الرياضيات البابلية

لوح طيني بابلي رقم يل 7289 (ح. 1800–1600 ق.م.) بترميز. تقريب الجذر التربيعي لـ 2 هو أربع أرقام في نظام العد الستيني، والتي تناظر حوالي ست أرقام في نظام العد العشري. 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1.41421296...^[1]

الرياضيات البابلية (وتُعرف أيضاً بإسم الرياضيات البابلية-الآشورية تطلَّب العمل في الزراعة وقياس الأراضي وبناء قنوات الري والقصور والمعابد وسواها ومزاولة التجارة معرفة الحساب والهندسة والجبر. وكان النظام السائد في بلاد الرافدين كلها هو النظام الستيني سواء في الحساب أو في أنظمة قياس الزمن أو المكاييل والموازين. فقسمت السنة إلى اثني عشر شهراً واليوم إلى أربع وعشرين ساعة، وهو النظام المعمول به حتى اليوم. وعرف البابليون فكرة المربع والمكعب وتمكنوا من حساب مساحة الدائرة ومحيطها. واهتموا برصد الكواكب لاعتقادهم بتأثيرها في حياة الناس بوصفها آلهة، وربطوا بين حركاتها ومظاهر الطبيعة المختلفة، وهذا ما أدى إلى نشأة علم التنجيم عندهم، فقسموا دائرة البروج إلى اثني عشر برجاً. وكان هناك أشخاص يراقبون النجوم في الليل والنهار ويتتبعون مساراتها ويقومون بتدوين مراقباتهم وأرصادهم، وقد مكنهم هذا من التنبؤ بحدوث الخسوف والكسوف، وهكذا صار لهم شهرة كبيرة في هذا المجال استفاد منها الإغريق كثيراً فيما بعد.^[2]

أما فيما يتعلق بالفترة الزمنية فيمكن تقسيمها إلى قِسمين: الأولى هي في أيام حكم الأسرة البابلية الأولى (1830-1531 ق.م.)، أما الأخرى فهي في أيام حكم السلوقيين في القرن الثالث أو الرابع قبل الميلاد. أما المحتوى بالكاد يوجد به أي اختلاف في نصوص المجموعتين السابقتين. وهكذا ظلت الرياضيات البابلية ثابتة، في الشكل والمضمون، ما يقارب ألفيتين من الزمان.^[3] وعلى عكس قلة المصادر الرياضيات المصرية، فإن معرفتنا بالرياضيات البابلية أتت من ألواح طينية اكتشف منها حتى الآن 400 لوح منذ 1850م. وقد كُتبت بالكتابة المسمارية، وتم تدوينها على الألواح الطينية بينما كانت رطبة، ثم تم تحميصها بشدة في فرن أو بحرارة الشمس. معظم الألواح التي تم ترميمها يحدد تاريخها من 1600 ق.م. إلى 1800 ق.م.، وغطت مواضيع تتناول الكسور والجبر والمعادلات التربيعية والدوال التكعيبية ومبرهنة فيثاغورث. واللوح البابلي YBC 7289 خير مثال للرياضيات في بابل؛ حيث يعطي قيمة مقربة لـ ${\sqrt {2}}$ تقترب لخمس منازل عشرية.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

أصول الرياضيات البابلية

الأرقام البابلية

مقالة مفصلة: الأرقام البابلية

كان نظام العد في الرياضيات البابلية نظام عد ستيني. ومن هذا النظام أخذنا اليوم استعمال 60 ثانية للدقيقة، و60 دقيقة للساعة، و360 (6×60) درجة في الدائرة. وقد حقق البابليون تقدما عظيما في الرياضيات لسببين. أولا، العدد 60 هو عدد مركب للغاية، ولديه المقسومات 1، 2، 3، 4، 5، 6، 10، 12، 15، 20، 30 و 60، التي تيسر عملية التعامل مع الكسور. بالإضافة إلى ذلك، على عكس المصريين والرومان، فلقد كان لدى الهنود والبابليون شكل حقيقية لأنظمة العد الموضعية، حيث أن الأرقام على اليسار تمثل أكبر قيمة (مشابه للنظام العشري المستعمل حاليا 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1). وقد كان السومريون والبابليون الرواد في هذا الصدد.

الرياضيات السومرية (2000-2300 ق.م.)

طور السومريون القدماء في بلاد الرافدين نظام معقد للقياس منذ 3000 قبل الميلاد. ابتداءً من 2600 قبل الميلاد، كتب السومريون جدول الضرب على الألواح الطينية وتعاملوا مع تمارين الهندسة ومسائل القسمة، وأقرب أثر لبداية الأرقام البابلية ترجع أيضا لنفس التاريخ.^[4]

الرياضيات البابلية القديمة (2000-1600 ق.م.)

الفترة البابلية القديمة هي الفترة التي ترجع إليها معظم الألواح الطينية في حقل الرياضيات في بابل، ولهذا تُعرف الرياضيات في بلاد الرافدين بالرياضيات البابلية. بعض هذه الألواح تحتوي على قوائم وجداول رياضية، وبعضها يحتوي على مسائل وحلول مفصلة.

الحساب

قام البابليون باستعمال واسع لجداول عد قبل-حسابية لمساعدتهم في علوم الحساب. على سبيل المثال، وجد لوحان في تل السنكرة على الفرات في عام 1854، يرجع تاريخهما إلى 2000 ق.م، يوجد بهما قائمة بالأعداد المربعة متدرجة إلى الرقم 59 وتكعيب الأرقام تدريجيا إلى الرقم 32. وقد استعمل البابليون قوائمة الأعداد المربعة مع هذه الصيغ

ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}

ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}

وذلك لتسهيل الضرب. ولم يكن لدى البابليون خوارزميات لحساب القسمة المطولة. بدل ذلك قاموا بوضع طرق تتناسب مع علمهم على الحقيقة

{\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}

وبجانب جدول الأعداد المقلوبة، والأعداد الوحيد التي تشكل عوامل أولية هي فقط 2 و3 أو 5 لديها عدد محدود من مقلوبات الأعداد في النظام الستيني المدون آنذاك، وبهذا تم إنشاء جدول الأعداد المقلوبة.

المعكوسات مثل 1/7 و1/11 و1/13 وغيرها، لا يوجد لديها تمثيلا محدودا في النظام الستيني. لحساب الرقم 1/13 أو أي عدد مقسوم على 13 كان البابليون يستخدمون التقريب

{\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}.

الجبر

طور البابليون صيغ جبرية لحل المعادلات الرياضيات، وقد كانت، أيضاً، مبنية على الجداول قبل-الحسابية. مثلها مثل مجال العلوم الحسابية.

لحل المعادلات التربيعية، استخدم البابليون الصيغة القياسية للمعادلات التربيعية. ودرسوا هذه الصيغة للمعادلات التربيعية

\ x^{2}+bx=c

حيث كل من b وc لم تَكونا بالضرورة أعداداً صحيحة، لكن كانت c دائما موجبة. وقد علموا الحل لصيغة للمعادلات التربيعية هذه وهو كالآتي

x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}

وممن الممكن أنهم قد استخدموا جداول التربيع بشكل عكسي لإيجاد الجذور التربيعية. ودائما ما استخدم البابليون الجذر الموجب لأن استخدامه كان منطقيا في حل المسائل "الحقيقة" (حيث أن جذر المقدار السالب عدد مركب تخيلي وليس حقيقياً). هذا النوع من المسائل يتضمن أبعاد المستطيل مساحته ومقداره معطى عن طريق مقدار الطول الذي يتجاوز العرض.

جدول قيم n³ + n² استخدم لحل أنواع محددة من الدوال التكعيبية. مثلا، حل المعادلة

\ ax^{3}+bx^{2}=c.

بضرب المقدار في a² وبقسمته على b³ يعطينا

\left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}.

باستبدال y = ax/b يعطينا

y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}

وبعد هذه العملية يمكن للمسألة أن تحل بجرد إيجاد قيم n³ + n² على جدول القيم بحيث تكون القيم الموجودة على الجدول هي الأقرب للجانب الأيمن. وقد حقق البابليون ذلك بدون اللجوء إلى التدوين الجبري، وهذا يشير إلى الفهم العميق لمثل هذه العمليات. وعلى الرغم من ذلك، لم يكن لديهم أي حل للصيغة التكعيبية العامة.

النمو

شكّل البابليون ما يعرف اليوم باسم النمو الأسي، والنمو التقييدي، ومضاعفات الزمن. والأخير استعمل في الفوائد العائدة من الديون.

ألواح طينية يرجع تاريخها إلى حوالي 2000ق.م تضمنت المسألة "مقدار الفائدة معطىً وهو 1/60 لكل شهر، أحسب مضاعفات الزمن." هذه الغلة هي مقدار الفائدة السنوية لـ12/60 = 20%، ومن هنا تضاعف مرة إلى نمو 100% ويجزأ النمو إلى 20% لكل سنة = 5 سنين.^[5]^[6]

بليمبتن 322

اللوح المعروف باسم بليمبتن 322 يوضح طريقة لحل ما يعرف اليوم باسم معادلة من الدرجة الثانية من النموذج،

x-{\tfrac {1}{x}}=c

,

بالخطوات (الموصوفة بالشروط الهندسية) التي تحسب سلسلة من القيم المتوسطة v₁ = c/2, v₂ = v₁², v₃ = 1 + v₂, and v₄ = v₃^1/2, من التي يمكن للمرء حسابها هكذا x = v₄ + v₁ و 1/x = v₄ - v₁.

ويذكر في بحث روبسون، الذي قامت بنشره الجمعية الرياضية الأمريكية عام (2001-2002)، بأن بليمبتن 322 يمكن أن تفسر بالقيم التالية، وهي قيم الأعداد العادية x و1/x' في ترتيب عددي:

v₃ في العمود الأول,

v₁ = (x - 1/x)/2 في العمود الثاني

v₄ = (x + 1/x)/2 في العمود الثالث.

في هذا التفسير، كانت x و1/x لتظهرا في الجزء المكسور في يسار العمود الأول للوح. كاقتراح لهذا الحل، يمكن أن تكون قيمة x في الصف 11 للوح هي x = 2.

وقد أشار روبسون بأن ألّوح بليمبتون 322 يكشف عن "صيغ-— أزواح مقلوبات الأعداد،إكمال المربع، التقسيم عن طريق العوامل الأولية للرقم العادي-— وقد كانت جميعها تقنيات سهلة كانت تدرس في مدارس الكُتّاب" في تلك الفترة الزمنية.^[7]

الهندسة

من الممكن أن يكون الباليون قد علموا بالقواعد العامة لقياس المساحة والحجم. لقد قاموا بحساب محيط الدائرة كثلاثة أضعاف القطر والحجم كواحد على إثني عشر من مربع المحيط، وهو ما قد يكون صحيحاً في π إذا قدرت بالعدد 3. وقد حسبوا حجم الأسطوانة كناتج من الحجم في الارتفاع، وعلى كل، فإن حجم كل من المخروط الناقص والهرم المربع الناقص لم تؤخذ بشكل صحيح كناتج الارتفاع ونصف مجمع القواعد. وقد عرف البابليون مبرهنة فيثاغورس. أيضا، هناك اكتشاف يثبت أن البابليون عن لوح استُعمل فيه الرقم π على هيئة 3 أو على هيئة 1/8. ويعرف البابليون باكتشافهم الميل البابلي، وهي وحدة قياس مسافة تعادل سبعة أميال اليوم. وحدات قياس المسافات استعملت في قياس حركة الشمس، وذلك بتحويلها الميل إلى ميل زمني، وبالتالي يمثل بها الوقت.^[8]

علم البابليون القدماء نظريات النسب للمثلثات متساوية الساقين لقرون عدة، لكن افتقروا لمفهوم قياس الزوايا وهكذا، قاموا بدراسة أضلاع المثلث بدلا عن ذلك.^[9]

أبقى علماء الفلك البابليون تسجيلات مفصلة عن ظهور واختفاء النجوم، والكسوف والخسوف الشمسي والقمري، وكل هذا يتطلب إلماما بالمسافات الزاوية التي تقاس على الكرة السماوية.^[10]

وقد استعمل البابليون نوعا من تحويل فورييه لحساب التقويم الفلكي (جدول الأوضاع الفلكية)، والذي تم اكتشافه عام 1950م على يد أوتو نوغبور.^[11]^[12]^[13]^[14]

التأثير

انظر أيضاً

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

الهوامش

^ Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection
^ الموسوعة العربية
^ خطأ استشهاد: وسم <ref> غير صحيح؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة Aaboe, Asger
^ Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.
^ Why the “Miracle of Compound Interest” leads to Financial Crises, by Michael Hudson
^ Have we caught your interest? by John H. Webb
^ Robson (2002), in American Mathematical Monthly, pp. 117-118.
^ Eves, Chapter 2.
^ . pp. 158–159. {{cite book}}: Cite has empty unknown parameters: |lay-date=, |subscription=, |nopp=, |last-author-amp=, |name-list-format=, |lay-source=, |registration=, and |lay-summary= (help); Missing or empty |title= (help)
^ Maor, Eli (1998), Trigonometric Delights, Princeton University Press, p. 20, ISBN 0691095418
^ Prestini, Elena (2004), The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world, Birkhäuser, ISBN 978 0 81764125 2, http://books.google.com/books?id=fye--TBu4T0C , p. 62
^ Rota, Gian-Carlo; Palombi, Fabrizio (1997), Indiscrete thoughts, Birkhäuser, ISBN 978 0 81763866 5, http://books.google.com/books?id=H5smrEExNFUC , p. 11
^ The Exact Sciences in Antiquity. Dover Publications. {{cite book}}: Cite has empty unknown parameters: |lay-date=, |subscription=, |nopp=, |last-author-amp=, |name-list-format=, |lay-source=, |registration=, and |lay-summary= (help)
^ Brack-Bernsen, Lis; Brack, Matthias, Analyzing shell structure from Babylonian and modern times, http://arxiv.org/abs/physics/0310126

المصادر

Berriman, A. E., The Babylonian quadratic equation (1956).
Boyer, C. B., A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, (1989) ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed. ISBN 0-471-54397-7).
Joseph, G. G., The Crest of the Peacock, Princeton University Press (October 15, 2000), ISBN 0-691-00659-8.
Joyce, David E. (1995). "Plimpton 322". {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (2 ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2.
O'Connor, J. J. and Robertson, E. F., "An overview of Babylonian mathematics", MacTutor History of Mathematics, (December 2000).
Robson, Eleanor (2001). "Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322". Historia Math. 28 (3): 167–206. doi:10.1006/hmat.2001.2317. MR 1849797.
Robson, E., Words and pictures: New light on Plimpton 322, The American Mathematical Monthly. Washington: Feb 2002. Vol. 109, Iss. 2; pg. 105
Robson, E. Mathematics in Ancient Iraq: A Social History. Princeton University Press (2008)
Toomer, G. J., Hipparchus and Babylonian Astronomy, (1981).

وصلات خارجية

الكلمات الدالة:

[1] Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection

[2] الموسوعة العربية

[Aaboe,_Asger-3] خطأ استشهاد: وسم <ref> غير صحيح؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة Aaboe, Asger

[4] Duncan J. Melville (2003). Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics. St. Lawrence University.

[hudson-5] Why the “Miracle of Compound Interest” leads to Financial Crises, by Michael Hudson

[6] Have we caught your interest? by John H. Webb

[7] Robson (2002), in American Mathematical Monthly, pp. 117-118.

[8] Eves, Chapter 2.

[Boyer_Early_Trigonometry-9] . pp. 158–159. {{cite book}}: Cite has empty unknown parameters: |lay-date=, |subscription=, |nopp=, |last-author-amp=, |name-list-format=, |lay-source=, |registration=, and |lay-summary= (help); Missing or empty |title= (help)

[Maor-20-10] Maor, Eli (1998), Trigonometric Delights, Princeton University Press, p. 20, ISBN 0691095418

[11] Prestini, Elena (2004), The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world, Birkhäuser, ISBN 978 0 81764125 2, http://books.google.com/books?id=fye--TBu4T0C , p. 62

[12] Rota, Gian-Carlo; Palombi, Fabrizio (1997), Indiscrete thoughts, Birkhäuser, ISBN 978 0 81763866 5, http://books.google.com/books?id=H5smrEExNFUC , p. 11

[13] The Exact Sciences in Antiquity. Dover Publications. {{cite book}}: Cite has empty unknown parameters: |lay-date=, |subscription=, |nopp=, |last-author-amp=, |name-list-format=, |lay-source=, |registration=, and |lay-summary= (help)

[14] Brack-Bernsen, Lis; Brack, Matthias, Analyzing shell structure from Babylonian and modern times, http://arxiv.org/abs/physics/0310126

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]