مبرهنة ڤيڤياني
في الهندسة الرياضية، تنص مبرهنة ڤيڤياني على أن مجموع أطوال المسافات بين نقطة وأضلاع المثلث الثلاثة في مثلث متساوي الأضلاع تساوي إلى طول ارتفاع هذا المثلث. سميت هذه المبرهنة على اسم العالم ڤينچنزو ڤيڤياني Vincenzo Viviani.
من الممكن تعميم هذه المبرهنة إلى المضلعات ذات أطوال أضلاع متساوية، أو المضلعات ذات الزوايا المتساوية.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
البرهان
هذا البرهان يعتمد على الافتراض المبرهن بالفعل أن مساحة مثلث هي نصف قاعدته مضروبة في ارتفاعه — أي نصف حاصل ضرب أحد الجوانب في الارتفاع من هذا الجانب.[1]
فلنفترض أن ABC هو مثلث متساوي الأضلاع، ارتفاعه h وطول ضلعه a.
ولنفترض أن P هي أي نقطة داخل المثلث، و u, s, t هي مسافات P عن الأضلاع. ارسم خطاً من P إلى كلٍ من A ، B ، و C ، مشكلاً ثلاث مثلثات PAB و PBC و PCA.
الآن، مساحات تلك المثلثات هي و و . وهم يملأون تماماً المثلث المغلـِّف، أي أن مجموع تلك المساحات يساوي مساحة المثلث المغلـِّف. زبذلك يمكننا كتابة:
وبذلك
التطبيقات
انظر أيضاً
الهامش
- ^ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 9780883853481, p. 96 (excerpt (Google), p. 96, في كتب گوگل)
وصلات خارجية
- Viviani's Theorem: What is it? at Cut the knot.
- Viviani's Theorem by Jay Warendorff, the Wolfram Demonstrations Project.