إثبات خاطئ

تطلق عبارة إثبات خاطئ أو مبرهنة خاطئة أو إثبات غير مشروع على أي تعبير زائف الإثبات في الرياضيات. تعتمد أغلب طرق البراهين الزائفة أساليب تضليل بارعة تصل في النهاية لعمل خرق فاضح في القانون الرياضي مما يعطي البعض فرصة للتشكيك في صحة الرياضيات. ومع ذلك فإن مثل هذه البراهين تدل على مدى ضرورة الدقة في الرياضيات. يعد كتاب سيوداريا Pseudaria من الكتب القديمة ذات البراهين الخاطئة ويعزى إلى إقليدس.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 مثال مبسط

المثال التالي "proves" the absurd conclusion 1 = 0,

${\begin{aligned}x=0&\\\therefore \quad x(x-1)=0&\\\therefore \quad x-1=0&\\\therefore \quad x=1&\\\therefore \quad 1=0&\\\end{aligned}}$

الخطأ هنا هو الإنتقال من السطر الثالي إلى السطر الأول. الإفتراض بأن النتيجة = 0 هي إجابة غير صحيحة، ولذلك، فإن السطر الثاني / السطر الثالث: لو أن x = 0، فإن القسمة على x لا قيمة لها، لاو يمكن القيام بها. إذن القسمة على صفر هي إثبات خاطئ.

 الأس والجذر

 إثبات أن 1=-1

 نسخة 1

نبدأ بالمطابقة

$-1=-1\,$

نحول طرفي المعادلة إلى كسور عامية

${\frac {1}{-1}}={\frac {-1}{1}}$

بتطبيق قاعدة الجذر على الطرفين نجد أن

${\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{1}}}$

${\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}$

بضرب الطرفين × ${\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {-1}}$ نحصل على

${\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {1}}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}$

إن تربيع أي جذر تربيعي يعطي الرقم الأصلي وعليه

$\displaystyle {1=-1}$

و هو المطلوب إثباته (هـ.ط.ث. Q.E.D.)

بالطبع الاثبات غير مشروع لأنه تم تطبيق قاعدة الجذر التربيعي بطريقة خاطئة:

${\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$

يكون هذا صحيحا فقط عندما تكون قيم x و y أعداد حقيقية موجبة وهذا مالم يتم اقتضاؤه سابقا. على هذا الأساس فالبرهان خاطئ

 نسخة 2

بواسطة التلاعب بالأساسات، يمكن اشتقاق البراهين الخاطئة التالية:

$1={\sqrt {1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1$

هـ.ط.ث.

تكون القاعدة ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$ عموما مشروعة فقط إذا كان أحد الأعداد x أو y على الأقل موجبا، وهذه ليست الحال هنا. بطريقة أخرى يمكن للمرء النظر للجذر التربيعي على أنه دالة ثنائية القيمة في الأعداد المركبة وفي هذه الحال يقدر طرفا المعادلة السابقة بـ{1, −1}.

كذلك يقتضى أنه إذا كان الجذر التربيعي في بداية مسألة تكون الإجابة الموجبة هي الوحيدة المطلوبة، ولذلك إذا

بدأنا بـ1=1 ثم البناء حتى ${\sqrt {1}}\,$ سنصل في النهاية إلى 1= ± 1

تقنيا نستخلص أن تعويض ± 1 = ± 1 فيما سبق يصل بنا إلى النتيجة الخاطئة 1 = 1, 1 = -1, -1 = 1, -1 = 1

 نسخة 3

بالعبور إلى ومن الأعداد الحقيقية للأعداد المركبة يمكن اشتقاق الاثبات الغير مشروع كما يلي:

$-1=(-1)^{3}=(-1)^{\frac {6}{2}}=((-1)^{2})^{\frac {3}{2}}=1^{\frac {3}{2}}=1$

هـ.ط.ث.

المعادلة a^bc = (a^b)^c لأي عددين حقيقيين b وc عمومامشروعة فقط عندما يكون a موجبا، وهذه الحالة ليست هنا.

 نسخة 4

بالاستعانة بالمتطابقة المثلثية

$\,\cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x$.

برفع طرفي المعادلة للقوة 3/2 نحصل على

$(\cos ^{2}x)^{\frac {3}{2}}=(1-\sin ^{2}x)^{\frac {3}{2}}$

$(\cos ^{3}x)=(1-\sin ^{2}x)^{\frac {3}{2}}$.

والان لتكن x = π. حينئذ

$-1=(1-0)^{\frac {3}{2}}$

$-1=1.\,$

هـ.ط.ث.

في هذا البرهان، بدأت المغالطة في الخطوة الثالثة، حيث تم تطبيق القاعدة (a^b)^c = a^bc دون التأكد من أن a موجبة القيمة. أيضا، في الخطوة الرابعة, لم يتم الكشف عن جميع الجذور الممكنة $(1-0)^{\frac {3}{2}}$. مع أن 1 يعتبر جذرا، −1 هو جذر أيضا.

بالغاء الإجابة الخاطئة 1 يتبقى لدينا الإجابة الصحيحة −1 = −1.

 اثبات أنx = y لأي أعداد حقيقية x وy

إذا كان a^b = a^c'، فإن b = c. لذلك، بما أن1x = 1y، يمكننا استنباط أن x = y.

هـ.ط.ث.

الخطأ في هذا الاثبات يقع في الحقيقة أن القاعدة المنصوص عليها صحيحة فقط لعدد موجب a لا يساوي 1.

 اثبات أن الجذر التربيعي لـ 1 = -1

${\sqrt {-1}}=(-1)^{\frac {2}{4}}=((-1)^{2})^{\frac {1}{4}}=$

$1^{\frac {1}{4}}=1$

هـ.ط.ث.

يقع الخطأ هنا في السطر الأخير من الاثبات، حيث أهملنا الجذور الرباعية الأخيرة لـ1، وهي −1, i

و− i (حيث أن i هي الوحدة التخيلية).

 1+1+1+... =1

هنا أيضا خدعة شائعة تستخدم لإثبات أن حاصل جمع أي عدد من الواحدات ينتج عنه الرقم 1 أيضا:

لو وضعنا:

0 + 0 = 0 ثم عوضنا عن x = 0 في المعادلة السابقة لتصبح:

x = x + x

وبقسمة الطرفين على x نحصل على

1 + 1 = 1

بتعميم هذه الطريقة يمكن أيضا اثبات أن

1 + 1 + 1 +... 1 = 1

طالما وصلنا للصيغة:

x = x... + x + x + x

بالتأكيد فالخطأ الذي يقع فيه الجميع هو عند السماح بالقسمة على x مع أنه لا يجوز رياضيا القسمة على 0 وبشكل خاص عندما يكون كل من البسط والمقام أصفارا لأن النتيجة تصبح غير معرفة.

 أمثلة في الهندسة

 أي زاوية = صفر

 الخطأ في المثلث متساوي الساقين

 انظر أيضا

• مفارقة
• مغالطة
• Proof by intimidation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 المصادر

• Barbeau, Edward J. (2000), Mathematical fallacies, flaws, and flimflam, MAA Spectrum, Mathematical Association of America, قالب:MathSciNet, ISBN 978-0-88385-529-4 .
• Bunch, Bryan (1997), Mathematical fallacies and paradoxes, New York: Dover Publications, قالب:MathSciNet, ISBN 978-0-486-29664-7 .
• Heath, Sir Thomas Little; Heiberg, Johan Ludvig (1908), The thirteen books of Euclid's Elements, Volume 1, The University Press .
• Maxwell, E. A. (1959), Fallacies in mathematics, Cambridge University Press, قالب:MathSciNet .

 وصلات خارجية

• Invalid proofs at Cut-the-knot (including literature references)
• More invalid proofs from AhaJokes.com
• More invalid proofs also on this page