رقم التاكسي

لمعلومات عن أرقام لوحات السيارات المخصصة لسيارات الأجرة في المملكة المتحدة، انظر ميدالية سيارات الأجرة.

الرياضياتي الهندي سري‌نيڤاسا رامانوجان، الذي طور فكرة أرقام سيارات الأجرة.

في الرياضيات، رقم التاكسي Taxicab number هو أصغر رقم يمكن التعبير عنه كمجموع عددين مكعبين بطريقتين مختلفتين. أشهر رقم سيارة أجرة هو 1729 = Ta(2) = 1³ + 12³ = 9³ + 10³، ويُعرف أيضاً برقم هاردي-رامانوجان.

عام 1919، استقل گدفري هاردي ذات مرة سيارة أجرة لزيارة مساعده، عالم الرياضيات الهندي سري‌نيڤاسا رامانوجان، في المستشفى.

وأشار هاردي إلى أن رقم سيارة الأجرة، 1729، بدا "مملاً إلى حد ما"، مما دفع رامانوجان للرد بأنه على العكس من ذلك، فإن الرقم "مثيراً للاهتمام للغاية" لأنه كان أصغر رقم يمكن التعبير عنه كمجموع مكعبين في بطريقتين مختلفتين:

1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³.

منذ ذلك الحين، الأرقام التي يمكن التعبير عنها بهذه الطريقة أصبحت تُعرف باسم "أرقام سيارات الأجرة".

 التاريخ والتعريف

The pairs of summands of the Hardy–Ramanujan number Ta(2) = 1729 were first mentioned by Bernard Frénicle de Bessy, who published his observation in 1657. 1729 was made famous as the first taxicab number in the early 20th century by a story involving Srinivasa Ramanujan in claiming it to be the smallest for his particular example of two summands. In 1938, G. H. Hardy and E. M. Wright proved that such numbers exist for all positive integers n, and their proof is easily converted into a program to generate such numbers. However, the proof makes no claims at all about whether the thus-generated numbers are the smallest possible and so it cannot be used to find the actual value of Ta(n).

The taxicab numbers subsequent to 1729 were found with the help of computers. John Leech obtained Ta(3) in 1957. E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel found Ta(4) in 1989. J. A. Dardis found Ta(5) in 1994 and it was confirmed by David W. Wilson in 1999. Ta(6) was announced by Uwe Hollerbach on the NMBRTHRY mailing list on March 9, 2008, following a 2003 paper by Calude et al. that gave a 99% probability that the number was actually Ta(6). Upper bounds for Ta(7) to Ta(12) were found by Christian Boyer in 2006.

The restriction of the summands to positive numbers is necessary, because allowing negative numbers allows for more (and smaller) instances of numbers that can be expressed as sums of cubes in n distinct ways. The concept of a cabtaxi number has been introduced to allow for alternative, less restrictive definitions of this nature. In a sense, the specification of two summands and powers of three is also restrictive; a generalized taxicab number allows for these values to be other than two and three, respectively.

 أرقام التاكسيات الشهيرة

أرقام سيارات الأجرة الستة المعروفة، حتى الآن:

$${\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\operatorname{Ta}(1)=&\displaystyle\ 2\\ &\displaystyle=1^{3}+1^{3}\\ \displaystyle\operatorname{Ta}(2)=&\displaystyle\ 1729\\ &\displaystyle=1^{3}+12^{3}\\ &\displaystyle=9^{3}+10^{3}\\ \displaystyle\operatorname{Ta}(3)=&\displaystyle\ 87539319\\ &\displaystyle=167^{3}+436^{3}\\ &\displaystyle=228^{3}+423^{3}\\ &\displaystyle=255^{3}+414^{3}\\ \displaystyle\operatorname{Ta}(4)=&\displaystyle\ 6963472309248\\ &\displaystyle=2421^{3}+19083^{3}\\ &\displaystyle=5436^{3}+18948^{3}\\ &\displaystyle=10200^{3}+18072^{3}\\ &\displaystyle=13322^{3}+16630^{3}\\ \displaystyle\operatorname{Ta}(5)=&\displaystyle\ 48988659276962496\\ &\displaystyle=38787^{3}+365757^{3}\\ &\displaystyle=107839^{3}+362753^{3}\\ &\displaystyle=205292^{3}+342952^{3}\\ &\displaystyle=221424^{3}+336588^{3}\\ &\displaystyle=231518^{3}+331954^{3}\\ \displaystyle\operatorname{Ta}(6)=&\displaystyle\ 24153319581254312065344\\ &\displaystyle=582162^{3}+28906206^{3}\\ &\displaystyle=3064173^{3}+28894803^{3}\\ &\displaystyle=8519281^{3}+28657487^{3}\\ &\displaystyle=16218068^{3}+27093208^{3}\\ &\displaystyle=17492496^{3}+26590452^{3}\\ &\displaystyle=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}}$$

 الحدود العليا لأرقام التاكسيات

For the following taxicab numbers upper bounds are known:

$${\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\operatorname{Ta}(7)\leq&\displaystyle\ 24885189317885898975235988544\\ &\displaystyle=2648660966^{3}+1847282122^{3}\\ &\displaystyle=2685635652^{3}+1766742096^{3}\\ &\displaystyle=2736414008^{3}+1638024868^{3}\\ &\displaystyle=2894406187^{3}+860447381^{3}\\ &\displaystyle=2915734948^{3}+459531128^{3}\\ &\displaystyle=2918375103^{3}+309481473^{3}\\ &\displaystyle=2919526806^{3}+58798362^{3}\\ \displaystyle\operatorname{Ta}(8)\leq&\displaystyle\ 50974398750539071400590819921724352\\ &\displaystyle=299512063576^{3}+288873662876^{3}\\ &\displaystyle=336379942682^{3}+234604829494^{3}\\ &\displaystyle=341075727804^{3}+224376246192^{3}\\ &\displaystyle=347524579016^{3}+208029158236^{3}\\ &\displaystyle=367589585749^{3}+109276817387^{3}\\ &\displaystyle=370298338396^{3}+58360453256^{3}\\ &\displaystyle=370633638081^{3}+39304147071^{3}\\ &\displaystyle=370779904362^{3}+7467391974^{3}\\ \displaystyle\operatorname{Ta}(9)\leq&\displaystyle\ 136897813798023990395783317207361432493888\\ &\displaystyle=41632176837064^{3}+40153439139764^{3}\\ &\displaystyle=46756812032798^{3}+32610071299666^{3}\\ &\displaystyle=47409526164756^{3}+31188298220688^{3}\\ &\displaystyle=48305916483224^{3}+28916052994804^{3}\\ &\displaystyle=51094952419111^{3}+15189477616793^{3}\\ &\displaystyle=51471469037044^{3}+8112103002584^{3}\\ &\displaystyle=51518075693259^{3}+5463276442869^{3}\\ &\displaystyle=51530042142656^{3}+4076877805588^{3}\\ &\displaystyle=51538406706318^{3}+1037967484386^{3}\\ \displaystyle\operatorname{Ta}(10)\leq&\displaystyle\ 7335345315241855602572782233444632535674275447104\\ &\displaystyle=15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\ &\displaystyle=17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\ &\displaystyle=17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\ &\displaystyle=18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3}\\ &\displaystyle=19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\ &\displaystyle=19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\ &\displaystyle=19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\ &\displaystyle=19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\ &\displaystyle=19429379778270560^{3}+904069333568884^{3}\\ &\displaystyle=19429979328281886^{3}+391313741613522^{3}\\ \displaystyle\operatorname{Ta}(11)\leq&\displaystyle\ 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632\\ &\displaystyle=11410505395325664056^{3}+11005214445987377356^{3}\\ &\displaystyle=12815060285137243042^{3}+8937735731741157614^{3}\\ &\displaystyle=12993955521710159724^{3}+8548057588027946352^{3}\\ &\displaystyle=13239637283805550696^{3}+7925282888762885516^{3}\\ &\displaystyle=13600192974314732786^{3}+6716379921779399326^{3}\\ &\displaystyle=14004053464077523769^{3}+4163116835733008647^{3}\\ &\displaystyle=14107248762203982476^{3}+2223357078845220136^{3}\\ &\displaystyle=14120022667932733461^{3}+1497369344185092651^{3}\\ &\displaystyle=14123302420417013824^{3}+1117386592077753452^{3}\\ &\displaystyle=14125159098802697120^{3}+657258405504578668^{3}\\ &\displaystyle=14125594971660931122^{3}+284485090153030494^{3}\\ \displaystyle\operatorname{Ta}(12)\leq&\displaystyle\ 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\ &\displaystyle=33900611529512547910376^{3}+32696492119028498124676^{3}\\ &\displaystyle=38073544107142749077782^{3}+26554012859002979271194^{3}\\ &\displaystyle=38605041855000884540004^{3}+25396279094031028611792^{3}\\ &\displaystyle=39334962370186291117816^{3}+23546015462514532868036^{3}\\ &\displaystyle=40406173326689071107206^{3}+19954364747606595397546^{3}\\ &\displaystyle=41606042841774323117699^{3}+12368620118962768690237^{3}\\ &\displaystyle=41912636072508031936196^{3}+6605593881249149024056^{3}\\ &\displaystyle=41950587346428151112631^{3}+4448684321573910266121^{3}\\ &\displaystyle=41960331491058948071104^{3}+3319755565063005505892^{3}\\ &\displaystyle=41965847682542813143520^{3}+1952714722754103222628^{3}\\ &\displaystyle=41965889731136229476526^{3}+1933097542618122241026^{3}\\ &\displaystyle=41967142660804626363462^{3}+845205202844653597674^{3}\end{aligned}}}$$

 أرقام سيارات الأجرة الخالية من الأعداد المكعبة

وثمة نوع من مسألة رقم التاكسي هو أكثر تقييداً لكونها تتطلب أن يكون رقم التاكسي خالي من المكعبات، والذي يعني أنه غير قابل على القسمة على أي مكعب سوى 1³. حين يـُكتب رقم تاكسي خالي من المكعبات T بالصيغة T = x³ + y³، فإن الأعداد x و y يجب أن يكونا أوليّين نسبياً. وبين أرقام التاكسي Ta(n) المذكورة أعلاه، فقط Ta(1) و Ta(2) هما أرقام تاكسي خالية من المكعبات. أصغر رقم تاكسي خالي من المكعبات بثلاثة تمثيلات اكتشفه پول ڤويتا (غير منشورة) في 1981 بينما كان طالب دراسات عليا:

$${\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle 15170835645&\displaystyle=517^{3}+2468^{3}\\ &\displaystyle=709^{3}+2456^{3}\\ &\displaystyle=1733^{3}+2152^{3}\end{aligned}}}$$

أصغر رقم تاكسي خالي من التكعيب بأربع تمثيلات اكتشفه ستوارت گاسكوان وبشكل مستقل من قِبل دنكان مور في 2003:

$${\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle 1801049058342701083&\displaystyle=92227^{3}+1216500^{3}\\ &\displaystyle=136635^{3}+1216102^{3}\\ &\displaystyle=341995^{3}+1207602^{3}\\ &\displaystyle=600259^{3}+1165884^{3}\end{aligned}}}$$

(المتتالية A080642 في OEIS).

 انظر أيضاً

• 1729 (عدد)
• معادلة ديوفانتية
• Euler's sum of powers conjecture
• Generalized taxicab number
• Beal's conjecture
• Jacobi–Madden equation
• Prouhet–Tarry–Escott problem
• Pythagorean quadruple
• Sums of three cubes
• Sums of powers, a list of related conjectures and theorems

 المصادر

• G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 3rd ed., Oxford University Press, London & NY, 1954, Thm. 412.
• J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations, Proc. Camb. Phil. Soc. 53, 778–780, 1957.
• E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equations = x³ + y³ = z³ + w³ = u³ + v³ = m³ + n³, Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155–157; قالب:MR, online.
• David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), online. (Wilson was unaware of J. A. Dardis' prior discovery of Ta(5) in 1994 when he wrote this.)
• D. J. Bernstein, Enumerating solutions to ${\displaystyle{\displaystyle p(a)+q(b)=r(c)+s(d)}}$, Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389–394.
• C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196–1203

 وصلات خارجية

• A 2002 post to the Number Theory mailing list by Randall L. Rathbun
• Grime, James; Bowley, Roger. Haran, Brady (ed.). 1729: Taxi Cab Number or Hardy-Ramanujan Number. Numberphile.
• Taxicab and other maths at Euler
• Singh, Simon. Haran, Brady (ed.). "Taxicab Numbers in Futurama". Numberphile.