تخطيط (رياضيات)

الاستخطاط أو التخطيط Linearization في الرياضيات هي عملية الهدف منها تقريب معادلة أو نظام غير خطي بنظام خطي و ذلك لما تحمله النظم الخطية من سهولة في المعالجة. تستخدم هذه الطريقة في العديد من فروع العلوم مثل الهندسة التطبيقية، الفيزياء، الاقتصاد، وعلم البيئة.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 استخطاط دالة

تقريب للدالة f(x) عند (x, f(x))

إن استخطاط دالة هو عبارة عن خط مستقيم يستخدم في أغراض تبسيط الحساب. عادة يتم استخطاط أي دالة $y=f(x)$ عند نقطة $x=a$ باستخدام ميل الدالة عند $x=b$، وذلك بافتراض أن f(x) هو دالة مستمرة على المجال $[a,b]$ وأن $a$ قريبة جداً من النقطة $b$.

يعطى الاستخطاط لدالة مستمرة عند النقطة $x=a$ بالمعادلة:

$y=f(a)+f'(a)(x-a)\,$

حيث $x=a$, $f(a)=f(x)$. مشتق الدالة $f(x)$ هو $f'(x)$، وميل الدالة $f(x)$ عند النقطة $a$ هو $f'(a)$.

 مثال

على سبيل المثال، قد تعلم أن ${\sqrt {4}}=2$، ولكن وبدون آلة حاسبة ما الذي يمكن أن يكون تقريباً جيداً للقيمة ${\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}$ ؟

من أجل إيجاد قيمة ${\sqrt {4.001}}$، نستخدم معرفتنا بأن ${\sqrt {4}}=2$. وعندها يكون استخطاط $f(x)={\sqrt {x}}$ عند النقطة $x=a$ is $y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)$، لأن الدالة $f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ تعرف ميل الدالة $f(x)={\sqrt {x}}$ عند $x$. وبتعويض قيمة $a=4$، يكون الاستخطاط عند 4 مساوياً $y=2+{\frac {x-4}{4}}$. وفي هذه الحالة $x=4.001$، إذاً ${\sqrt {4.001}}$ is يساوي تقريباً $2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025$. القيمة الحقيقية قريباً جداً من 2.00024998, وبهذا يكون تقريب الاستخطاط ذو خطأ أقل من 1 بالمليون بالمائة.

 مواضيع متعلقة

• مبرهنة الاستخطاط Linearization theorem
• مصفوفة جاكوبي
• متسلسلة تايلور