستقطاب المتعلق-بالزمن في المادة بعد حدوث ميل صغير للنبضات الكهربية, وبمعنى أخر إستجابة الإستقطاب للدفعات.

 برهنة ذات صلة من نطاق الزمن

 انظر أيضاً

• تحول هيلبرت Hilbert transform
• مبرهنة سوخوتسكي-پلملي Sokhotski–Plemelj theorem
• Linear response function
• تشتت Dispersion (optics)

 المصادر

• ويكيبيديا الإنجليزية.