مبرهنة ڤيڤياني

نظرية ڤيڤياني، مجموع الأطوال l+m+n يساوي إلى طول ارتفاع المثلث.

في الهندسة الرياضية، تنص مبرهنة ڤيڤياني على أن مجموع أطوال المسافات بين نقطة وأضلاع المثلث الثلاثة في مثلث متساوي الأضلاع تساوي إلى طول ارتفاع هذا المثلث. سميت هذه المبرهنة على اسم العالم ڤينچنزو ڤيڤياني Vincenzo Viviani.

من الممكن تعميم هذه المبرهنة إلى المضلعات ذات أطوال أضلاع متساوية، أو المضلعات ذات الزوايا المتساوية.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 البرهان

برهان مرئي لمبرهنة ڤيڤياني

1.	أقرب المسافات من النقطة P إلى جوانب المثلث متساوي الأضلاع ABC ظاهرة بالرسم.
2.	الخطوط DE و FG و HI موازية لـ AB و BC و CA، بالترتيب، وتمر خلال P تـُعرِّف المثلثات المتماثلة PHE و PFI و PDG.
3.	لما كانت تلك المثلثات هي متساوية الأضلاع، فإن ارتفاعاتهم يمكن تدويرها لتصبح رأسية.
4.	لما كان PGCH متوازي أضلاع، فإن المثلث PHE يمكن انزلاقه لأعلى ليـُظهـِر أن الارتفاعات مجموعها يساوي ارتفاع المثلث ABC.

هذا البرهان يعتمد على الافتراض المبرهن بالفعل أن مساحة مثلث هي نصف قاعدته مضروبة في ارتفاعه — أي نصف حاصل ضرب أحد الجوانب في الارتفاع من هذا الجانب.

فلنفترض أن ABC هو مثلث متساوي الأضلاع، ارتفاعه h وطول ضلعه a.

ولنفترض أن P هي أي نقطة داخل المثلث، و u, s, t هي مسافات P عن الأضلاع. ارسم خطاً من P إلى كلٍ من A ،‏ B ، ‏ و C ، مشكلاً ثلاث مثلثات PAB و PBC و PCA.

الآن، مساحات تلك المثلثات هي ${\frac {u\cdot a}{2}}$ و ${\frac {s\cdot a}{2}}$ و ${\frac {t\cdot a}{2}}$. وهم يملأون تماماً المثلث المغلـِّف، أي أن مجموع تلك المساحات يساوي مساحة المثلث المغلـِّف. زبذلك يمكننا كتابة:

${\frac {u\cdot a}{2}}+{\frac {s\cdot a}{2}}+{\frac {t\cdot a}{2}}={\frac {h\cdot a}{2}}$

وبذلك

$u+s+t=h$

هـ. ط. ث.

 التطبيقات

مخطط قابلية الاشتعال للميثان.

للمزيد من المعلومات: التوقيع الثلاثي

 انظر أيضاً

• التوقيع الثلاثي Ternary plot

 الهامش

• Eric W. Weisstein, Viviani's Theorem at MathWorld.

• Li Zhou, Viviani Polytopes and Fermat Points

 وصلات خارجية

• Viviani's Theorem: What is it? at Cut the knot.
• Viviani's Theorem by Jay Warendorff, the Wolfram Demonstrations Project.