تحويل لجاندر

Diagram illustrating the Legendre transformation of the function ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle f(x)\!}}$, shown in red. ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle f^{\star}}}$ is the value of the Legendre transform ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle f^{\star}(p_{0})}}$, where ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle p_{0}={\dot{f}}(x_{0})}}$, and is found by the intersection of the tangent line at point ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle(x_{0},\ f(x_{0}))}}$ (shown in blue) with the vertical axis at ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle(0,\ -f^{\star})}}$. Note that for any other point on the red curve, a line drawn through that point with the same slope as the blue line will have a y-intercept above the point ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle(0,\ -f^{\star})}}$, showing that ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle f^{\star}}}$ is indeed a maximum. Alternatively, ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle f^{\star}}}$ is the vertical distance at ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle x_{0}}}$ between the red line and the blue line shifted up to pass through the origin, i.e. the maximum value of ${\displaystyle{\displaystyle\scriptstyle px-f(x)}}$.

في الرياضيات والفيزياء، تحويل ليجاندر Legendre transformation، هو تحويل رياضي ينتسب إلى عالم الرياضيات أدريان ليجاندر يختص بتحويل التماس ويشكل طريقة حسابية هامة لتحويل المتغيرات في الدوال الرياضية . فهو يحول دالة من نوع ${\displaystyle{\displaystyle f(x)}}$ إلى دالة ${\displaystyle{\displaystyle g(u)}}$

حيث ينشأ المتغير ${\displaystyle{\displaystyle g}}$ من مشتقة الدالة ${\displaystyle{\displaystyle f}}$.

أي أن:

${\displaystyle{\displaystyle u={\tfrac{\partial f}{\partial x}}}}$

وبالعكس:

${\displaystyle{\displaystyle x=\pm{\tfrac{\partial g}{\partial u}}}}$.

ويمكن كتابة معادلات قبل وبعد التحويل كالآتي:

${\displaystyle{\displaystyle g(u)=\pm\left[u\,x(u)-f(x(u))\right]\ ,\quad f(x)=x\,u(x)\mp g(u(x))}}$

 استنباطه

الغرض من تحويل ليجاندر هو تغيير اعتماد دالة ${\displaystyle{\displaystyle f(x)}}$ على المتغير ${\displaystyle{\displaystyle x}}$ إلى اعتمادها على متغير آخر ${\displaystyle{\displaystyle u}}$ حيث:

${\displaystyle{\displaystyle u={\frac{\partial f}{\partial x}}}}$

فعندما نصيغ الدالة ${\displaystyle{\displaystyle f(x)}}$ المعتمدة على ${\displaystyle{\displaystyle x}}$

${\displaystyle{\displaystyle\mathrm{d}f={\frac{\partial f}{\partial x}}\,\mathrm{d}x=u\,\mathrm{d}x}}$,

يصبح الدالة ${\displaystyle{\displaystyle g(u)}}$ أيضا معتمدة على المتغير ${\displaystyle{\displaystyle u}}$ .

${\displaystyle{\displaystyle\mathrm{d}g=\pm x\,\mathrm{d}u}}$

وعندما نقوم بمعلية التفاضل الكلي ل ${\displaystyle{\displaystyle(\pm ux)}}$ نحصل على:

${\displaystyle{\displaystyle\mathrm{d}(\pm ux)=\pm(x\,\mathrm{d}u+u\,\mathrm{d}x)}}$.

وبالمقارنة ب ${\displaystyle{\displaystyle\mathrm{d}f}}$ و ${\displaystyle{\displaystyle\mathrm{d}g}}$

نحصل على:

${\displaystyle{\displaystyle\mathrm{d}(\pm ux)=\mathrm{d}g\pm u\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}g\pm\mathrm{d}f}}$.

أي أن:

${\displaystyle{\displaystyle\mathrm{d}g=\mathrm{d}(\mp f\pm ux)}}$,

وبعد إجراء التكامل نحصل على:

${\displaystyle{\displaystyle g(u)=\pm(-f(x(u))+ux(u))}}$.

وتسمى الدالة ${\displaystyle{\displaystyle g(u)}}$ دالة ليجاندر المحولة من الدالة ${\displaystyle{\displaystyle f}}$ . ولا أهمية لإشارة الدالة ${\displaystyle{\displaystyle g}}$

لذلك يمكننا كتابة

${\displaystyle{\displaystyle g=ux-f}}$ oder ${\displaystyle{\displaystyle g=f-ux}}$

ويعتمد اختيار الإشارة على المعني الفيزيائي للدالة ${\displaystyle{\displaystyle g}}$ .

 معناه الهندسي

سنوضح تحويل ليجاندر بواسطة الرسم المرسوم أعلاه : يمكن رسم المنحنى الأحمر عن طريق استبدال كل نقاطه بتحويلات ليجاندر التي تعطينا عددا كبيرا من المماسات التي تحيط وتمس المنحنى الأحمر. وهذا ما تقوم به تحيلات ليجاندر . فالدالة الناتجة ${\displaystyle{\displaystyle g(u)}}$ ترتب ميل الممسات ${\displaystyle{\displaystyle u}}$ لكل نقطة بحسب تقاطع خط التماس مع المحور Y . إذاّ فتلك الممسات تصف المنحني وصفا كاملا - ولكن باستخدام إحداثية أخرى ، وهي ${\displaystyle{\displaystyle u}}$ بدلا من ${\displaystyle{\displaystyle x}}$.

 في حالة عدة متغيرات

يتغير اعتماد دالة ${\displaystyle{\displaystyle f(x,y)}}$ تعتمد على المتغير ${\displaystyle{\displaystyle x}}$ إلى متغير آخر ${\displaystyle{\displaystyle u}}$ عن طريق التفاضل الجزئي للدالة ${\displaystyle{\displaystyle f}}$ بالنسبة إلى ${\displaystyle{\displaystyle x}}$ كالآتي:

${\displaystyle{\displaystyle u={\frac{\partial f}{\partial x}}}}$.

ويمثل فيها ${\displaystyle{\displaystyle u(x,y)}}$ الميل الهندسي في الاتجاه x من الدالة ${\displaystyle{\displaystyle f(x,y)}}$ .

ذلك نتحدث عن تحويل ليجااندر بأنه "تحويل مماسات " . وتسمى الدالة ${\displaystyle{\displaystyle F(u,y)}}$

"دالة ليجراند المحولة" .

ويمكننا استنباط دالة ليجراند المحولة كالآتي: يمكن كتابة الدالة ${\displaystyle{\displaystyle f(x,y)}}$ على الصورة :

${\displaystyle{\displaystyle f(x,y)\approx f(x_{0},y)+{\frac{\partial f}{\partial x}}\Delta x,\;\Delta x=x-x_{0}}}$

وإذا عرّفنا ${\displaystyle{\displaystyle f(x_{0},y)\equiv F(u,y)}}$, حصلنا على دالة ليجراند المحولة :

${\displaystyle{\displaystyle F(u,y)=f(x,y)-{\frac{\partial f}{\partial x}}\Delta x}}$.

في أغلب أحوال توضع ${\displaystyle{\displaystyle x_{0}=0}}$ ونحصل على :

${\displaystyle{\displaystyle F(u,y)=f(x,y)-{\frac{\partial f}{\partial x}}x}}$.

بالنسبة إلى التعريف الأخير يكون الجزء ${\displaystyle{\displaystyle y}}$ لنقطة المماس على ${\displaystyle{\displaystyle f(x,y)}}$ مع اتخاذ المستوي ${\displaystyle{\displaystyle x=0}}$ هي دالة ليجراند المحولة . وتوصف الدالات في ذلك المستوي بأنها "مقطع المحور" .

أي ينشأ تبديل المتغيرات من خلال طرح حاصل ضرب الإحداثيات الأولية و الجديدة < math>u x</math> من الدالة الأصلية :

${\displaystyle{\displaystyle F(u,y)=f(x,y)-ux}}$.

ويبدو ذلك واضحا عند مشاهدة إلى التفاضل الكلي لدالة ليجاندر المحولة :

${\displaystyle{\displaystyle\mathrm{d}(f(x,y)-ux)=\mathrm{d}f(x,y)-x\,\mathrm{d}u-u\,\mathrm{d}x={\frac{\partial f}{\partial x}}\mathrm{d}x+{\frac{\partial f}{\partial y}}\mathrm{d}y-x\mathrm{d}u-u\mathrm{d}x={\frac{\partial f}{\partial y}}\mathrm{d}y-x\,\mathrm{d}u=\mathrm{d}F(u,y)}}$.

 تطبيقاته

يطبق تحويل ليجاندر في الفيزياء في مسائل الترموديناميكا الإحصائية ، مثل تحويل معادلات الانتقال بين الجهود الترموديناميكية تحت طروف معينة وكذلك عند الانتقال من دالة ليجاندر إلى ميكانيك هاميلتون أو إلى ميكانيك لاغرانج .

وفي علم الحركة الحرارية نستخدمها مع اختيار الإشارة السفلى ، أي بوضع (${\displaystyle{\displaystyle g=f-ux}}$).

ويقوم تحويل ليجاندر - وكذلك تحويل نقاط الممسات بصفة عامة - بوظية هامة ي الميكانيكا و حساب التغيرات وفي نظرية المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى . وعند استخدام دالة ليجراندر المحولة في الميكانيكا نستخدم الإشارة العليا في المعادلة (${\displaystyle{\displaystyle g=ux-f}}$) طبقا للمتفق عليه.

 مثـال دالة هاميلتون

في الميكانيكا نستنبط معادلة هاميلتون من معادلة لاغرانج عن طريق استخدام تحويل ليجاندر:

${\displaystyle{\displaystyle H(q,p)=p\,{\dot{q}}(q,p)-L(q,{\dot{q}}(q,p))\quad{\text{with}}\quad p={\frac{\partial L}{\partial{\dot{q}}}}}}$

وفي الترموديناميكا يمكننا عن طريق تحويل ليجاندر استنباط الجهد الترمويناميكي من المعادلات الأساسية للترموديناميكا. عندئذ يمكن الانتقال من الطاقة الداخلية U (وهي تعتمد على الإنتروبيا) S إلى طاقة هيلمهولتز F التي تعتمد على درجة الحرارة T:

${\displaystyle{\displaystyle F(T,V,N)=U(S,V,N)-\left({\frac{\partial U}{\partial S}}\right)_{V,N}\cdot S=U-TS}}$

وهنا يختص تفاضل المعادلة (U(S,V,N بانسبة لإنتروبيا S, حيث نضع كلا من V و N كثوابت .

بالمثل نستخدمها عند دراسة جهد ترموديناميكي و تحوله إلى جهد آخر ، مثلما يحدث عند الانتقال من الإنثالبي H إلى طاقة جيبس G:

${\displaystyle{\displaystyle G(T,p,N)=H(S,p,N)-\left({\frac{\partial H}{\partial S}}\right)_{p,N}\cdot S=(U+pV)-TS}}$

وبالمثل نستطيع الحصول على جهود ترموديناميكية أخرى أننا عن طريق تحويل ليجاندر نستطيع الانتقال إلى إحداثيات معممة والتي عن طريقها يمكننا استبدالها بالقوة الترموديناميكية المقترنة.

 أمثلة الدالة الأسية

ملف:LegendreExample.png

رسم الرسم البياني للدالة e^x بخط أحمر ، ورسمت دالة تحويل ليجاندر لها بنقاط زرقاء .

الدالة الأسية e^x

لها دالة تحويل ليجاندر  x ln x − x&nbsp حيث أن مشتقاتها الأولى e^x و  ln x معكوسة بالنسبة لبعضها . وهذا يبين أن ليس من الضروري أن يتفق الحيزين الرياضييين للدالتين مع بعضهما .

كذلك بالنسبة إلى الدالة التربيعية :

${\displaystyle{\displaystyle f(x)={\begin{matrix}{\frac{1}{2}}\end{matrix}}\,x^{T}\,A\,x}}$

حيث A مصفوف متناظر غير متغير (مصفوف n-في-n) ودالة تحويل ليجاندر له هي:

${\displaystyle{\displaystyle f^{\star}(y)={\begin{matrix}{\frac{1}{2}}\end{matrix}}\,y^{T}\,A^{-1}\,y}}$

 انظر أيضاً

• Dual curve
• Projective duality
• Young's inequality
• Convex conjugate
• Moreau's theorem

 المصادر

• Arnol'd, Vladimir Igorevich (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. ISBN 0-387-96890-3.
• Rockafellar, R. Tyrrell (1996). Convex Analysis (paperback republication of 1970 ed.). Princeton University Press. ISBN 0-691-01586-4.
• Zia, R. K. P.; et al. (2009). "Making Sense of the Legendre Transform". arXiv:0806.1147. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help); Explicit use of et al. in: |author= (help)

 وصلات خارجية

• Touchette, Hugo (2005-07-27). "Legendre-Fenchel transforms in a nutshell" (PDF). Retrieved 2007-07-24.

• Touchette, Hugo (2006-11-21). "Elements of convex analysis" (PDF). Retrieved 2008-03-26.

• "Legendre transform with figures". Retrieved 2012-09-26.