تثليث مساحي
التثليث المساحي إنگليزية: Trilateration هي طريقة لتحديد المواقع النسبية للأجسام بالنسبة لبعضها البعض باستخدام هندسة المثلثات على شكل مشابه لعملية التثليث. على خلاف عملية التثليلث والتي تستخدم قياسات الزوايا (بالإضافة إلى مسافة واحدة على الأقل) لحساب موقع الجسم، فإن عملية التثليث المساحي تستخدم المواقع المعروفة لنقطتين أو أكثر والمسافة المقاسة بين الجسم والنقطة المرجع. من أجل تحديد الموقع النسبي لأي نقطة في المستوي، نحتاج على الأقل إلى ثلاث نقاط مرجعية بشكل عام.
الاستنتاج
من الممكن الحصول على الاستنتاج الرياضي للتثليث المساحي لمسألة بأخذ صيغ ثلاث كرات وحلها حلاً مشتركاً. من أجل القيام بذلك يجب تطبيق ثلاث قيود على المراكز وهي: المراكز الثلاث يجب أن تكون في المستوي z=0، واحد من المراكز أن يكون في مركز الإحداثيات، وآخر أن يكون على محور السينات x. ولكن من الممكن نقل أي مجموعة من ثلاث نقاط لتحقيق الشروط السابقة، إيجاد الحل ومن ثم النقل المعاكس لإيجاد الحل النهائي في نظام الإحداثيات الأصلي.
بالبدء بمعادلات الكرات الثلاث:
- خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_1^2=x^2+y^2+z^2} ,
- خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_2^2=(x-d)^2+y^2+z^2,}
و
- خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_3^2=(x-i)^2+(y-j)^2+z^2} ,
بتبديل المعادلة الثانية في الأولى والحل بالنسبة للمتحول x نجد:
- خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\frac{r_1^2-r_2^2+d^2}{2d}} .
وبتبديل هذه ثانية في معادلة الكرة الأولى ينتج لدينا معادلة دائرة، وهي دائرة تقاطع الكرتين الأولى والثانية:
- خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y^2+z^2=r_1^2-\frac{(r_1^2-r_2^2+d^2)^2}{4d^2}} .
وبحل هذه المعادلة مع معادلة الكرة الثالثة نجد:
- خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\frac{r_1^2-r_3^2-x^2+(x-i)^2+j^2}{2j}=\frac{r_1^2-r_3^2+i^2+j^2}{2j}-\frac{i}{j}x} .
الآن ينتج لدينا الإحداثيات x و y للنقطة المطلوبة، نرتب الحدود ونبدل في معادلة الكرة الأولى فنجد الإحداثيات z:
- خطأ رياضيات (اعرض بصيغة MathML إن أمكن (تحت التجريب): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=\sqrt{r_1^2-x^2-y^2}}
حيث تؤخذ الجذور الموجبة لهذه القيمة من أجل حل ممكن التمثيل في الفضاء الحقيقي.
تطبيقات
يستخدم التثليث المساحي في تحديد مكان نزول الصواعق، وهي عملية مفيدة جداً خاصة للوقاية من الحرائق في الغابات.
