ميكانيكا هاملتونية

ميكانيكا كلاسيكية

${\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\vec {v}})$ قانون نيوتن الثاني

تاريخ... المفاهيم الأساسية فضاء · زمن · كتلة · قوة طاقة · عزم صيغ ميكانيكا نيوتن ميكانيكا لاگرانج ميكانيكا هاملتونية أقسام ستاتيكا ديناميكا كينماتيكا ميكانيكا تطبيقية ميكانيكا سماوية ميكانيكا متصلة ميكانيكا استاتيكية علماء نيوتن · اويلر · دالمبير · كليرو لاگرانج · لاپلاس · هاملتون · پواسون

الميكانيكا الهاميلتونية Hamiltonian mechanics هي إعادة صياغة للميكانيكا الكلاسيكية طورها وليام روان هاملتون عام 1833. وقد نشأت الميكانيكا الهاميلتونية من ميكانيكا لاگرانج، التي هي صياغة أخرى للميكانيكا الكلاسيكية طورها جوزيف لويس لاگرانج Joseph Louis Lagrange عام 1788. لكن بجميع الأحوال يمكن اشتقاق الميكانيكا الهاملتونية دون الرجوع لميكانيكا لاگرانج باستخدام الفضاءات السمبلكتية symplectic spaces.

معادلة هاميلتون في الفيزياء (بالإنجليزية:Hamilton function ) ${\mathcal {H}}(t,q,p)$ هي معادلة تصف حركة نظام مكون من جسيمات وتعطي طاقته كدالة لموضع الجسيمات و وزخم حركتها. وهي معادلة تعتمد على الزمن $t$ وإحداثيات الوضع $q=(q_{1},q_{2}\dots q_{n})$ وزخم الحركة لكل الجسيمات $p=(p_{1},p_{2}\dots p_{n})$ .

عند دراسة حركة جسيم كتلته $m$ يتحرك بسرعة أقل بكثير من سرعة الضوء ويوجد في بئر جهدي V (مثال تقريبي: إلكترون يتحرك في جهد نواة الذرة)، فيمكن حساب طاقة الحركة و طاقة الوضع للجسيم (الإلكترون) بالمعادلة:

${\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2\,m}}+V(\mathbf {q} )$

أما إذا أردنا وصف جسيم حر طليق يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء نحصل على العلاقة بين الطاقة E وزخم الحركة p للجسيم الحر كالآتي:

$E^{2}-\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}=m^{2}\,c^{4}$

حيث c سرعة الضوء،

وتكون معادلة هاميلتون للجسيم الحر (مع أخذ تأثيرات النظرية النسبية الخاصة لأينشتاين في الحسبان) :

${\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}}}\,.$

في ذلك المثالين (جسيم يتحرك في بئر جهدي لنواة أو جسيم حر) لا تعتمد دالة هاملتون على الزمن ، وعلى ذلك يحتفظ الجسيم بطاقته الابتدائية، فتكون طاقة الجسيم كمية محفوطة.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 إعادة صياغة ميكانيكا لاگرانج

اعتماداً على ميكانيكا لاگرانج ، تكون معادلات الحركة المستندة على الإحداثيات المعممة

$\left\{\,q_{j}|j=1,...,N\,\right\}.$

و التي تطابق السرعات :

$\left\{\,{\dot {q}}_{j}|j=1,...,N\,\right\}.$

يمكن لنا كتابة اللاگرانجي

$L(q_{j},{\dot {q}}_{j},t),$

وتهدف الميكانيكا الهاملتونية إلى استبدال متغيرات السرعة المعممة بمتغيرات العزم المعممة أو ما يدعى بعزم المزدوجة :

من اجل كل سرعة معممة هناك ما يقابلها من العزم المزدوج الذي يكتب كما يلي :

$p_{j}={\partial L \over \partial {\dot {q}}_{j}}.$

في جملة إحداثيات ديكارتية, العزم المعمم هو بالضبط العزم الفيزيائي الخطي . أما في جملة احداثيات قطبية فإن العزم المعمم المقابل للسرعة الزاوية يصبح العزم الزاوي ، في جملة احداثية افتراضية توجد صياغات أخرى لإيجاد العزم المعمم .

الهاميلتوني هو عبارة [[]]:

$H\left(q_{j},p_{j},t\right)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q_{j},{\dot {q}}_{j},t).$

إذا كانت معادلات التحويل المعرفة للإحداثيات المعممة مستقلة عن الزمن t ، فيمكن أن نقول ان الهاميلتوني H مساو للطاقة الكلية E = T + V.

كل طرف من تعريف الهاميلتوني of H ينتج تفاضلا :

${\begin{matrix}dH&=&\sum _{i}\left[\left({\partial H \over \partial q_{i}}\right)dq_{i}+\left({\partial H \over \partial p_{i}}\right)dp_{i}\right]+\left({\partial H \over \partial t}\right)dt\qquad \qquad \quad \quad \\\\&=&\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}\,dp_{i}+p_{i}\,d{\dot {q}}_{i}-\left({\partial L \over \partial q_{i}}\right)dq_{i}-\left({\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}\right)d{\dot {q}}_{i}\right]-\left({\partial L \over \partial t}\right)dt.\end{matrix}}$

باستبدال التعريف السابق للعزم الإزدواجي ضمن المعادلة و مطابقة معاملات المعدلة ، نستخرج قوانين الحركة في الميكانيك الهاميلتوني

${\partial H \over \partial q_{j}}=-{\dot {p}}_{j},\qquad {\partial H \over \partial p_{j}}={\dot {q}}_{j},\qquad {\partial H \over \partial t}=-{\partial L \over \partial t}.$

معادلات هاميلتون تشكل معادلات تفاضلية من المرتبة الأولى ، لذا هي أسهل حلا من معادلات لاغرانج التي تعطي معادلات تفاضلية من المرتبة الثانية. لكن العمليات التي تقود إلى معادلات الحركة اكثر صعوبة فبداية علينا البدء من الإحداثيات المعممة و ميكانيك لاغرانج لنقوم بتشكيل الهاميلتوني ، ثم علينا تحويل كل قيمة لسرعة معممة إلى عزم ازدواجي ، لنقوم بعد ذلك باستبدال السرع المعممة في الهاميلتوني بقيم العزم الإزدواجي.

 دالة هاميلتون ودالة لاگرانج

تمكن تحويل دالة هاميلتون عن طريق تحويل ليجاندر فنحصل على دالة لاگرانج ${\mathcal {L}}(t,q,{\dot {q}})$ التي تعتمد على الإحداثيات المعممة للوضع والسرعات , ${\dot {q}}=({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2}\dots {\dot {q}}_{n})$ :

${\mathcal {H}}(t,q,p)=\sum _{k=1}^{n}{\dot {q}}_{k}\,p_{k}-{\mathcal {L}}(t,q,{\dot {q}})$

نجد على اليمين السرعات ${\dot {q}}$ التي تؤول إلى الدوال ${\dot {q}}(t,q,p)$ عند تعريف زخوم الحركة حيث زخم الحركة p :

$p_{k}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}$

واستنباطها من السرعات.

وعلى سبيل المثال يعتمد زخم الحركة لجسيم يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء طبقا لدالة لاغرانج :

${\mathcal {L}}=-m\,c^{2}{\sqrt {1-{\dot {\mathbf {q} }}^{2}/c^{2}}}$

$\mathbf {p} ={\frac {m{\dot {\mathbf {q} }}}{\sqrt {1-{\dot {\mathbf {q} }}^{2}/c^{2}}}}$

أي يعتمد زخم الحركة على السرعات .

وبالعكس نجد ان السرعة دالة لزخم الحركة :

${\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\mathbf {p} \,c^{2}}{\sqrt {m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}}}}$

وتحدد دالة هاميلتون تغير مكان الجسيمات و زخمها الحركي مع الزمن من خلال معادلة هاميلتون للحركة .

${\dot {q}}_{k}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{k}}}\ ,\quad {\dot {p}}_{k}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{k}}}\,.$

كذلك يعين معامل هاميلتون التغير مع الزمن في ميكانيكا الكم . ويمكن الحصول عليه في مسائل كثيرة من دالة هاميلتون مع أخذ الكمومية في الاعتبار ، وصياغة الدالة ${\mathcal {H}}(t,q,p)$ كدالة للمعاملين $q$ و $p$ .

 انظر أيضا

• ميكانيكا لاگرانج
• تحويل ليگاندر
• ستة درجات حرية
• جسيم في صندوق
• جهد يوكاوا
• هاملتونية (ميكانيكا الكم)
• ميكانيكا لاگرانج
• Canonical transformation
• ميكانيكا كلاسيكية
• أنظمة ديناميكية
• ميكانيكا الكم
• معادلات ماكسويل
• Field theory
• معادلة هاملتون-جاكوبي

 المصادر

• V.I. Arnol'd, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (1989), [ISBN 0-387-96890-3]
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
• V.I. Arnol'd, V.V. Kozlov and A.I. Neĩshtadt, "Mathematical aspects of classical and celestial mechanics." In: Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Dynamical Systems III (vol. 3), Springer-Verlag, 1988.
• A. M. Vinogradov , B. A. Kupershmidt "The structure of Hamiltonian mechanics" (djvu), London Math. Soc. Lect. Notes Ser., 60 (1981), Cambridge Univ. Press, London
• Binney, James, "Classical Mechanics" (PostScript) lecture notes (PDF)
• Tong, David, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)