طريقة نيوتن

في التحليل العددي ، تعتبر طريقة نيوتن أو طريقة نيوتن-رافسون خوارزمية فعالة لإيجاد جذور تابع حقيقي . لذلك تعتبر مثالا لخوارزميات إيجاد الجذور . يمكن استخدامها لإيجاد الحدود العليا و الحدود الدنيا لمثل هذه التوابع ، عن طريق ايجاد جذور المشتق الأول للتابع .

 الطريقة

التأويل الهندسي كما يلي: نختار قيمة أفصول قريبة من الصفر (جذر المعادلة). و نغير التمثيل المبياني بالمماس و نحسب الصفر التقريبي. صفر المماس هو قيمة تقريبية لجذر المعادلة, و من ثم يمكن اعادة الحساب للحصول على حل أكثر قربا للحل.

الدالة ƒ تظهر بالأزرق والخط المماس بالأحمر. ونرى أن x_n+1 هي تقريب أفضل من x_n للجذر x للدالة f.

عملياً، العمليات بالنسبة لf : [a, b] → R، دالة معرفة و قابلة للإشتقاق على المجال[a, b] نختار قيمة اعتباطيةx₀ (كلما كانت قريبة من الحل كلما كان أفضل). نحدد بالترجع بالنسبة لكل عدد صحيح طبيعيn:

${\displaystyle{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac{f(x_{n})}{f^{\prime}(x_{n})}}}}$

حيث f 'هي الدالة المشتقة للدالة f .

نستطيع أن نبين أنه إذا كانت f ' دالة متصلة والجذر المجهول α معزول, فإنه يوجد مجاور ل α حيث لكل قيم الانطلاق x₀ للجوار, المتتالية (x_n) تقترب من α. أكثر من ذلك, إذا كانت f '(α) ≠ 0, فإن التقارب رباعي أي أن عدد الأرقام الصحيحة تقريبا تتضاعف في كل مرحلة.

 تعميمات

 دوال معقدة

أحواض جذب x⁵ − 1 = 0؛ الأدكن يعني دورات أكثر للتقارب.

•  مقالة مفصلة: كسير نيوتن

 أنظمة معادلات غير خطية

 k متغير، k دالة

${\displaystyle{\displaystyle J_{F}(x_{n})(x_{n+1}-x_{n})=-F(x_{n})\,\!}}$

للمجهول x_n+1 − x_n.

 معادلات غير خطية في فراغ باناش

${\displaystyle{\displaystyle X_{n+1}=X_{n}-[F^{\prime}(X_{n})]^{-1}F(X_{n}),\,}}$

حيث ${\displaystyle{\displaystyle F^{\prime}(X_{n})}}$ هي مشتقة فريشيه المحسوبة عند ${\displaystyle{\displaystyle X_{n}}}$. ويحتاج المرء مشتقة فريشيه لكي يصبح غير قابل محدودياً للقلب عند كل ${\displaystyle{\displaystyle X_{n}}}$ لكي تكون الطريقة قابلة للتطبيق. شرط الوجود والتقارب إلى جذر تعطيه مبرهنة نيوتن-كانتوروڤيتش.

 انظر أيضاً

• Bisection method
• طريقة اويلر
• Fast inverse square root
• Gradient descent
• Integer square root
• Leonid Kantorovich, who initiated the convergence analysis of Newton's method in Banach spaces.
• Methods of computing square roots
• Newton's method in optimization
• خوارزمية العثور على جذر
• Secant method
• طريقة ستفنسن
• Subgradient method

 وصلات خارجية

• Eric W. Weisstein, Newton's Method at MathWorld.
• Newton-Raphson online calculator
• Animations for Newton's method by Prof. John H. Mathews
• Animations for Newton's method by Yihui Xie using the R package animation
• Newton-Raphson Method Notes, PPT, Mathcad, Maple, Matlab, Mathematica at Holistic Numerical Methods Institute
• Module for Newton’s Method by John H. Mathews
• Worked example
• The Newton-Raphson algorithm coded in C++ as a template class which takes a function object
• Newton's Method for finding roots - Source provides for C++ function and examples