تحليل مركب

تمثيل بياني للتابع العقدي (x^2-1) * (x-2-I)^2 / (x^2+2+2I) sat and value represents the modulo

التحليل المركب أو التحليل العقدي والذي يعرف تقليدياً بنظرية التوابع ذات المتحولات المركبة أحد فروع الرياضيات التي تبحث في توابع (دوال) الأعداد المركبة (العقدية)، للتحليل المركب استخدامات واسعة في الرياضيات بما في ذلك نظرية الأعداد والرياضيات التطبيقية بالإضافة إلى الفيزياء، بما في ذلك الديناميكا الحرارية والهندسة الكهربائية وجريان الموائع fluid dynamics.

وصف موراي سبيغيل Murray Spiegel التحليل المركب بأنه "واحد من أجمل وأنفع فروع الرياضيات".

الاهتمام الأساسي للتحليل المركب هو الدوال التحليلية ذات المتغيرات المركبة ، أو ما يعرف بالدوال تامة الشكل Holomorphic function .

تطوّرت دراسة خواص الدوال لمتغير عقدي واحد بأسلوب متميِّز في النصف الثاني من القرن التاسع عشر نتيجة للأبحاث اللامعة التي أجراها ريمان، وتبعه بوانكاريه Poincaré، وشوتكي Shottky، وشفارتز Schwarz، وفايرشتراس Weierstrass ونويمانNeumann وغيرهم.

وفي أواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين ظهرت نظريّة الدوال لعدّة متغيرات عقديّة وأُسِّست نظريّة السطوح الجبريّة وبدأت دراسة الخواص الشاملة للدوال التحليليّة لعدّة متغيرات. كان الاعتقاد السائد حتّى بدايات القرن التاسع عشر هو أنّ معظم الدوال لمتحول حقيقي المعرفة على مجال، تقبل الاشتقاق عدداً لا نهائيّاً من المرّات إلا عدداً منتهياً من نقاطه، وأنّه يمكننا في حالة مثل هذه الدوال أن نعبر عنها على هيئة مجموعة متسلسلة من الدوال كثيرات الحدود تسمى متسلسلة تايلور [ التفاضل]. ولمّا لم تكن الأفكار المتعلّقة بتقارب المتسلسلات قد نضجتْ بعدُ، كان الرياضيّون يقبلون أنّ الدالة تساوي مجموع متسلسلة تايلور المتعلّقة بها. تميّزت بدايات القرن التاسع عشر بالتزام الدّقة، وصار واضحاً بتأثير غاوس Gauss وآبل Abel وكوشي Cauchy، أن لا معنى لمتسلسلة ما لم يُثْبَت تقاربها، وأنّه توجد دوال تقبل الاشتقاق عدداً لا نهائيّاً من المرّات في جوار نقطة دون أن تتقارب متسلسلة تايلور المتعلّقة بها في جوار تلك النقطة.

كان كوشي هو أوّل مَنْ أنشأ النظريّة العامة للدوال التحليليّة، إذ راودته فكرة الانتقال الكامل إلى الساحة العقديّة، وخطا في عدة سنوات خطوات جبّارة، وذلك بإدخاله أداة رياضيّة فعّالة تتمثّل بالتكاملات المنحنية في المستوي العقدي.

نقول عن دالة عقدية معرفة على مجموعة جزئيّة من مجموعة الأعداد العقدية إنّها دالة تحليلية أو هولومورفية عليها إذا حققت المعادلة المعروفة باسم معادلة كوشي ـ ريمان. تُعبِّر النتيجة الأساسيّة التي توصّل إليها كوشي عن تعاضد مهمّ بين القيم التي تأخذها دالة تحليلية. إذ يمكن التعبير عن القيم التي تأخذها دالة تحليلية داخل قرص بدلالة قيمه على محيط هذا القرص وذلك بالاستفادة من صيغة مهمة تسمى علاقة كوشي التكاملية. فأثبت انطلاقاً منها أن التابع التحليلي يساوي مجموعة متسلسلة تايلور المتعلقة به. ومن جهة أخرى، تمثّل نظرية ريمان عن التحويلات المُطابقة مَعْلَماً آخر من معالم التحليل العقدي. نشأت فكرةُ الحويلات المُطابقة تاريخياً من الحاجة إلى رسم الخرائط الجغرافية، إذ لمّا كان سطح الأرض كروياً تقريباً بدا من الواضح أنه من الصعب تمثيله على سطح مستوٍ مع المحافظة على نسب الأبعاد. ولكن من الممكن المحافظة على الأشكال النسبية للتضاريس في جوار كلّ نقطة، ويمكن صوغ هذه الخاصَة رياضياً بتغير دقيق بقولنا: المحافظة على قيم الزوايا وجهتها في جوار كل نقطة. فنقول عن تقابل بين مجموعتين مفتوحتين من المستوي إنه تحويل مطابق إذا حافظ على الزوايا قيمةً وجهةً، أي كانت الزوايا الحاصلة عند تقاطع منحنيين مساوية جبريّاً للزاوية الحاصلة عند تقاطع صورتيهما وفق هذا التقابل. ونتحقق بسهولة أنّ كل تحويل مُطابق يكون في الحقيقة تحليلياً، وكذلك يكون أيضاً تحويله العكسي. أثبت ريمان أنه إذا وجد تقابل مستمرٌ، هو وتقابله العكسي، بين مجموعة مفتوحة جزئية من مجموعة الأعداد العقدية ومختلفة عنها وبين القرص الواحدي المفتوح، فعندئذ يوجد تحويل مطابق ينقل القرص الواحدي إلى تلك المجموعة.

لم يتوقّف التحليل العقدي عن التطوّر والتوسع منذ ذلك الحين، وظهرت نتائج عديدة ومتشعّبة مهمّة جدّاً نذكر منها مبرهنات Picard، ومبدأ الانتظام العام للعالِم كويب Koebe الذي تُعدُّ مبرهنة ريمان عن التحويلات المُطابِقة حالةً خاصّة منه.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .