صيغة كوشي التكاملية

في الرياضيات، صيغة كوشي التكاملية Cauchy's integral formula ، المسماة على اسم أوگوستان-لوي كوشي، هي بيان مركزي في التحليل المركب. وتعبر عن حقيقة أن الدالة تامة الشكل المعرّفة على قرص تـُحدَّد بالكامل بقيمها على حدود القرص، وتعطي صيغاً تكاملية لكل مشتقات الدالة تامة الشكل. وتبين صيغة كوشي أنه، في التحليل المركب، "التفاضل هو مكافئ للتكامل": فالتفاضل المركب، مثل التكامل، يتصرف جيداً تحت حدود منتظمة -- وهي نتيجة لا تسري في حالة التحليل الحقيقي.

تنص على أنه يمكن تحديد قيمة التابع التحليلي، المعرف على قرص، في أي نقطة داخل القرص بواسطة قيم هذا التابع على محيط هذا القرص، أي

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

المبرهنة

$f(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over z-a}\,dz\!$

ومن هذه الصيغة يمكن استنتاج قابلية هذا التابع للمفاضلة بعدد لا نهائي من المرات

$f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,dz.$

مثال

Surface of the real part of the function g(z) = z² / (z² + 2z + 2) and its singularities, with the contours described in the text.

خذ في الاعتبار المعادلة:

g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}

and the contour described by |z| = 2, call it C.

To find the integral of g(z) around the contour, we need to know the singularities of g(z). Observe that we can rewrite g as follows:

g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}

حيث $z_{1}=-1+i,$ $z_{2}=-1-i.$

انظر أيضاً

معادلات كوشي-ريمان
Methods of contour integration
Nachbin's theorem
Morera's theorem
Mittag-Leffler's theorem
Green's function generalizes this idea to the non-linear setup
Schwarz integral formula
Parseval–Gutzmer formula

الهامش

المراجع

Ahlfors, Lars (1979), Complex analysis (3rd ed.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-000657-7 .
[1] [2] D. Pompeiu, Sur la continuité des fonctions de variables complexes, Annales de la faculté des sciences de Toulouse Sér. 2, 7 no. 3 (1905), p. 265–315
Titchmarsh, E.C. (1939), Theory of functions (2nd ed.), Oxford University Press
Hörmander, Lars (1966), An introduction to complex analysis in several variables, Van Nostrand
Hörmander, Lars (1983), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer, ISBN 3-540-12104-8
Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003), Geometric Algebra for Physicists, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-71595-9

وصلات خارجية

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Cauchy integral", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
Eric W. Weisstein, Cauchy Integral Formula at MathWorld.
Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews

الكلمات الدالة:

صيغة كوشي التكاملية